А.Н.Шерстнев - Математический анализ

^ISLOM I OBOZNA^IM (q); W \TOT KLASS WHODIT \POSTOQNNAQ" POSLEDOWATELX-

NOSTX (q; q; : : :).

iTAK, OPREDELENO WLOVENIE q ! (q) MNOVESTWA Q W = . |TO WLOVENIE IN_EKTIWNO (!!).

oPREDELIM W = OTNO[ENIE PORQDKA

(f) (g); ESLI 8" > 0 9N 2 N 8n > N (f (n) , g(n) < "):

uBEDIMSQ, ^TO ZADA•ET PORQDOK. |TO OTNO[ENIE REFLEKSIWNO I TRANZITIW- NO (!!). pROWERIM, ^TO ONO ANTISIMMETRI^NO. eSLI (f ) (g) I (g) (f), TO IZ (2) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO " > 0 MOVNO UKAZATX N 2 N TAKOE, ^TO PRI L@BOM n > N f(n) , g(n) < "; g(n) , f(n) < ". sLEDOWATELXNO, PRI n > N jf(n) , g(n)j < ". tAKIM OBRAZOM, (f , g)(n) ! 0 (n ! 1). pO OPREDE- LENI@ OTS@DA SLEDUET, ^TO (f; g), TO ESTX (f) = (g): >

pEREJD•EM TEPERX K PROWERKE AKSIOM DLQ NA[EJ MODELI.

20. nA^N•EM S AKSIOMY (II). oPERACIQ + OPREDELQET W = STRUKTURU KOMMUTATIWNOJ GRUPPY (!!). rOLX EDINICY \TOJ GRUPPY (TO ESTX NULQ POLQ) ISPOLNQET -RACIONALXNOE ^ISLO (0). nAPRIMER, DISTRIBUTIWNOSTX + OTNOSITELXNO SLEDUET IZ WYKLADKI

(f ) [ (g) + (h)] = (f) (g + h) = (f (g + h))

=(f g + f h) = (f g) + (f h)

= (f) (g) + (f ) (h) (f; g; h 2 ):

~TOBY ZAWER[ITX PROWERKU AKSIOMY (II), OSTALOSX UBEDITXSQ, ^TO NENULEWYE \LEMENTY = OBRATIMY OTNOSITELXNO OPERACII . pUSTX (f) 6= (0), TO ESTX FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX f NE SHODITSQ K 0. w SILU P. 15

g= 1=f 2 . kROME TOGO, (f) (g) = (f (1=f )) = (1), ^TO I TREBOWALOSX.

21.pEREJDEM• TEPERX K AKSIOME (I). oTMETIM, ^TO W SILU (2) OTNO[ENIE < W = HARAKTERIZUETSQ SWOJSTWOM

(3)(f) < (g) TTOGDA 9" > 0 (" 2 Q) 9N 2 N 8n > N (" < g(n) , f(n)):

kROME TOGO,

(4) (f) < (g) TTOGDA (f , g) < (0):

w SILU PP. 7, 11 AKSIOMY (I1), (I2) SPRAWEDLIWY. w SILU 6.7 AKSIOMU (I3) MOVNO NE PROWERQTX.

461

22. aKSIOMA (III). pUSTX (f ) < (0) I h(2 ) PROIZWOLXNO. pUSTX " > 0 I N 2 N TAKOWO, ^TO

tOGDA " < h(n), [f(n) +h(n)] (n > N), TO ESTX (f) + (h) = (f +h) < (h). s U^•ETOM (4) OTS@DA SLEDUET SWOJSTWO (III1 ). pUSTX, KROME TOGO, 0 < (h). tOGDA SU]ESTWUET q 2 Q (0 < q) I N1 2 N TAKIE, ^TO

(6) q < h(n) (n > N1):

iZ (5) I (6) SLEDUET: q" < ,f (n)h(n) (n > N2 = maxfN1; N2g), TO ESTX

(f) (h) < (0). s U^ETOM• (4) OTS@DA WYTEKAET (III2).

w SILU 6.9 MOVNO NE ZANIMATXSQ PROWERKOJ AKSIOMY (IV).

23. aKSIOMA (V). pUSTX E( = ) NE PUSTO I OGRANI^ENO SWERHU. bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX (I MY BUDEM S^ITATX), ^TO (0)(f) ( (f) 2 E). pUSTX F | MNOVESTWO WSEH MAVORANT MNOVESTWA E. pUSTX m0 | NAIBOLX[EE CELOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO (m0) | NE MAVORANTA E, TAK ^TO (m0 + 1) | NAIMENX[EE -NATURALXNOE ^ISLO IZ F . rASSMOTRIM 10 -RACIONALXNYH ^ISEL

(NAPRIMER, PRI m0 = 5 WTOROE -RACIONALXNOE ^ISLO W \TOM RQDU | \TO-RACIONALXNOE ^ISLO (51=10)). pUSTX (m0:m1) | NAIBOLX[EE IZ TEH - RACIONALXNYH ^ISEL RQDA (7), KOTOROE NE WHODIT W F (ZDESX m1 | ODNA IZ CIFR 0; 1; : : :; 9). rASSMOTRIM SNOWA 10 -RACIONALXNYH ^ISEL (m0:m10); : : :;(m0:m19), I PODOBNO SDELANNOMU WY[E WYBEREM IZ NIH ^ISLO (m0:m1m2). pRODOLVAQ \TOT PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX

(m0); (m0:m1); (m0:m1m2); : : :

-RACIONALXNYH ^ISEL, OBLADA@]IH SWOJSTWAMI:

(8)PRI L@BOM k (= 0; 1; 2; : : :) -RACIONALXNOE ^ISLO (m0:m1 : : : mk) | NE MAVORANTA E,

(9)PRI qk = m0:m1 : : :mk + 10,k -RACIONALXNOE ^ISLO (qk) | MAVORANTA

E.

rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX f W Q, ZADANNU@ RAWENSTWAMI

f(1) = m0; f (2) = m0:m1; f(3) = m0:m1m2; : : :

462

nETRUDNO WIDETX, ^TO f 2 . dLQ ZAWER[ENIQ PROWERKI AKSIOMY (V) NUVNO LI[X UBEDITXSQ, ^TO (f ) | ISKOMAQ NAIMENX[AQ MAVORANTA MNOVESTWA E. iTAK, NUVNO USTANOWITX, ^TO

(A) (f ) 2 F ,

(B) ESLI (g) | MAVORANTA E, TO (f) (g).

pROWERIM (A). pUSTX, NAPROTIW, (f) | NE MAVORANTA E. tOGDA 9 (g) 2 E ( (f ) < (g)). sLEDOWATELXNO, SU]ESTWU@T " > 0 (" 2 Q) I N1 2 N TAKIE, ^TO

TO ESTX (qN ) < (g) I ZNA^IT (qN ) | NE MAVORANTA E. |TO PROTIWORE^IT

(9).

pROWERIM (B). pUSTX, NAPROTIW, (g) | MAVORANTA E, PRI^EM• (g) < (f).

tOGDA SU]ESTWU@T " > 0 (" 2 Q) I N1 2 N TAKIE, ^TO " < m0:m1m2 : : : mn,1 , g(n) PRI n > N1. wYBEREM N2 2 N TAKOE, ^TO 10,N2 < ", I PUSTX N =

maxfN1; N2g. tOGDA DLQ n > N + 1

m0:m1m2 : : : mN , g(n) = m0:m1m2 : : :mN , m0:m1m2 : : : mn,1 + m0:m1m2 : : :mn,1 , g(n)

> ,0:0 : : :mN+1 : : : mn,1 + " > " , 10,N " , 10,N2 :

oTS@DA -RACIONALXNOE ^ISLO (m0:m1m2 : : : mN ) | MAVORANTA E, ^TO PRO- TIWORE^IT (9). iTAK, MODELX R POSTROENA.

w ZAKL@^ENIE OTMETIM E]•E DWA WAVNYH FAKTA.

24. t E O R E M A [EDINSTWENNOSTI]. pUSTX (R; +; ; ) I (R; +; ; ) |

DWE MODELI MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL. tOGDA SU]ESTWUETb b bBIEKCIQb j : R! R TAKAQ, ^TO DLQ L@BYH ; 2 R

(A) bj( + ) = j( )+j( ), (B) j( ) = j( ) jb( ),

(W) TTOGDA bj( ) j( ).

b

463

iDEQ DOKAZATELXSTWA: W SILU AKSIOMY (II) W KAVDOJ IZ DWUH MODELEJ ESTX MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL (Q I Q), PRI^•EM SU]ESTWUET ESTESTWENNAQ BI- EKCIQ j1 : Q ! Q, OBLADA@]AQ SWOJSTWAMIb (A) { (W). oSTALOSX PRODOLVITX j1 DO BIEKCII j : Rb ! R S SOHRANENIEM SWOJSTW (A) { (W). mOVNO POKAZATX, ^TO W AKSIOME (I3 ) PROMEVUTO^NOEb ^ISLO WSEGDA MOVNO WYBRATX RACIONALXNYM (SM. 6.8). oTS@DA = supfq 2 Q j q g. iSKOMAQ BIEKCIQ j MOVET BYTX OPREDELENA RAWENSTWOM j( ) = supfj1(q) j q g: >

25. t E O R E M A [g. kANTOR]. mNOVESTWO R DEJSTWITELXNYH ^ISEL NE- S^•ETNO.

dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO NES^•ETEN OTREZOK [0,1]. pUSTX, NAPROTIW, [0; 1] = f 1; 2; : : :g. rASSMOTRIM TRI OTREZKA [0; 1=3], [1=3; 2=3], [2=3; 1]. pUSTX [a1; b1] | ODIN IZ NIH, WYBRANNYJ IZ USLOWIQ 1 62[a1; b1] ( 1 NE MOVET, O^EWIDNO, PRINADLEVATX WSEM TR•EM OTREZKAM). oTREZOK [a1; b1] RAZOBX•EM NA TRI OTREZKA TAK VE, KAK MY \TO PRODELALI S OTREZKOM [0; 1] I PUSTX [a2; b2] | ODIN IZ TR•EH PODOTREZKOW OTREZKA [a1; b1], KOTOROMU NE PRINADLEVIT ^ISLO 2 . pRODOLVAQ PROCESS, MY POLU^IM SISTEMU OTREZKOW [a1; b1]; [a2; b2]; : : :, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWIQM LEMMY 11.4. pUSTX | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, PRINADLEVA]EE WSEM OTREZKAM [an; bn] (n 2 N). |TOGO ^ISLA NET, ODNAKO, SREDI ^LENOW POSLEDOWA- TELXNOSTI 1; 2; : : :: >

26. pRIWED•EM \SKIZ E]•E ODNOJ MODELI ^ISLOWOJ PRQMOJ, PREDLOVENNOJ a. n. kOLMOGOROWYM. pROWERKA WSEH AKSIOM PREDLAGAETSQ W KA^ESTWE TEM SAMO- STOQTELXNYH ISSLEDOWANIJ. bUDEM S^ITATX IZWESTNYMI TOLXKO NEOTRICATELX-

NYE CELYE ^ISLA: N0 = f0g SN = f0; 1; 2; : : :g. eSLI m 2 N0; n 2 N, TO ^EREZ [mn ] OBOZNA^IM NAIBOLX[EE ^ISLO k 2 N0, DLQ KOTOROGO kn m.

pUSTX F | MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ f : N ! N0. rASSMOTRIM PODMNOVES- TWO MNOVESTWA F, SOSTOQ]EE IZ FUNKCIJ ', OBLADA@]IH SWOJSTWAMI:

zADADIM W 0 OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ RAWENSTWAMI:

(' + )(n) max '(kn) + (kn) (n 2 N);

k2N k

464

zADA^A SOSTOIT W DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO MNOVESTWO 0 OBLADAET WSEMI SWOJ- STWAMI MNOVESTWA NEOTRICATELXNYH WE]ESTWENNYH ^ISEL.

27. z A M E ^ A N I E. oSNOWNAQ IDEQ PREDLOVENNOJ WY[E MODELI SOSTOIT W ISPOLXZOWANII \NATURALXNOI^NOJ" SISTEMY PREDSTAWLENIQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL (W OTLI^IE OT IZWESTNYH DESQTI^NOJ I DWOI^NOJ SISTEM). iMENNO, NEOT- RICATELXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO ' HARAKTERIZUETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ '(n) = maxfk 2 N j k < 'ng (n 2 N). w ^ASTNOSTI, NATURALXNOMU ^ISLU W DANNOJ MODELI SOOTWETSTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (n) = n , 1 (n 2 N).

465

pRILOVENIE II. kompleksnye ~isla

1. rASSMOTRIM MNOVESTWO R2. eGO \LEMENTY z = (x; y), GDE x; y 2 R, BUDEM ZAPISYWATX W WIDE FORMALXNOJ SUMMY z = x +iy (ZDESX i QWLQETSQ POKA PROSTO SIMWOLOM). oPREDELIM NAD \TIMI FORMALXNYMI SUMMAMI OPERACII SLOVENIQ

(+)I UMNOVENIQ ( ) RAWENSTWAMI

(1)(x1 + iy1) + (x2 + iy2) (x1 + x2) + i(y1 + y2),

(x1 + iy1) (x2 + iy2) (x1x2 , y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

uKAZANNYE OPERACII OPREDELQ@T W R2 STRUKTURU KOMMUTATIWNOGO KOLXCA S EDINICEJ (NUL•EM KOLXCA QWLQETSQ \LEMENT 0 +i0, A EDINICEJ | \LEMENT 1 + i0) (!!). bOLEE TOGO, NENULEWYE \LEMENTY \TOGO KOLXCA OBRAZU@T GRUPPU PO UM- NOVENI@. fw PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SU]ESTWOWANIE OBRATNOGO U KAVDOGO

KIM OBRAZOM, NA[E KOLXCO QWLQETSQ POLEM. oNO NAZYWAETSQ POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL I OBOZNA^AETSQ ^EREZ C . pOLE WE]ESTWENNYH ^ISEL R MOVNO RASSMATRI- WATX KAK PODPOLE C , ESLI OTOVDESTWITX ^ISLO x 2 R S ^ISLOM x + i0 2 C . |LEMENT 0 + i1 NAZYWAETSQ MNIMOJ EDINICEJ (MY PI[EM DALEE i WMESTO 0 + i1). oTMETIM, ^TO i2 = i i = (0 + i1)(0 + i1) = ,1. s U^ETOM \TOGO ZAME^ANIQ OPE- RACII (1) PEREHODQT W PRIWY^NYE OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ, DISTRIBU- TIWNOGO OTNOSITELXNO SLOVENIQ, S ZAMENOJ i2 NA ,1. ~ISLO x , iy NAZYWAETSQ SOPRQV•ENNYM K ^ISLU x + iy I OBOZNA^AETSQ z.

2. kOMPLEKSNYE ^ISLA ESTESTWENNO IZOBRAVATX TO^KAMI ^ISLOWOJ PLOSKOS- TI R2 : z = x + iy ! (x; y) 2 R2. pRI \TOM x Rez NAZYWAETSQ DEJSTWITELX- NOJ ^ASTX@ ^ISLA z; y Imz | MNIMOJ ^ASTX@ z (Real | DEJSTWITELXNYJ, Imaginary | MNIMYJ, ANGL.). w TAKOJ INTERPRETACII POKOORDINATNOE SLOVE- NIE (1) KOMPLEKSNYH ^ISEL SOOTWETSTWUET PRAWILU SLOVENIQ WEKTOROW. mODU- LEM KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = x + iy NAZYWAETSQ WELI^INA jzj px2 + y2. w SOOTWETSTWII S UKAZANNOJ INTERPRETACIEJ C NAZYWAETSQ TAKVE KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@. pEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, ^ISLO z = x + iy 2 C ZADADIM KOORDINATAMI (r; '):

x = r cos '; y = r sin';

TAK ^TO z = r(cos ' + i sin'). |TO TRIGONOMETRI^ESKAQ FORMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA. zDESX r = jzj, A UGOL ' NAZYWAETSQ ARGUMENTOM ^ISLA z. aRGUMENT OPRE- DELQETSQ S TO^NOSTX@ DO WELI^INY, KRATNOJ 2 . oTMETIM, ^TO PRI UMNOVENII

466

KOMPLEKSNYH ^ISEL IH MODULI PEREMNOVA@TSQ, A ARGUMENTY SKLADYWA@TSQ:

r1(cos'1 + i sin '1) r2(cos '2 + i sin '2)

=r1r2(cos '1 cos'2 , sin '1 sin '2) + i(sin'1 cos'2 + cos '1 sin '2)

=r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)): >

3. nA KOMPLEKSNYE ^ISLA PERENOSITSQ PONQTIE PREDELA POSLEDOWATELXNOS-

TI. pO OPREDELENI@ z0 = limzn (ILI zn ! z0), ESLI

n

8" > 0 9N 8n > N (jzn , z0j < "):

pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN. pOSLEDOWATELXNOSTX (zn) KOMPLEKSNYH ^ISEL NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI 9M > 0 8n 2 N (jznj M ). wSQKAQ SHODQ- ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA. iME@T MESTO ANALOGI ARIFMETI^ESKIH SWOJSTW PREDELA (SM. 10.7). sOOTWETSTWU@]IE DOKAZATELXSTWA BEZ IZMENENIQ PERENOSQTSQ NA SLU^AJ KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ.

4. [tEOREMA wEJER[TRASSA]. kAVDAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX KOMPLEKSNYH ^ISEL OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.

pUSTX zn = xn + iyn | OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W C . pOSLEDOWA- TELXNOSTI (xn) ; (yn) W R OGRANI^ENY W SILU OCENOK

(2) jxnj; jynj qx2n + yn2 = jznj:

pO TEOREME wEJER[TRASSA DLQ RPOSLEDOWATELXNOSTX (xn) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: xnk ! x0. pOSLEDOWATELXNOSTX (ynk ), BUDU^I OGRA- NI^ENNOJ, TAKVE OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: ynkj ! y0

(j ! +1). tOGDA znkj ! z0 = x0 + iy0 (j ! +1): >

5. pOSLEDOWATELXNOSTX zn 2 C NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI

8" > 0 9N 8n; m > N (jzn , zmj < "):

iMEET MESTO KRITERIJ kO[I: POSLEDOWATELXNOSTX (zn ) W C FUNDAMENTALXNA TTOGDA ONA SHODITSQ.

w SILU NERAWENSTW (2) IZ FUNDAMENTALXNOSTI zn = xn + iyn SLEDUET FUNDA- MENTALXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTEJ DEJSTWITELXNYH ^ISEL (xn); (yn). w SILU

467

468

pRILOVENIE III. porqdkowye struktury

1. pUSTX (E; ) | UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO (SM. PRIL. I.6). |LEMENT a 2 E NAZYWAETSQ MAVORANTOJ (MINORANTOJ) MNOVESTWA X , ESLI 8x 2 X (x a) (SOOTWETSTWENNO 8x 2 X (a x)). |LEMENT a 2 E NAZYWAETSQ WERHNEJ (NIVNEJ) GRANX@ X, ESLI a | NAIMENX[IJ (SOOTWETSTWENNO NAIBOLX[IJ) \LEMENT MNO- VESTWA WSEH MAVORANT (SOOTWETSTWENNO MINORANT) X; PI[UT a = sup X (SO- OTWETSTWENNO a = inf X). |LEMENT a 2 X ( E) NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM (MINIMALXNYM) \LEMENTOM X, ESLI 8x 2 X (a x ) a = x) (SOOTWETSTWENNO

8x 2 X (x a ) a = x)).

uPORQDO^ENNOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ INDUKTIWNYM, ESLI WSQKAQ SOWER- [ENNO UPORQDO^ENNAQ EGO ^ASTX OBLADAET MAVORANTOJ.

2.p R I M E R. mNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E, UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@, INDUKTIWNO.

3.sOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO E NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO- ^ENNYM (A PORQDOK W E NAZYWAETSQ POLNYM), ESLI KAVDAQ NEPUSTAQ ^ASTX E OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM.

p R I M E R Y. 4. mNOVESTWO N WPOLNE UPORQDO^ENO.

5.mNOVESTWO R (S ESTESTWENNYM PORQDKOM) NE QWLQETSQ WPOLNE UPORQDO- ^ENNYM.

6.pUSTX (Ei)i2I | SEMEJSTWO MNOVESTW. dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM MNO- VESTW Ei NAZYWAETSQ MNOVESTWO Ei, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ WSEWOZ-

iQ2I

MOVNYE, UPORQDO^ENNYE INDEKSOM i, NABORY (xi)i2I , GDE xi 2 Ei. w ^ASTNOSTI,

ESLI Ei = E (i 2 I), TO Q Ei OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM EI. qSNO, ^TO ESLI ODNO

i2I

IZ MNOVESTW Ei PUSTO, TO Q Ei = ;. kAVETSQ STOLX VE QSNYM, ^TO ESLI WSE

i2I

Ei =6 ;, TO Q Ei =6 ;. dEJSTWITELXNO, WYBRAW W KAVDOM Ei PO ODNOMU \LEMENTU

i2I

xi (\TO MOVNO SDELATX, TAK KAK Ei 6= ; (i 2 I)), POLU^IM \LEMENT (xi)i2I 2 Q Ei.

i2I

oDNAKO, QSNOSTX PROPADAET, ESLI NALOVITX NA \WYBOR" RAZUMNOE TREBOWANIE SU]ESTWOWANIQ PRAWILA, RUKOWODSTWUQSX KOTORYM KAVDYJ IZ NAS WYBIRAL BY ODNI I TE VE \LEMENTY xi 2 Ei. sU]ESTWOWANIE TAKOGO PRAWILA UTWERVDAETSQ W SLEDU@]EJ AKSIOME:

7. [aKSIOMA WYBORA]. eSLI (Ai)i2I | SEMEJSTWO NEPUSTYH ^ASTEJ MNOVESTWA E, TO SU]ESTWUET PRAWILO, PO KOTOROMU KAVDOMU MNOVESTWU Ai SOPOSTAWLQETSQ NEKOTORYJ \LEMENT xi 2 Ai.

|TO PRAWILO NAZOW•EM FUNKCIEJ WYBORA DLQ SEMEJSTWA (Ai)i2I .

469

8.u P R A V N E N I E. pROWERITX SPRAWEDLIWOSTX AKSIOMY WYBORA DLQ

PODMNOVESTW (Ai )i2I MNOVESTWA N NATURALXNYH ^ISEL (UKAZATX PRAWILO, FI- GURIRU@]EE W AKSIOME WYBORA).

9.t E O R E M A [e. cERMELO]. wSQKOE MNOVESTWO MOVET BYTX WPOLNE UPORQDO^ENO.

pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E. nEPUSTOE PODMNOVESTWO X MNO- VESTWA E NAZOW•EM f-MNOVESTWOM, ESLI W X MOVNO WWESTI STRUKTURU WPOLNE UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, PRI^•EM

8x 2 X (x = f (En(,; x))); GDE (,; x) fy 2 X j y < xg:

f-MNOVESTWA SU]ESTWU@T: NAPRIMER, TAKOWYM QWLQETSQ ODNO\LEMENTNOE MNO- VESTWO ff(E)g.

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM W NESKOLXKO \TAPOW:

(i). uSTANOWIM, ^TO ESLI X; Y | RAZLI^NYE f -MNOVESTWA I X Y , TO

9b 2 Y (X = (,; b)).

dEJSTWITELXNO, PUSTX b | NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA Y nX. tOGDA X (,; b). eSLI DOPUSTITX, ^TO X 6= (,; b), TO OPREDELEN• NAIMENX[IJ \LEMENT a MNOVESTWA (,; b)nX; a < b, TAK KAK a 2 Y nX, ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ \LEMENTA b. iTAK X = (,; b), I (i) USTANOWLENO.

(ii). eSLI X; Y | f-MNOVESTWA TO X Y ILI Y X .

eSLI, NAPROTIW, X 6 Y I Y 6 X, TO Y nX =6 ;; XnY 6= ; I SU]ESTWU@T:

a | NAIMENX[IJ (W X) \LEMENT MNOVESTWA XnY , b | NAIMENX[IJ (W Y ) \LEMENT MNOVESTWA Y nX.

oTMETIM, ^TO X \Y =6 ; (NAPRIMER, f (E) 2 X \Y ), I SPRAWEDLIWY RAWENSTWA: X \ Y = (,; a) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE X),

X \ Y = (,; b) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE Y ).

fdEJSTWITELXNO, ESLI z 2 X \ Y , TO PO OPREDELENI@ \LEMENTOW a I b : z < a (W X), z < b (W Y ). oBRATNO, ESLI, NAPRIMER, z 2 X; z < a, TO z 2 Y , TAK KAK INA^E z 2 XnY I ZNA^IT z a | PROTIWORE^IE. iTAK, X \ Y = (,; a). aNALOGI^NO, X \ Y = (,; b).g

tEPERX PO OPREDELENI@ f-MNOVESTW:

a = f(En(,; a)) = f(En(X \ Y )) = f(En(,; b)) = b

| PROTIWORE^IE.

470