Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5149 50 51 > Следующая >>>

sWOJSTWO P. 27 TAKVE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ FORM WIDA !(x) = b(x)dxi1 ^

: : : ^ dxik ; (x) = c(x)dxj1 ^ : : : ^ dxjs. iMEEM

(b(x)c(x))dxm ^ dxi1 ^ : : :dxik ^ dxj1 ^ : : : dxjs

d(! ^ )(x) =

@xm

m=1

b(x)

(x)dxm ^ dxi1

^ : : : ^ dxik ^ dxj1

^ : : : ^ dxjs

m=1

+ P c(x)

(x)dxm ^ dxi1

^ : : : ^ dxik ^ dxj1

^ : : : ^ dxjs

m=1

^ : : : ^ dx

^ (

(x)dx

^ dx

^ : : : ^ dx

)

= (,1)

b(x)dx

m=1

P ik

+ (

P k

@xm (x)dx ^ dx ^ : : : ^ dx ) ^ (c(x)dx ^ : : : ^ dx )

m=1

= (,1) ! ^ d + d! ^ :

29. p R I M E R. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W R3

I ! | 1-FORMA

KLASSA C1 NA U :

!(x) = p(x)dx1 + q(x)dx2 + r(x)dx3; x = (x1; x2; x3) 2 U.

wY^ISLIM d!. iMEEM

d! = (@x@p1 dx1 + @x@p2 dx2 + @x@p3 dx3) ^ dx1 + (@x@q1 dx1 + @x@q2 dx2 + @x@q3 dx3) ^ dx2 + ( @x@r1 dx1 + @x@r2 dx2 + @x@r3 dx3) ^ dx3

= (@x@q1 , @x@p2 )dx1 ^ dx2 + (@x@r1 , @x@p3 )dx1 ^ dx3 + (@x@r2 , @x@q3 )dx2 ^ dx3:

30. u P R A V N E N I E. pUSTX ! | 2-FORMA KLASSA C1 NA U R3 : ! = pdx1 ^ dx2 + qdx1 ^ dx3 + rdx2 ^ dx3. pOKAZATX, ^TO

d! = (@x@p3 + @x@q2 + @x@r1 )dx1 ^ dx2 ^ dx3.

zAMENA PEREMENNYH W DIFFERENCIALXNYH FORMAH

31. pUSTX U OTKRYTO W Rn; V OTKRYTO W Rm, OTOBRAVENIE ' : U ! V NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO. tOGDA W KAVDOJ TO^KE x 2 U OPREDELENO KASA- TELXNOE OTOBRAVENIE '0(x) : Rnx ! Rm'(x). pO\TOMU KAVDOJ FORME ! 2 k(V )

		k
MOVNO SOPOSTAWITX FORMU ' ! 2		(U ):
	!('(x));		ESLI k = 0,		(x 2	):
' !	'0(x) !('(x));		ESLI	k 1	(x 2	):
			ESLI

481

oTMETIM, ^TO

! 2	0;p	(V ); ' 2 C		p	)		0;p	(U );
						' ! 2
k;p			p+1		)		k;p	(U ); k 1:
! 2 (V ); ' 2 C						' ! 2

pERE^ISLIM OSNOWNYE SWOJSTWA WWED•ENNOJ OPERACII (PREDPOLAGAETSQ, ^TO WYPOLNQ@TSQ PODHODQ]IE OGRANI^ENIQ NA U^ASTWU@]IE W \TIH SWOJSTWAH OTO- BRAVENIQ).

32.

'(!1

+ !2) = ' !1

' !2,

33.

'(c !)(x) = c('(x)) ' !(x),

34.

'(! ^ ) =

! ^ ' ,

35.

@'i

' dy

j (x)dx

= d'

(x), GDE ' , i-Q KOORDINATNAQ FUNKCIQ OTO-

P 1

; : : :; dy

BRAVENIQ ', A dy

| BAZIS W L(R'(x); R), DUALXNYJ K STANDARTNOMU

BAZISU W

'(x)

36.' d! = d('!).

p. 32 O^EWIDEN, P. 33 | SLEDSTWIE P. 34, P. 34 | SLEDSTWIE P. 17. uSTANOWIM P. 35. dLQ 2 Rnx IMEEM

i	i	i	X	@'i	j	i
' dy ( ) = dy ('(x))('0(x) ) = ('0		(x)) =	X	@xj		= d'	(x)( ):
' dy ( ) = dy ('(x))('0(x) ) = ('0		(x)) =				= d'	(x)( ):
			j
							I
dOKAVEM P. 36. pUSTX SNA^ALA ! \| 0-FORMA. tOGDA ' ! = ! '							I

d(' !)(x) =

d(! ')(x) = d!('(x)) '0(x)

' (x) d!('(x)) = d(! ')(x) = ' d!(x):

dLQ DOKAZATELXSTWA OB]EGO SLU^AQ DOSTATO^NO RASSMOTRETX FORMU WIDA !(y) = c(y)dyi1 ^ : : : ^ dyik . dLQ NE•E (S U^•ETOM P. 33{35)

		i1	^ : : : ^ dy	ik	)(x) = c('(x))d'	i1	^ : : : ^ d'	ik	(x):
' ! = c('(x)) '(dy

482

pO\TOMU (S U^•ETOM P. 28 I RAZOBRANNOGO SLU^AQ 0-FORMY)

				i1		(x) ^ : : : ^ d'			ik		(x))
d(' !)(x) = d(' c)(x) ^ (d'
	i1						ik		(x))
+ ' c(x) ^ d(d'			(x) ^ : : : ^ d'
		i1			(x) ^ : : : ^ d'			ik		(x)
= ('dc)(x) ^ d'
						i1			ik		(x))
= ('dc)(x) ^ (' dy							^ : : : ^ ' dy

i i

=' d(cdy 1 ^ : : : ^ dy k )(x) = (' d!)(x): >

37.u P R A V N E N I E. eSLI m = n, TO

	1	^ : : : ^ dx	n	) = c ' det '0	1	^ : : : ^ dx	n	:
'(c ^ dx					dx

38. p R I M E R. pUSTX U OTKRYTO W R2, GDE ZADANY POLQRNYE KOORDINATY ( ; ), PRI^•EM U \ f( ; ) j = 0g = ;; V | OTKRYTOE MNOVESTWO W DRUGOM \KZEMPLQRE R2, GDE ZADANY PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY (y1; y2), I OTOBRAVENIE ' ZADANO FORMULAMI

y1 = '1( ; ) = cos ; y2 = '2( ; ) = sin :

pUSTX ! = dy1 ^ dy2. tOGDA

	1	2	= (cos d , sin d ) ^ (sin d + cos d ) = d ^ d :
' ! = d' ^ d'

tEOREMA pUANKARE

39.fORMA ! 2 k;1(U ) NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI d! = 0. dIFFEREN- CIALXNAQ FORMA ! NAZYWAETSQ TO^NOJ, ESLI SU]ESTWUET FORMA TAKAQ, ^TO

!= d . w SILU P. 28 KAVDAQ TO^NAQ FORMA ! 2 k;1 (U ) QWLQETSQ ZAMKNUTOJ. wOZNIKAET WOPROS, NE SLEDUET LI IZ ZAMKNUTOSTI FORMY E•E TO^NOSTX? oTWET POLOVITELEN LI[X PRI NEKOTORYH OGRANI^ENIQH NA OBLASTX U.

40.nAZOW•EM OBLASTX U 2 Rn ZW•EZDNOJ, ESLI 9a 2 U 8x 2 U ([a; x] U ), GDE [a; x] = fta + (1 , t)x j t 2 [0; 1]g | OTREZOK W Rn. o^EWIDNO, KAVDOE ZW•EZDNOE MNOVESTWO LINEJNO SWQZNO, A KAVDOE WYPUKLOE MNOVESTWO ZWEZDNO• .

41.t E O R E M A. pUSTX U Rn | OTKRYTOE ZW•EZDNOE MNOVESTWO. tOGDA WSQKAQ ZAMKNUTAQ FORMA ! 2 k (U) TO^NA.

483

bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI S^ITAEM, ^TO W OPREDELENII P. 40 a = . oPRE- DELIM LINEJNOE OTOBRAVENIE J : k(U) ! k,1(U), ZADAW EGO NA ODNO^LENNYH FORMAH RAWENSTWOM

		k			1tk,1c(tx) dt)xi !;
(3)	Jfc(x)dxi1 ^ : : : ^ dxikg	X	(,1) (		1tk,1c(tx) dt)xi !;
		X	Z	0
		=1

GDE OBOZNA^ENO ! = dxi1 ^ : : : ^ dxi ,1 ^ dxi +1 ^ : : : ^ dxik . pRI \TOM J(0) = 0.

uTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ TOVDESTWA

(4)	! = J(d!) + d(J!);

KOTOROE PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI. w SILU LINEJNOSTI OTOBRAVENIQ J DOSTATO^NO DOKAZATX (4) DLQ ODNO^LENNOJ FORMY !(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik . iMEEM (SM. (3))

@xi

d(J!)(x) =

X X

(,1) [

(tx) dt

xi +

tk,1c(tx) dt

]dxj ^ ! :

@xj

=1 j=1

P P

oBOZNA^AQ 1 =

!, POLU^AEM

(,1) (

j (tx) dt x

) dx ^

=1 j=1

d(J!)(x) =

1tk,1c(tx) dt

(,1) ,1 dxi ^ !

s DRUGOJ STORONY,

P1 +kZ0

tk,1c(tx) dt dxi1 ^ : : : ^ dxik :

(x) dxj ^ dxi1 : : : ^ dxik g

J(d!)(x) =

j=1

j=1(Z0 tk

(tx) dt xj) dxi1 ^ : : : ^ dxik

@xj

, P

(,1) ,1(

(tx) dt xi )dxj ^ !

j=1 =1

P Z

P P

= (

j (tx) dt x ) dx

^ : : : ^ dx

, 1 :

j=1

sKLADYWAQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, IMEEM


J(d!)(x) + d(J!)(x) =	Z01	d	[tkc(tx)] dt dxi1 ^ : : : ^ dxik
		dt
=	c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik = !(x):			>

484

sINGULQRNYE KUBY

42. pUSTX Ik = [0; 1]k Rk; U | OTKRYTOE MNOVESTWO W Rk TAKOE, ^TO Ik U . pUSTX : U ! Rn (n k) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE OTOBRA- VENIE. oGRANI^ENIE \TOGO OTOBRAVENIQ NA Ik NAZYWAETSQ k-MERNYM SINGULQR- NYM KUBOM W Rn. dOPUSKAQ NEKOTORU@ WOLXNOSTX, BUDEM OBOZNA^ATX \TO OGRA- NI^ENIE PO-PREVNEMU BUKWOJ ( : Ik ! Rn). eSLI OTOBRAVENIE DEJSTWUET W OTKRYTU@ OBLASTX V Rn, TO GOWORQT O k-MERNOM SINGULQRNOM KUBE W OBLASTI V . nULXMERNYM SINGULQRNYM KUBOM NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE : f0g ! Rn. w ^ASTNOSTI, SAM STANDARTNYJ KUB Ik RASSMATRIWAETSQ KAK k-MERNYJ SINGULQR- NYJ KUB, QWLQ@]IJSQ OGRANI^ENIEM NA Ik TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ Rk NA SEBQ.

43. pUSTX ; 0 : Ik ! Rn | DWA k-MERNYH SINGULQRNYH KUBA. bUDEM GO- WORITX, ^TO 0 POLU^EN IZ IZMENENIEM PARAMETRIZACII (PI[EM 0), ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : Ik ! Ik (TO ESTX p | BIEKCIQ, NEPRERYW- NO DIFFERENCIRUEMAQ WMESTE S p,1, PRI^•EM p0; (p,1)0 DOPUSKA@T NEPRERYWNYE PRODOLVENIQ NA GRANICU Ik ) TAKOJ, ^TO

(i)0 = p,

(ii)det p0 > 0.

bUDEM PISATX , 0, ESLI SU]ESTWUET DIFFEOMORFIZM p : Ik ! Ik TAKOJ, ^TO WYPOLNENO (i) I

(iii)det p0 < 0.

w ^ASTNOSTI, 1-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W Rn ESTX GLADKAQ KRIWAQ W Rn W SMYSLE 178.1, A 2-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W R3 ESTX GLADKAQ POWERHNOSTX W R3 W SMYSLE 185.1.

44. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W MNOVESTWE k-MERNYH SINGULQRNYH KUBOW.

iNTEGRAL FORMY PO SINGULQRNOMU KUBU

45. pUSTX ! | 0-FORMA KLASSA C0 W OBLASTI U Rn (TO ESTX ! : U ! R| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ) I : f0g ! U | 0-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB. pOLOVIM

PO OPREDELENI@ Z ! !( (0)).

46. pUSTX TEPERX ! 2 k;0 (U ) | ODNO^LENNAQ k-FORMA, TO ESTX !(x) = c(x)dx1 ^ : : : ^ dxk; x = (x1; : : :; xk) 2 U , GDE U Rk | OTKRYTAQ OBLASTX,

485

SODERVA]AQ STANDARTNYJ KUB Ik. pO OPREDELENI@
		Zk	! Zk c(x) dx = Z01 : : :Z01c(x1; : : :; xk) dx1 : : : dxk
		I	I
(SPRAWA STOIT OBY^NYJ KRATNYJ INTEGRAL rIMANA).
47. (oB]IJ SLU^AJ). pUSTX ! 2 k(V ); V					Rn; n k I : Ik ! V \|
k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W OBLASTI V . sOGLASNO P. 31 S KAVDOJ k-FORMOJ
! 2	k			k		k	U . iNTEGRAL OT k-FORMY
! 2		(V ) ASSOCIIROWANA k-FORMA ! 2		(U ); I			U . iNTEGRAL OT k-FORMY
! PO SINGULQRNOMU k-MERNOMU KUBU : Ik ! V OPREDELQETSQ RAWENSTWOM
			Z ! Zk
(5)			Z ! Zk	!:
			I

48. zAPI[EM QWNOE WYRAVENIE INTEGRALA (5) OT ODNO^LENNOJ k-FORMY

!(x) = c(x)dxi1 ^ : : : ^ dxik (i1 < i2 < : : : < ik). pUSTX : Ik ! V , TO ESTX t = (t1; : : :; tk ) 2 Ik ! (t) = ( 1 (t); : : :; n(t)) 2 V . tOGDA (SM. PP. 33,34)

!(t)

(dx s)

=				i1	ik	)
=	c( (t)) (dx				^ : : : ^ dx	)
=				i1			ik	);
=	c( (t)) (dx				) ^ : : : ^ (dx			);
=	k	@ is	dtj ;		1 s k:
=	P	j	dtj ;		1 s k:
	P	@t
	j=1	@t
	j=1

oTS@DA (SM. P. 37)
	i1	: : :	ik	dt	1	k
!(t) = c( (t)) det t1		: : :	tk	dt		^ : : : ^ dt ;

GDE	i1	: : :	ik
GDE	t1	: : :	tk
(6)			Z

	2	@ i1	: : :		@ i1	3
=		@t1	: : :		@tk
		@t1			@tk
		: : : : : :		: : :			, TAK ^TO
	6	@ ik			@ ik	7	, TAK ^TO
	6					7
	4	@t1	: : :		@tk	5
		@t1			@tk
! = Zk c( (t)) det				i1		: : : ik		dt1 : : :dtk:
! = Zk c( (t)) det				t1		: : : tk		dt1 : : :dtk:
	I

oTMETIM SWOJSTWA INTEGRALA.

49.eSLI 0, TO DLQ L@BOJ k-FORMY ! Z ! = Z !.

486

50.eSLI , 0, TO Z ! = ,Z !.

pUSTX, NAPRIMER, 0. rAWENSTWO P. 49 DOSTATO^NO USTANOWITX DLQ OD-

NO^LENNYH FORM. pUSTX p : Ik ! Ik						\| DIFFEOMORFIZM TAKOJ, ^TO 0 =
p; det p0	> 0.	w OBOZNA^ENIQH P			. 49	IMEEM ISPOLXZUEM TEOREMU O ZAMENE
p; det p0	> 0.				. 49	(
PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE)
		Z ! =	Z	! = Zk c( (p(t)) det( p)0(t) dt
		0	p	I
		=	Zk c( (p(t)) det 0(p(t)) det p0(t) dt
			I
		=	Zk c( (x)) det 0(x) dx = Z				!:	>


			I

pROSTRANSTWO CEPEJ

51. rASSMOTRIM WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO Sk , ALGEBRAI^ESKIM BAZISOM KOTOROGO QWLQETSQ MNOVESTWO WSEH k-MERNYH SINGULQRNYH KUBOW W Rn. tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY Sk | \TO FORMALXNYE SUMMY WIDA

(7)		s = 1 1	+ : : : + p p;			i 2	;
							R
GDE 1; : : :; p \| k-MERNYE SINGULQRNYE KUBY W Rn. pOLOVIM PO OPREDELENI@
DLQ L@BOJ k-FORMY !			p
		Z	p	iZ !:
		Z	! = i=1	iZ !:
		s	X	i
pUSTX NARQDU S	(7)	ZADAN E]E ODIN \LEMENT			t	= 1 ~1 + : : : + q ~q		PROSTRAN	-
	(7)	•			t	= 1 ~1 + : : : + q ~q			-

STWA Sk . \|LEMENTY s I t NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI (s t), ESLI Z ! = Z !
s	t

DLQ L@BOJ k-FORMY !; | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W Sk (!!). pUSTX Sk | FAKTOR-PROSTRANSTWO PROSTRANSTWA Sk PO UKAZANNOMU OTNO[ENI@ \KWIWALENT- NOSTI. |LEMENTY \TOGO FAKTOR-PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ k-MERNYMI CEPQMI W Rn. mY PO-PREVNEMU BUDEM OBOZNA^ATX k-MERNYE CEPI SIMWOLOM (7). w ^AST-

NOSTI, k-MERNAQ CEPX NAZYWAETSQ NULEWOJ, ESLI Z ! = 0 DLQ L@BOJ k-MERNOJ

FORMY !.

52. z A M E ^ A N I E. eSLI | NULEWAQ k-MERNAQ CEPX I 1; : : :; p | L@BYE k-MERNYE SINGULQRNYE KUBY, TO = 0 1 + : : : + 0 p.

487

53. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO PROSTRANSTWO Sk BESKONE^NOMERNO. fuKAZANIE: PUSTX p 2 N PROIZWOLXNO I U1; : : :; Up | PROIZWOLXNYE POPARNO

NEPERESEKA@]IESQ OTKRYTYE MNOVESTWA W Rn . rASSMOTRETX k-MERNYE SINGU- LQRNYE KUBY 1; : : :; p TAKIE, ^TO i (Ik) Ui (1 i p); CEPI 1 i (1 i p) NENULEWYE. pOKAZATX, ^TO \TI CEPI LINEJNO NEZAWISIMY.g

54. rASSMOTRIM PROSTRANSTWO k;0 = k;0(Rn ). nA PROIZWEDENII k;0 Sk

OPREDELIM WE]ESTWENNU@ BILINEJNU@ FORMU
(8)			h!; si Zs	!	(! 2 k;0; s 2 Sk ):
55. bILINEJNAQ FORMA (8) NEWYROVDENA, TO ESTX
(A) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ ! 2 k;0, TO s = ,
(B) ESLI h!; si = 0 DLQ L@BOJ s 2 Sk, TO ! = 0.
(A) SLEDUET IZ OPREDELENIQ NULEWOJ CEPI (SM. P. 51).
(B). eSLI ! =			ci1:::ik (x) dxi1 ^: : :^dxik 6= 0, TO HOTQ BY ODIN KO\FFICIENT
\TOJ FORMY		W NEKOTOROJ TO^KE			x0 2	Rn	.	pUSTX	,	NAPRIMER	, c1:::k(0) > 0.
	6= 0 P
wOZXM•EM k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB W Rn, ZADANNYJ RAWENSTWOM
(t1; : : :; tk ) = ( t1; : : :; tk; 0; : : :; 0);								t = (t1; : : :; tk) 2 Ik;

GDE U WEKTORA W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA n , k NULEJ. pRI DOSTATO^NO MALOM> 0 c1:::k( (t)) > 0; t 2 Ik. sLEDOWATELXNO, DLQ CEPI s = 1 IMEEM

	Zs	! =IZk		c( (t)) det	t1	: : :	tk	dt
h!; si =	Zs	! =IZk	! = IRk	c( (t)) det	t1	: : :	tk	dt
=	kZk c( (t)) > 0;
		I

^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@. >

gRANICA CEPI

56. oPREDELIM SNA^ALA GRANICU SINGULQRNOGO KUBA : Ik ! Rn, TO ESTX CEPI WIDA s = 1 . pUSTX

Rki;,0 1 ft = (t1; : : :; tk) 2 Rk j ti = 0g

| GIPERPLOSKOSTX W Rk. bUDEM RASSMATRIWATX \TU GIPERPLOSKOSTX KAK (k ,1)-

MERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO S KOORDINATNYM PREDSTAWLENIEM, INDUCIRO- WANNYM IZ Rk. tAK ^TO ^ISLA t1; : : :; ti,1; ti+1; : : :; tk SUTX KOORDINATY TO^-

KI (t1; : : :; ti,1; 0; ti+1; : : :; tk) 2 Rk,1. aNALOGI^NO OPREDELIM GIPERPLOSKOSTX

i;0

488

Rk,1 ft 2 Rk j ti = 1g. pUSTX Ik,1 \| SOOTWETSTWU@]IE STANDARTNYE GIPER-
i;1		i;
KUBY W Rk,1	( = 0; 1); ONI QWLQ@TSQ PROTIWOPOLOVNYMI GRANQMI ISHODNOGO
i;
GIPERKUBA Ik	Rk . tOGDA OTOBRAVENIQ i; = j Ik,1 SUTX (k , 1)-MERNYE
		i;
SINGULQRNYE KUBY ( =		0; 1; i = 1; : : :k). gRANICEJ SINGULQRNOGO KUBA
	k	1
NAZYWAETSQ CEPX @		(,1)i+ i; . cEPI (,1)i+ i; NAZYWA@TSQ ORIEN-
	i=1 =0
TIROWANNYMI (k , 1)-MERNYMIP P GRANQMI SINGULQRNOGO GIPERKUBA .

57. p R I M E R. pRI k = 2 RASSMOTRIM STANDARTNYJ KUB I2 KAK SINGULQR- NYJ 2-MERNYJ KUB (TO ESTX EDINI^NYJ KWADRAT W R2), OPREDEL•ENNYJ TOVDEST- WENNYM OTOBRAVENIEM R2 NA SEBQ. tOGDA (SM. rIS. 29)

@I2 = ,I11;0 + I11;1 + I21;0 , I21;3:

58. w OB]EM SLU^AE DLQ PROIZWOLXNOJ k-MERNOJ CEPI = P i i OPREDELIM

i=1

E•E GRANICU RAWENSTWOM @ = P i@ i. iTAK, OPREDELENO LINEJNOE OTOBRAVENIE

i=1

@ : Sk ! Sk,1.

tEOREMA sTOKSA DLQ CEPI

nARQDU S LINEJNYM OTOBRAVENIEM @ : Sk ! Sk,1 RASSMOTRIM OPERATOR DIFFERENCIROWANIQ d : k,1;1(Rn) ! k;0(Rn ). iMEET MESTO SLEDU@]AQ OSNOW- NAQ TEOREMA MNOGOMERNOGO ANALIZA.

59. t E O R E M A. dLQ L@BOJ CEPI s 2 Sk (k 1) I L@BOJ FORMY

! 2 k,1;1(Rn)

(9)	Zs	! = Z !:
		@s

60. z A M E ^ A N I E. rAWENSTWO (9), ZAPISANNOE ^EREZ BILINEJNU@ FORMU, WWED•ENNU@ W P. 54, IMEET WID

(10)	hd!; si = h!; @si:

(tO ESTX OPERATORY d I @ QWLQ@TSQ WZAIMNO SOPRQV•ENNYMI.)

61. dOKAZATELXSTWO TEOREMY. dOSTATO^NO OGRANI^ITXSQ SLU^AEM, KOGDA s = 1 , GDE | k-MERNYJ SINGULQRNYJ KUB. bOLEE TOGO, MOVNO S^ITATX,

489

^TO KUB STANDARTEN ( = Ik ), TAK KAK OB]IJ SLU^AJ TOGDA SLEDUET IZ WY- KLADKI

Z	! = Zk
Z	! = Zk	! = Zk	d( !) = Zk	d! = Z	d!:
@	@I	I	I

mOVNO S^ITATX, ^TO STANDARTNYJ KUB = Ik ESTESTWENNO WLOVEN W Rn, TO ESTX (t1; : : :; tk) = (t1; : : :; tk; 0 : : :; 0), GDE U WEKTORA W PRAWOJ ^ASTI n , k

NULEJ SPRAWA. eSLI E]•E PRINQTX WO WNIMANIE LINEJNOSTX INTEGRALA (9) PO !, TO DOSTATO^NO RASSMOTRETX ODNO^LENNU@ FORMU WIDA

! = c(x1; : : :; xk )

dxj:

1 j k

j^=6i

mY IMEEM

! =

`=1

=0(,1)

! = `=1

=0(,1)

kZ,1 `;

X X

u^ITYWAQ P. 49, POLU^IM

`; !

IkZ,1

ESLI ` 6= i,

= 8

c(x1; : : :; xi,1; ; xi+1; : : :; xk)

dxj ;

ESLI ` = i,

1 j k;

i=6j

< kZ,1

TAK ^TO

Yi=6j

(,1)i+

: : :

c(x1; : : :; xi,1; ; xi+1; : : :; xk)

dxj :

1 j k;

s DRUGOJ STORONY,

d! =

(x1; : : :; xk)dx`(

^i6=j

dxj):

`=1

1 j k;

w PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA OTLI^EN OT NULQ EDINSTWENNYJ ^LEN (PRI

490

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5149 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx