Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5138 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

pO\TOMU SU]ESTWUET 2 M TAKOE, ^TO (xn) 2 . pRI \TOM (n) ! PO
METRIKE :
( ; (n))	( ; j(xn)) + (j(xn); (n)) < lim d(xk; xn ) +	1	0 (n		):	>

		n !		! 1
	k

4. p R I M E R. pOPOLNENIE INTERWALA (a; b) R MOVNO OTOVDESTWITX S OTREZKOM [a; b].

x217. sWOJSTWA POLNYH METRI^ESKIH PROSTRANSTW

1. t E O R E M A [O WLOVENNYH [ARAH]. w POLNOM METRI^ESKOM PRO-

STRANSTWE WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH DRUG W DRUGA ZAMK- NUTYH [AROW, RADIUSY KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, OBLADAET OB]EJ TO^KOJ.

dANO (SM. 92.2): Br1 [x1] Br2 [x2 ] : : :		;	rn ! 0. tREBUETSQ DOKAZATX:
1
9x 2 k=1 Brk [xk].
T
pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) \| FUNDAMENTALXNA fTAK KAK xn+p 2 Brn [xn];
d(xn; xn+p) rn	! 0 g. pUSTX x = lim xn;		x \| ISKOMAQ TO^KA: DEJSTWI-
TELXNO,

d(x; xn ) d(x; xn+p ) + d(xn; xn+p) d(x; xn+p) + rn;

PEREHODQ K PREDELU PO p, POLU^IM d(x; xn ) rn, OTKUDA x 2 Brn [xn] DLQ L@BOGO n 2 N: >

2. mNOVESTWO S W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NIGDE NE PLOTNYM (SR. 95.5), ESLI S, = ; (TO ESTX S, NE IMEET WNUTRENNIH TO^EK).

3. p R I M E R Y: f1; 12; 13 ; : : :g NIGDE NE PLOTNO W R; Q NE NIGDE NE PLOTNO W R (ONO PLOTNO W R).

4. t E O R E M A [r. b\R]. pOLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO NE

QWLQETSQ OB_EDINENIEM S^•ETNOGO ^ISLA NIGDE NE PLOTNYH MNOVESTW.
	pUSTX, NAPROTIW, POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO M = 1			An; A, =
			n=1	n
;	(n 2	N	S
		). pOSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX [AROW Br1 [x1] Br2 [x2] : : :
SO SWOJSTWAMI: rn ! 0; Brn [xn] \ An = ; (n 2 N). tOGDA TO^KA x, PRI-
NADLEVA]AQ WSEM \TIM [ARAM (SU]ESTWU@]AQ PO TEOREME O WLOVENNYH
[ARAH), NE PRINADLEVIT			1 An, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.
			n=1
			S

371

;

pOSTROENIE PROWEDEM• PO INDUKCII. tAK KAK A,

, SU]ESTWUET

6 ;

(INA^E A, = M I A, = M =

). tAK KAK A,

OTKRYTO I MET-

RI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO

. 104.3),

NAJDETSQ

r1 (0 < r1 < 1)

(

•

TAKOE, ^TO B

]

A,c . pRI \TOM B

]

;

. pUSTX UVE POSTROENY

[ARY

Br1 [x1] : : : Brk [xk]; 0 < rn <

; Brn [xn]

\ An = ; (1 n k):

dLQ POSTROENIQ

(k + 1)-GO [ARA ZAMETIM, ^TO Br (xk )

(INA^E

; 6

k+1

;

k+1

(xk )

). pO\TOMU NAJDETSQ•

xk+1

(xk )

k+1

= Br

;

PRI \TOM MNOVESTWO W PRAWOJ ^ASTI OTKRYTO.

w SILU REGULQRNOSTI MET-

RI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAJDETSQ

TAKOE

^TO

rk+1 (0 < rk+1 < k + 1)

A,c

•

k+1

[xk+1]

(xk )

. pRI \TOM Br

k+1

[xk+1

]

Ak+1 =

;

. pOSTROENIE

k+1

ZAWER[ENO.

5. u P R A V N E N I E. w MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL POLOVIM

d(x; y) =

ESLI x = y,

1 + (x

+ y),1;

ESLI x = y.

A) dOKAZATX, ^TO d | METRIKA;

B) (N; d) | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO.

W) POSTROITX W N POSLEDOWATELXNOSTX NEPUSTYH ZAMKNUTYH WLOVEN-

NYH [AROW, RADIUSY KOTORYH NE STREMQTSQ K NUL@, I NE SU]ESTWUET

TO^KI, PRINADLEVA]EJ WSEM [ARAM ODNOWREMENNO (SR. S FORMULIROWKOJ

TEOREMY O WLOVENNYH [ARAH).

x218. pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ

1. oTOBRAVENIE f : M

! M METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA M W SEBQ

NAZYWAETSQ SVIMA@]IM (ILI SVATIEM ), ESLI

9 < 1 8x; y 2 M (d(f (x); f (y)) d(x; y)): o^EWIDNO, SVIMA@]EE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO:

xn ! x ) d(f (xn); f(x)) d(xn; x) ! 0:

372

	2. eSLI M \| POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I f : M ! M \|
SVIMA@]EE OTOBRAVENIE, TO URAWNENIE
(1)	f(x) = x

IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.

sU]ESTWOWANIE. dLQ PROIZWOLXNOGO x0 2 M POLOVIM x1 = f (x0); x2 =
f (x1); : : : tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) FUNDAMENTALXNA:
(2) d(xn+p; xn ) d(xn+p,1; xn,1 ) : : : nd(xp; x0)
	n[d(x0; x1) + d(x0; x1) + : : : + p,1d(x0; x1)]
		n
		1 , d(x0; x1) ! 0 (n ! 1).
pOLOVIM x = lim xn. iZ NEPRERYWNOSTI f IMEEM:
n
		f (x) = lim f (xn ) = lim xn+1 = x:
			n	n

eDINSTWENNOSTX. pUSTX y | E]•E ODIN \LEMENT TAKOJ, ^TO f (y) = y. tOGDA

d(x; y) = d(f(x); f(y)) d(x; y) ) d(x; y) = 0 ) x = y: >

3. z A M E ^ A N I E. ~ASTO BYWAET NEOBHODIMO OCENITX POGRE[NOSTX, S KOTOROJ APPROKSIMIRU@]AQ RE[ENIE POSLEDOWATELXNOSTX PRIBLIVAET-

SQ K RE[ENI@ x URAWNENIQ (1). dLQ \TOGO MOVNO, NAPRIMER, PEREJTI K

PREDELU PO

W OCENKE

(2).

iMEEM TOGDA

d(xn; x) 1 , d(x0; x1).

4. [oBOB]ENNYJ•

PRINCIP]. pUSTX f : M

M | OTOBRAVENIE POL-

[n]

f : : : f

NOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA M W SEBQ, PRI^•EM g = f

(n-AQ SUPERPOZICIQ) | SVATIE. tOGDA URAWNENIE (1) IMEET EDINSTWEN- NOE RE[ENIE.

pUSTX x | (NEOBHODIMO EDINSTWENNOE) RE[ENIE URAWNENIQ g(x) = x. tOGDA f (x) | TAKVE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ. sLEDOWATELXNO, f (x) = x. |TO RE[ENIE EDINSTWENNO:

y = f(y) ) y = f[2](y) ) : : : ) y = f[n](y) = g(y) ) y = x: >

pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ IMEET MNOGO^ISLENNYE PRIMENE- NIQ W RAZLI^NYH ZADA^AH ANALIZA, DIFFERENCIALXNYH I INTEGRALXNYH URAWNENIJ. pRIWED•EM DWE ILL@STRACII.

373

M(b , a)d(f; g). sLEDOWA-

5. [iNTEGRALXNOE URAWNENIE fREDGOLXMA 2-GO RODA]. rASSMOTRIM IN- TEGRALXNOE URAWNENIE W PROSTRANSTWE C[a; b] S METRIKOJ, OPREDELQEMOJ

NORMOJ: kfk = max jf (t)j:

t2[a;b]

	b
(3)	f (t) = Za K (t; s)f (s)ds + '(t);

GDE FUNKCII '(t); K(t; s) NEPRERYWNY (W ^ASTNOSTI, K OGRANI^ENA: jK(t; s)j

M; (t; s 2 [a; b]). rASSMOTRIM OTOBRAVENIE

(Af )(t) Z bK (t; s)f (s)ds + '(t):

tOGDA d(Af; Ag) = max j(Af )(t) , (Ag)(t)j

t2[a;b]

TELXNO, PRI M(b , a) < 1 URAWNENIE (3) IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE. oTMETIM, ^TO SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX PRIBLIVENIJ IME- ET WID (PRI f0 = 0):

f1(t)

(Af0)(t) = '(t);

f2(t)

(Af1)(t) =

a K (t; s)'(s)ds + '(t);

. . . . . . . . . . . . . .Z. . . . . . . . . . .

fn (t)

(Afn,1 )(t) = Za K(t; s)fn,1 (s)ds + '(t); : : :

6. [iNTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRA]. sNOWA W C[a; b] RASSMOTRIM

URAWNENIE (W PREVNIH PREDPOLOVENIQH)

(4)

f (t) = Za K(t; s)f (s)ds + '(t) ( (Af )(t)):

pOSLEDOWATELXNO IMEEM OCENKI:

j(Af)(t) , (Ag)(t)j

M(t , a)kf , gk;

j(A

[2]

kf , gk; : : : ;

f )(t) , (A g)(t)j

(t , a)

[n]

j(A

f )(t) , (A

g)(t)j

n!M

(t , a) kf

, gk n!M

(b , a) kf , gk:

[n]

pOSKOLXKU

n!M

(b , a) < 1 DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH n; A

| SVATIE,

I W SILU P. 4 URAWNENIE (4) IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.

374

x219. kOMPAKTNYE MNOVESTWA W METRI^ESKOM

PROSTRANSTWE

1. pUSTX M | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO; MNOVESTWO X M NAZYWA- ETSQ PREDKOMPAKTNYM, ESLI X, KOMPAKTNO. w METRI^ESKOM PROSTRANSTWE S PONQTIEM KOMPAKTNOSTI TESNO SWQZANO PONQTIE POLNOJ OGRANI^ENNOSTI.

2. pUSTX M | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I X M; MNOVESTWO A M NAZYWAETSQ "-SETX@ DLQ X (" > 0), ESLI 8x 2 X 9a 2 A (d(a; x) ").

oTMETIM, ^TO ESLI A | "-SETX DLQ X , TO X S B"[a].

a2A

3. mNOVESTWO W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ OGRANI^EN- NYM, ESLI ONO SODERVITSQ W NEKOTOROM [ARE; MNOVESTWO NAZYWAETSQ WPOL- NE OGRANI^ENNYM, ESLI DLQ NEGO PRI L@BOM " > 0 SU]ESTWUET KONE^NAQ "-SETX.

4. wPOLNE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO OGRANI^ENO.

5. eSLI MNOVESTWO WPOLNE OGRANI^ENO, TO WPOLNE OGRANI^ENO EGO ZAMYKANIE.

6. eSLI METRI^ESKOE PROSTRANSTWO WPOLNE OGRANI^ENO, TO ONO SE- PARABELXNO.

dOKAVEM, NAPRIMER, P. 4. pUSTX X M WPOLNE OGRANI^ENO I x1; : : : xn
\|	NEKOTORAQ	SETX DLQ	X; a	2	M	\|	PROIZWOLXNO I	C = max d(xk; a).
\|		1-	X; a		M	\|		C = max d(xk; a).
								1	k	n
tOGDA
tOGDA
	X B1+C [a]:

x 2 X ) 9k (d(x; xk) 1) ) d(x; a) d(x; xk) + d(xk; a) 1 + C: >

7. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO M KOMPAKTNO TTOGDA ONO POLNO I WPOLNE OGRANI^ENO.

nEOBHODIMOSTX. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO; fB"(x)gx2M | OTKRYTOE POKRYTIE M. sLEDOWATELXNO, ONO OBLADAET KONE^NYM POKRYTIEM

fB"(x1); : : : ; B"(xk )g. tOGDA A = fx1; : : : ; xkg | ISKOMAQ "-SETX (!!). pUSTX, NAPROTIW, M NE POLNO. tOGDA SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWA-

TELXNOSTX (xn) M, KOTORAQ NE SHODITSQ, TO ESTX 8a 2 M 9"a > 0 9n1 < n2 < : : : 8k (d(a; xnk ) 2"a). oTS@DA

( ) 8a 2 M 9"a > 0 9Na 8n > Na (d(a; xn) "a):

375

B"s (as), | PROTIWORE^IE.

LEVIT WNE

feSLI, NAPROTIW, 8Na 9n > Na (d(a; xn ) < "a), TO

2"a d(a; xnk ) d(a; xn ) + d(xn ; xnk ) ) "a < d(xn; xnk )

W PROTIWORE^IE S FUNDAMENTALXNOSTX@ (xn).g iZ OTKRYTOGO POKRYTIQ

fB"a (a)ga2M PROSTRANSTWA M WYDELIM KONE^NOE POKRYTIE fB"1 (a1 ); : : : ;

B"k (ak)g. iZ ( ) PRI N > max Nas SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (xn)n N

sS=1

dOSTATO^NOSTX. pUSTX M POLNO, WPOLNE OGRANI^ENO, NO NE KOM- PAKTNO. pUSTX (U ) | OTKRYTOE POKRYTIE M , NE SODERVA]EE KONE^-

n1 g

NOGO POKRYTIQ. rASSMOTRIM 1-SETX

x1; : : : ; x1

M. hOTQ BY ODIN

[AR

NAPRIMER

, B1[x1

])

NE POKRYWAETSQ KONE^NYM ^ISLOM \LE

[xj ] (

MENTOW POKRYTIQ U . {AR B1[x1] | TAKVE WPOLNE OGRANI^ENNOE MET-

RI^ESKOE PROSTRANSTWO

rASSMOTRIM

SETX

; : : : ; x

tOG

n2 g

B1 [x

f 21

DA HOTQ BY ODIN [AR B

[x ]

(NAPRIMER, B

]) NE POKRYWAETSQ KONE^-

k+1

NYM ^ISLOM

aNALOGI^NO DLQ L@BOGO

N SU]ESTWUET

SETX

U .

] TAKAQ, ^TO B

; : : : ; x

,k+2 [x

,k+1 [x

] NE POKRYWAETSQ KONE^-

f 1

nk g

NYM ^ISLOM U . pOSLEDOWATELXNOSTX (x1) FUNDAMENTALXNA (!!) I, SLEDO-

WATELXNO, SU]ESTWUET x0

= lim xk. pUSTX

TAKOWO, ^TO x0

. tOGDA

9" > 0 (B" [x0] U 0 ). nO B2,k+1 [x1k]

[x0 ] PRI DOSTATO^NO BOLX[IH k,

^TO PROTIWORE^IT KONSTRUKCII (x1 ):

8. pUSTX M | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO; X ( M ) PRED- KOMPAKTNO TTOGDA X WPOLNE OGRANI^ENO.

pUSTX X PREDKOMPAKTNO. tOGDA X, KOMPAKTNO I W SILU P. 7 X WPOLNE OGRANI^ENO. oBRATNO, ESLI X WPOLNE OGRANI^ENO, TO X, WPOLNE OGRANI- ^ENO I POLNO (BUDU^I ZAMKNUTYM)) (P. 7) X, KOMPAKTNO. >

rASSMOTRIM WAVNYJ PRIMER: PROSTRANSTWO C [a; b].

9. sEMEJSTWO ( C [a; b]) NAZYWAETSQ RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNYM,

ESLI

8" > 0 9 > 0 8' 2 8x; y 2 [a; b] (jx , yj < ) j'(x) , '(y)j < "):

10. [kRITERIJ KOMPAKTNOSTI W PROSTRANSTWE C [a; b]].mNOVESTWO (

C[a; b]) PREDKOMPAKTNO TTOGDA OGRANI^ENO I RAWNOSTEPENNO NEPRE- RYWNO.

376

nEOBHODIMOSTX. w SILU P. 8 WPOLNE OGRANI^ENO, A ZNA^IT, OGRANI-

^ENO

pUSTX

" > 0.

rASSMOTRIM

SETX

'1; : : : ; 's

DLQ

kAVDAQ FUNKCIQ

'j RAWNOMERNO NEPRERYWNA, TO ESTX

8j 9

j > 0 8x; y 2

[a; b] (jx , yj < j ) j'j(x) ,

'j (y)j <

3 ):

pOLOVIM = min j (> 0). tOGDA

9'j (k' , 'jk

)

'(y)j

8x; y

[a; b]; jx

, yj <

) j'(x) ,

j'(x) , 'j(x)j + j'j(x) ,

'j (y)j + j'j (y) , '(y)j

k' , 'j k + j'j (x) , '(y)j + k' , 'j k

nEOBHODIMOSTX USTANOWLENA (SM. POD^ERKNUTYJ•

TEKST).

dOSTATO^NOSTX. pUSTX OGRANI^ENO I RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO.

tREBUETSQ DOKAZATX (SM. P. 8), ^TO DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KONE^NAQ

SETX

pUSTX

(a = x0

< x1 < : : : < xn = b) |

RAZLOVENIE OTREZKA

j'(xj) ,

[a; b]; d( ) < . w OBOZNA^ENIQH P. 9 (S ZAMENOJ " NA

5) TOGDA

'(xj,1)j

(' 2 ; 1 j n). pUSTX K > 0 TAKOWO, ^TO k'k K (' 2

rASSMOTRIM RAZLOVENIE

(,K = y0 < y1 < : : : < ym = K)

OTREZKA

[,K; K] DIAMETRA <

5. kAVDOJ ' 2

SOPOSTAWIM POLIGON

S UZLAMI

W (xk; yj ), GDE DLQ DANNOGO k NOMER j OPREDELQETSQ, NAPRIMER, USLOWIEM

yj '(xk ) < yj+1. tOGDA

j'(xk ) ,

(xk )j

5 (k = 1; : : :; n);

j (xk) ,

(xk+1 )j

< j (xk) , '(xk)j + j'(xk ) , '(xk+1 )j

+ j'(xk+1 ) , (xk+1)j <

dLQ PROIZWOLXNOGO x 2 [a; b] (xk | BLIVAJ[IJ UZEL K x SLEWA):

j'(x) ,

(x)j j'(x) ,

'(xk )j + j'(xk ) , (xk)j + j (xk) , (x)j

+ j

(xk) , (xk+1)j < ":

nAKONEC, ^ISLO POLIGONOW OPISANNOGO WIDA, O^EWIDNO, KONE^NO. > 11. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO MNOVESTWO

= f' 2 C [0; 1]j 0 '(x) 1 (0 x 1)g

NE RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO W C[0; 1].

377

osnownye principy linejnogo analiza

mY PEREHODIM K SISTEMATI^ESKOMU IZU^ENI@ NEPRERYWNYH LINEJ- NYH OTOBRAVENIJ W NORMIROWANNYH PROSTRANSTWAH. w OSNOWE \TOJ TE- ORII LEVAT TRI FUNDAMENTALXNYH REZULXTATA, POSTOQNNO ISPOLXZUEMYE W LINEJNOM FUNKCIONALXNOM ANALIZE I EGO PRIMENENIQH: TEOREMA hANA- bANAHA (PRINCIP PRODOLVENIQ LINEJNYH FUNKCIONALOW), TEOREMA bANAHA- {TEJNGAUZA (PRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI) I TEOREMA bANAHA (PRINCIP OTKRYTOSTI OTOBRAVENIQ).

x220. kONE^NOMERNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA

1. pUSTX k k1 I k k2 | DWE NORMY W KONE^NOMERNOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE E. tOGDA SU]ESTWU@T KONSTANTY m; M > 0 TAKIE, ^TO

( )		mkfk1 kfk2 Mkfk1 (f 2 E):
	pUSTX fe1; : : : ; eng \| BAZIS W WEKTORNOM PROSTRANSTWE E;							k ke \|
EWKLIDOWA NORMA, A			k k \| PROIZWOLXNAQ NORMA W E. pOKAVEM, ^TO SU-
]ESTWU@T KONSTANTY d; D > 0 TAKIE, ^TO
			dk ke k k Dk ke
(OTS@DA, O^EWIDNO, SLEDUET (				)). dLQ PROIZWOLXNOGO WEKTORA f = f1e1 +
: : : + fnen IMEEM
	kfk	X	jfijkeik	[	keik2]1=2	[	jfij]1=2 = Dk ke;
		X		X		X
		i		i		i

GDE D = [P keik2]1=2.

pUSTX S( E) | EDINI^NAQ SFERA W EWKLIDOWOJ NORME, TO ESTX S =

ff 2 E j kfke = 1g I '(f ) kfk (f 2 S). fUNKCIQ ' : S ! R |

NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA KOMPAKTNOM MNOVESTWE W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE (E; k ke) fNEPRERYWNOSTX EE• SLEDUET IZ OCENKI:

j'(f) , '(g)j = j kfk , kgk j kf , gk Dkf , gkeg:

378

sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET f0 2 S, ^TO '(f0 ) = min'(f) (> 0). pOLOVIM

d = '(f0). tOGDA f 6= WLE^ET•

f2S

dkfke = '(f0)kfke '(kfke )kfke = kfk: >

2.s L E D S T W I E. wSQKOE KONE^NOMERNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO POLNO.

3.s L E D S T W I E. wSE NORMY W KONE^NOMERNOM PROSTRANSTWE OPREDELQ@T ODNU I TU VE TOPOLOGI@.

4.z A M E ^ A N I E. w BESKONE^NOMERNYH PROSTRANSTWAH \TO UVE NE TAK (SM., NAPRIMER, 149.6).

5.pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, X | EGO ZAMKNUTOE POD-

PROSTRANSTWO, f 2 EnX; \LEMENT f0 2 X NAZYWAETSQ \LEMENTOM NAILU^-

[EGO PRIBLIVENIQ K f (OTNOSITELXNO X ), ESLI

g2X k

= inf

(= inf

f + g

6. eSLI X | KONE^NOMERNOE PODPROSTRANSTWO E, TO \LEMENT NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO X WSEGDA SU]ESTWUET.

pUSTX dim X = n I = inf kf ,gk. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (gk ) X

g2X

TAKOWA, ^TO kf , gkk ! (k ! +1); (gk ) OGRANI^ENA PO NORME k k, TAK KAK kgkk kgk , fk + kfk (k = 1; 2; : : :). w SILU 65.4 I P. 3 (gk ) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@: gnk ! f0. |LEMENT f0 2 X. pRI \TOM

kf , f0k = limkf , gnk k = : >

u P R A V N E N I Q. 7. wWEDEM• W C n SEMEJSTWO NORM

[

fk p]1=p

kP=1 j

n j

max

(1 p < +1);

= (f1; : : : ; fn ) 2 C n):

nAJDITE KONSTANTY mp; Mp (1 p 1), UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM

mpk kp k k1 Mpk kp.

379

QWLQETSQ BANAHOWYM PRO-

8. w PROSTRANSTWE C 2 S NORMOJ k k1 (SM. UPR. 7) NAJDITE WSE \LEMEN- TY NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ K WEKTORU f = (1; 0) OTNOSITELXNO PODPRO- STRANSTWA X = f(u; v) j u = vg.

x221. {KALA PROSTRANSTW Lp( ) (1 p 1)

sOGLA[ENIQ: (E;A; ) | PROSTRANSTWO S POLNOJ -KONE^NOJ MEROJ, M = M(E; A; ) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ f : E ! C (ILI R), FAKTORIZOWANNOE PO OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI (f g, ESLI f (x) = g(x) P. W.). dOPUSKAQ WOLXNOSTX, \LEMENTY PROSTRAN- STWA M MY NAZYWAEM FUNKCIQMI.

1. wWEDEM• SLEDU@]IE KLASSY FUNKCIJ I ^ISLOWYE FUNKCII NA \TIH KLASSAH:

Lp( )	ff 2 M j Z jfjp d < +1g;
kfkp	[Z jfjp d ]1=p (f 2 Lp( )); 1 p < +1;
L1( )		ff 2 M j 9k > 0 (jf(x)j k P. W.)g;
kfk1		inffk : jf(x)j k P. W. (f 2 L1( )):

nA^N•EM ANALIZ S KLASSA L1 ( ). pREVDE WSEGO, L1( ) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM C (!!). dALEE,

2.jf (x)j kfk1 P. W. NA E .

3.fUNKCIQ kfk1 | NORMA NA L1( ).

iZ P. 2 SLEDUET NEMEDLENNO, ^TO kfk1 = 0 ) f (x) = 0 P. W., A ZNA^IT, f = . sNOWA S U^ETOM• P. 2 IMEEM DLQ f; g 2 L1 ( ):

jf (x) + g(x)j jf (x)j + jg(x)j kfk1 + kgk1 P. W.;

OTKUDA kf + gk1 kfk1 + kgk1: >

4. pROSTRANSTWO L1 ( ) S NORMOJ kfk1 STRANSTWOM.

pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn ) FUNDAMENTALXNA W L1( ). tOGDA IZ OCENKI (SM. P. 2)

jfn+p (x) , fn(x)j kfn+p , fnk1 P. W.

380

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5138 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx