А.Н.Шерстнев - Математический анализ

x238. bILINEJNYE FORMY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE

1. fUNKCI@ a : H H ! C , GDE H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, NAZOWEM• BILINEJNOJ FORMOJ (B. F.) W H, ESLI ONA LINEJNA PO PERWOMU ARGUMENTU I ANTILINEJNA PO WTOROMU:

(sRAWNITE \TO OPREDELENIE S OPREDELENIEM 2-LINEJNOJ FORMY 230.3.)

3. b. F. OGRANI^ENA TTOGDA ONA NEPRERYWNA (PO SOWOKUPNOSTI PERE- MENNYH).

4. eSLI A | LINEJNYJ OGRANI^ENNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PRO- STRANSTWE H (T. E. A 2 L(H; H), SM. 223.1), TO RAWENSTWO a(f; g) = hAf; gi (f; g 2 H) OPREDELQET OGRANI^ENNU@ B. F. oKAZYWAETSQ, SPRAWEDLIWO I OBRATNOE:

hAf; gi (f; g 2 H). pOKAVEM, ^TO A 2 L(H; H). oPERATOR A LINEEN W SILU

411

WYKLADKI

ja(f; g)j = jhAf; gij kAfk kgk kAk kfk kgk ) kak kAk:

oPERATOR A OPREDEL•EN ODNOZNA^NO. feSLI, NAPROTIW, B | E]E• ODIN OPE- RATOR TAKOJ, ^TO a(f; g) = hBf; gi (f; g 2 H ), TO DLQ L@BOGO g 2 H : hAf , Bf; gi = 0, OTKUDA Af = Bf (f 2 H), T. E. A = B.g >

x239. sOPRQVENNYJ• OPERATOR

1. pUSTX A 2 L(H; H) I a | SOOTWETSTWU@]AQ EMU B. F., TO ESTX a(f; g) = hAf; gi(f; g 2 H ). rASSMOTRIM NOWU@ B. F. a (f; g) hf; Agi (f; g 2

H). |TA B. F. OGRANI^ENA, PRI^EM• ka k = kak (!!). pO\TOMU (SM. 237.5)

SU]ESTWUET I OPREDELEN• ODNOZNA^NO OPERATOR A 2 L(H; H ) TAKOJ, ^TO a (f; g) = hA f; gi (f; g 2 H ). pRI \TOM kA k = kAk. oPERATOR A NA-

ZYWAETSQ SOPRQV•ENNYM K A. |TOT OPERATOR, TAKIM OBRAZOM, ODNOZNA^NO OPREDELEN• RAWENSTWOM hAf; gi = hf; A gi (f; g 2 H).

2. oTMETIM NEKOTORYE LEGKO PROWERQEMYE SWOJSTWA SOPRQVENNOGO• OPE- RATORA:

(A) (A + B) = A + B ; ( A) = A ;

3.oPERATOR A 2 L(H; H) NAZYWAETSQ SAMOSOPRQV•ENNYM, ESLI A = A . oPERATOR A SAMOSOPRQVEN• TTOGDA B. F., SOOTWETSTWU@]AQ \TOMU OPE- RATORU W SILU 238.4, QWLQETSQ \RMITOWOJ (!!). oTMETIM, ^TO MNOVESTWO WSEH OGRANI^ENNYH SAMOSOPRQV•ENNYH OPERATOROW OBRAZUET WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO.

4.dLQ KAVDOGO OGRANI^ENNOGO SAMOSOPRQV•ENNOGO OPERATORA A :

kAk = sup jhAf; fij.

kfk=1

412

u P R A V N E N I Q. 5. uBEDITESX, ^TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO (NAD POLEM R) WSEH OGRANI^ENNYH SAMOSOPRQVENNYH• OPERATOROW W GILXBERTO- WOM PROSTRANSTWE H QWLQETSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM OTNOSITELXNO OPERATORNOJ NORMY.

6. dLQ OPERATORA A 2 L(H; H ) POLOVIM

R(A) = fAf j f 2 Hg; Ker(A) = ff 2 H j Af = g: pOKAVITE, ^TO H = R(A ) Ker(A).

x240. aLGEBRA B(H )

1. pUSTX H | KOMPLEKSNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO. w SOOTWET- STWII S 223.6 L(H; H) | BANAHOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO OPERATOR- NOJ NORMY. oPERACIQ SUPERPOZICII DWUH OPERATOROW (A B)f A(Bf ) (f 2 H ) NE WYWODIT IZ L(H; H ) (SM. 223.5), PRI^EM• kA Bk kAk kBk. bUDEM W DALXNEJ[EM A B NAZYWATX PROIZWEDENIEM OPERATOROW A I B I OBOZNA^ATX SIMWOLOM AB, A KLASS L(H; H ) OBOZNA^ATX ^EREZ B(H).

413

tOVDESTWENNYJ OPERATOR I QWLQETSQ EDINICEJ ALGEBRY B(H) : AI = IA = A (A 2 B(H)). oTMETIM, ^TO ESLI dim H > 1, ALGEBRA B(H) NEKOM- MUTATIWNA. oPERATOR A 2 B(H ) NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI SU]EST- WUET B 2 B(H) TAKOJ, ^TO AB = BA = I. w \TOM SLU^AE B NAZYWAETSQ OBRATNYM K A I OBOZNA^AETSQ A,1.

w SILU 239.1 ) | OPERACIQ W B(H ). w SLEDU@]EM NIVE UTWERVDENII SOBRANY W OSNOWNOM IZWESTNYE NAM FAKTY:

3. bANAHOWO PROSTRANSTWO B(H) QWLQETSQ ALGEBROJ S EDINICEJ. oPE- RACIQ SOPRQVENIQ ) OBLADAET SWOJSTWAMI:

(1)kABk kAk kBk, 2 B(H):

(2)kA Ak = kAk2.

dOKAVEM LI[X POSLEDNEE RAWENSTWO. oTMETIM, ^TO OPERATOR A A SA- MOSOPRQVEN• . w SILU 239.4

5.oPERACIQ ) NEPRERYWNA W B(H ).

6.pROIZWEDENIE OPERATOROW NEPRERYWNO W B(H) PO SOWOKUPNOSTI PE- REMENNYH, T. E. An ! A; Bn ! B ) AnBn ! AB .

414

sLEDU@]EE SWOJSTWO HARAKTERIZUET ORTOPROEKTORY W KLASSE WSEH LI- NEJNYH OGRANI^ENNYH OPERATOROW.

2.P 2 B(H) | ORTOPROEKTOR TTOGDA P2 = P = P .

pUSTX P | ORTOPROEKTOR NA PODPROSTRANSTWO K . iZ ( ) SLEDUET, ^TO P 2 = P . pUSTX g 2 H PROIZWOLEN I g = g1 + g2 (g1 2 K; g2 2 K?) | EGO RAZLOVENIE SOGLASNO ( ). tOGDA

hP f; gi = hf1; g1 + g2i = hf1; g1i = hf1 + f2; g1i = hf; P gi;

415

P = P , TAK KAK DLQ L@BYH f; g 2 L (R):

hP f; gi = Z X (x)f(x)g(x) dx = Z f(x) X (x)g(x)dx = hf; P gi:

4. oRTOPROEKTORY P1 I P2 NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI P1P2 = 0 (W \TOM SLU^AE I P2P1 = (P1P2 ) = 0).

u P R A V N E N I Q. 5. oRTOPROEKTORY P1; P2 (NA PODPROSTRANSTWA K1 I K2 SOOTWETSTWENNO) ORTOGONALXNY TTOGDA ORTOGONALXNY K1 I K2.

6.pUSTX P1 I P2 | ORTOPROEKTORY. oPERATOR P P1 + P2 | ORTO- PROEKTOR TTOGDA P1P2 = 0.

7.pROIZWEDENIE P = P1P2 ORTOPROEKTOROW P1; P2 (NA PODPROSTRANSTWA K1 I K2 SOOTWETSTWENNO) ESTX ORTOPROEKTOR TTOGDA P1P2 = P2P1. pRI

\TOM R(P ) = K1 \ K2 .

x242. uNITARNYE OPERATORY

1. lINEJNAQ S@R_EKCIQ U : H ! H NAZYWAETSQ UNITARNYM OPERATO-

ROM, ESLI hUf; Ugi = hf; gi (f; g 2 H ). o^EWIDNO, U 2 B(H ); kUk = 1.

sLEDU@]EE SWOJSTWO HARAKTERIZUET UNITARNYE OPERATORY W KLASSE WSEH LINEJNYH OGRANI^ENNYH OPERATOROW.

2. pUSTX U 2 B(H). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY: (A) U | UNITARNYJ OPERATOR,

(B) U U = UU = I.

(A) ) (B). iZ RAWENSTWA hf; gi = hUf; Ugi = hU Uf; gi (f; g 2 H )

SLEDUET, ^TO U U = I. tAK KAK U | S@R_EKCIQ, DLQ PROIZWOLXNOGO f 2 H NAJDETSQ• h 2 H TAKOJ, ^TO f = Uh. rAWENSTWO UU = I SLEDUET IZ WYKLADKI (S U^ETOM• DOKAZANNOGO UVE RAWENSTWA U U = I):

hUU f; gi = hUU Uh; gi = hU (U U )h; gi = hUh; gi = hf; gi (f; g 2 H):

(B) ) (A). U U = I ) hUf; Ugi = hU Uf; gi = hf; gi (f; g 2 H ). s@R_EK- TIWNOSTX U : f 2 H ) f = UU f = U (U f ) 2 R(U ): >

3. p R I M E R. [oPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ W L2 (R).] rASSMOTRIM PROSTRANSTWO {WARCA S (SM. 170.4). |TO PLOTNYJ W L2 (R) LINEAL (!!).

416

kAK IZWESTNO (SM. 171.7), OTOBRAVENIE f ! f](t) = (2 ),1=2Z f (x)e,ixt dx (t 2 R) | BIEKCIQ S NA S. pOKAVEM, ^TO ]) | IZOMETRIQ. mY IMEEM

tAKIM OBRAZOM, UU = I. aNALOGI^NO, U U = I.g

4. z A M E ^ A N I E. pRIWED•EM FORMULU DLQ \WY^ISLENIQ" OPERATORA U

417

tAKIM OBRAZOM,

N!+1

medio | PREDEL W SREDNEM) PONIMAETSQ KAK PREDEL PO NORME PROSTRANSTWA

L2 (R).

p R I M E R Y. 5. w GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE `2(Z) SUMMIRUEMYH S KWADRATOM POSLEDOWATELXNOSTEJ (fn )n2ZOPERATOR V , ZADANNYJ RAWENST- WOM V (fn ) (fn+1), QWLQETSQ UNITARNYM.

6. oPERATOR V W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE `2 = `2 (N), OPREDELENNYJ• RAWENSTWOM V (f1; f2; : : :) (0; f1; f2; : : :) OBLADAET SWOJSTWOM hV f; V gi = hf; gi (f; g 2 `2), NO NE QWLQETSQ UNITARNYM (!!).

u P R A V N E N I E. 7. pUSTX X | LINEAL W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE,

U| UNITARNYJ OPERATOR. tOGDA U (X?) = (UX)? . x243. kONE^NOMERNYE OPERATORY

1.pUSTX E I F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA. oPERATOR A 2 L(E; F ) NAZYWAETSQ KONE^NOMERNYM, ESLI R(A) fAf j f 2 Eg | KO- NE^NOMERNOE PODPROSTRANSTWO W F .

418

GDE WEKTORY gj MOVNO WYBRATX POPARNO ORTOGONALXNYMI.

pREDSTAWLENIE ( ) SLEDUET IZ P. 2 I TEOREMY rISSA. pRIMENQQ PROCE- DURU ORTOGONALIZACII gRAMA (SM. 235.2) K SISTEME fgj g, MY DOBX•EMSQ IH POPARNOJ ORTOGONALXNOSTI. >

u P R A V N E N I Q. 4. dLQ KONE^NOMERNOGO OPERATORA A 2 B(H ) NAJTI PREDSTAWLENIE A W OBOZNA^ENIQH P. 3.

5. nAJTI PREDSTAWLENIE KONE^NOMERNOGO ORTOPROEKTORA W GILXBERTO- WOM PROSTRANSTWE H .

x244. kOMPAKTNYE OPERATORY

1. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA. oPERATOR A 2 L(E; F ) NA- ZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI OBRAZ A(B1[ ]) EDINI^NOGO [ARA PRI OTO- BRAVENII A | PREDKOMPAKTNOE MNOVESTWO W F . iZ OB]EGO UTWERVDENIQ 105.2 SLEDUET:

2. A 2 L(E; F ) KOMPAKTEN TTOGDA DLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDO- WATELXNOSTI (fn) E POSLEDOWATELXNOSTX (Afn ) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.

3. p R I M E R. kAVDYJ KONE^NOMERNYJ OPERATOR QWLQETSQ KOMPAKT- NYM. w ^ASTNOSTI, KOMPAKTEN TOVDESTWENNYJ OPERATOR W KONE^NOMERNOM NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE. mEVDU TEM:

4. tOVDESTWENNYJ OPERATOR, DEJSTWU@]IJ W BESKONE^NOMERNOM BA- NAHOWOM PROSTRANSTWE, NE QWLQETSQ KOMPAKTNYM.

uSTANOWIM PREDWARITELXNO ODIN GEOMETRI^ESKIJ FAKT (O^EWIDNYJ, WPRO^EM, DLQ GILXBERTOWYH PROSTRANSTW):

419

[dOKAZATELXSTWO P. 4.] dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO EDINI^NYJ [AR B1 [ ] W BESKONE^NOMERNOM BANAHOWOM PROSTRANSTWE NE KOMPAKTEN. pOSTRO- IM INDUKTIWNO POSLEDOWATELXNOSTX (fn ) B1 [ ] : f1 2 B1 [ ] (kf1k = 1) | PROIZWOLEN; ESLI ff1; : : : ; fng B1[ ] UVE POSTROENY I Xn | PODPRO- STRANSTWO E (NEOBHODIMO ZAMKNUTOE), POROVDENNOE• WEKTORAMI ff1; : : : ; fng, TO WEKTOR fn+1 WYBEREM PO LEMME P. 5. pO POSTROENI@ kfn , fmk 1=2 (n; m 2 N), I PO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (fn ) B1[ ] NE OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@, TAK ^TO [AR B1[ ] NE KOMPAKTEN. >

6. u P R A V N E N I E. eDINI^NYJ [AR B1 [ ] NORMIROWANNOGO PRO- STRANSTWA KOMPAKTEN TTOGDA PROSTRANSTWO KONE^NOMERNO.

x245. sWOJSTWA KOMPAKTNYH OPERATOROW W GILXBERTOWOM

PROSTRANSTWE

SLEDUET IZ OCENKI

(1)kA(fnn , fmm )k k(A , As )(fnn , fmm )k + kAs(fnn , fmm )k:

420