А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdfTAK KAK SHODIMOSTX h |
! |
W |
C [a; b] OZNA^AET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX K |
|||
b |
|
|
|
|
|
|
NUL@. iTAK, Za o(h(t))dt = o(h) (h ! ). pO\TOMU |
|
|||||
0(x)(h) = |
Za |
bf0(t; x(t))h(t)dt (h |
2 |
C [a; b]): |
||
|
|
|
v |
|
||
fdLQ ZNA^ENIQ FUNKCIONALA 0(x) NA WEKTORE h MY ISPOLXZUEM BOLEE PRIWY^NU@ DLQ GLAZ ZAPISX 0(x)(h) WMESTO 0 (x)h.g
9. w WE]ESTWENNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H PRODIFFERENCIRU- EM FUNKCIONAL A(f) = kfk2 (f 2 H ). iMEEM
A(f + h) , A(f ) = 2hh; fi + khk2: pO\TOMU A0(f ) = 2h ; fi (2 H ).
u P R A V N E N I Q. 10. iZMENIM OSNOWNOE OPREDELENIE P. 1, POTREBO- WAW, ^TOBY W RAWENSTWE ( ) OPERATOR Lx : E ! F BYL PROSTO LINEJNYM (NE OBQZATELXNO OGRANI^ENNYM). pROANALIZIROWATX, KAKIE SWOJSTWA (IZ SWOJSTW 2{7) PROIZWODNOJ OSTA@TSQ W SILE DLQ TAKOGO OPREDELENIQ.
11. w WE]ESTWENNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE ISSLEDOWATX NA DIF- FERENCIRUEMOSTX FUNKCIONAL B (f ) = kfk.
x257. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA
1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I : E ! R | WE]EST- WENNYJ FUNKCIONAL. pODOBNO 84.1 WWODITSQ PONQTIE LOKALXNOGO \KSTRE- MUMA. gOWORQT, ^TO FUNKCIONAL OBLADAET LOKALXNYM MAKSIMUMOM W TO^KE f0 , ESLI NAJDETSQ " > 0 TAKOE, ^TO f 2 B" (f0) WLE^ET (f) (f0). aNALOGI^NO OPREDELQETSQ LOKALXNYJ MINIMUM. iZWESTNOE NEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA DLQ FUNKCIJ (SM. 84.2) OBOB]AETSQ NA SLU^AJ NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA:
2. eSLI FUNKCIONAL : E ! R DIFFERENCIRUEM I OBLADAET LOKALX- NYM \KSTREMUMOM W TO^KE f0, TO 0(f0) = 0.
pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI• OBLADAET W TO^KE f0 LOKALXNYM MAKSIMU- MOM. pUSTX, NAPROTIW, 0 (f0) 6= 0. tOGDA NAJDETSQ• WEKTOR h TAKOJ, ^TO0(f0)h 6= 0: pUSTX DLQ OPREDEL•ENNOSTI 0(f0)h > 0. w USLOWII DIFFEREN- CIRUEMOSTI FUNKCIONALA
(f0 + g) , (f0 ) = 0(f0)g + o(g) (g ! )
451
BUDEM BRATX WEKTORY g WIDA th (t ! 0; |
t > |
0). tOGDA DLQ DOSTATO^NO |
||||||||||
o(th) |
|
0(f0)h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MALYH t > 0 : jkthkj < |
2khk |
|
. dLQ TAKIH t POLU^IM |
|||||||||
(f0 + th) , |
(f0) = kthk[ |
0 (f0 )th |
|
o(th) |
||||||||
|
kthk |
|
+ kthk ] |
|||||||||
|
|
|
= kthk[ |
0 (f0 )h |
|
o(th) |
||||||
|
|
|
|
khk |
|
+ kthk ] |
||||||
|
|
|
kthk[ |
|
khk |
|
, jkthkj ] > 0; |
|||||
|
|
|
|
|
0 (f0 )h |
|
o(th) |
|||||
| PROTIWORE^IE S LOKALXNYM MAKSIMUMOM W TO^KE f0: |
|
> |
||||||||||
|
||||||||||||
|
||||||||||||
3. p R I M E R. wERNEMSQ• |
K PRIMERU 256.8. eSLI NA[ FUNKCIONAL |
|||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = Za f (t; x(t))dt OBLADAET LOKALXNYM \KSTREMUMOM W TO^KE x0, TO |
||||||||||||
0 (x0)h = |
|
bf0 (t; x0(t))h(t) dt = 0 (h |
2 |
C[a; b]): |
||||||||
|
Za v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
oTS@DA SLEDUET, ^TO f0 |
(t; x0(t)) = 0 (!!). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x258. oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA
pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM (= C ILI
R); U ( E ) | OTKRYTO, OTREZOK [x; x + h] = fx + th j 0 t 1g |
|||||||||
SODERVITSQ W U I OTOBRAVENIE A : U ! F DIFFERENCIRUEMO NA \TOM |
|||||||||
OTREZKE. tOGDA |
|
, |
|
k 2[0;1] k |
|
k k |
|
k |
|
k |
|
|
A0 |
|
|
||||
|
A(x + h) |
|
A(x) |
sup |
(x + h) |
h |
|
: |
|
pUSTX FUNKCIONAL ' 2 F PROIZWOLEN. pOLOVIM f (t) |
'(A(x+th)) (0 |
||||||||
t 1). |TA ^ISLOWAQ FUNKCIQ ^ISLOWOGO ARGUMENTA DIFFERENCIRUEMA PO |
|||||||||
t NA INTERWALE (0; 1) W SILU 256.7, PRI^EM• |
f0(t) = '(A0(x + th)h) (0 < |
||||||||
t < 1). pRIMENQQ K f FORMULU KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, IMEEM f (1) , f (0) = f0( ) (0 < < 1); = ('), TO ESTX
j'(A(x + h) , A(x))j = j'(A0(x + h)h)j k'k sup kA0(x + h)k khk:
0 1
452
pO SLEDSTWI@ K TEOREME hANA-bANAHA 228.3, SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT
2 F ; k k = 1, ^TO |
|
(A(x + h) , A(x)) = kA(x + h) |
, A(x)k. pRIMENQQ |
|||||||||||||||
POLU^ENNU@ WY[E OCENKU K FUNKCIONALU |
, POLU^IM |
|
|
|
|
|||||||||||||
k |
|
|
|
, |
|
|
k 0 1 k |
|
|
|
|
|
k k k |
|
||||
|
A(x + h) |
|
A(x) |
sup |
A0(x + h) |
h : |
|
> |
|
|||||||||
x259. iNTEGRAL OT WEKTOR-FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W |
||||||||||||||||||
BANAHOWOM PROSTRANSTWE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. pUSTX F | BANAHOWO PROSTRANSTWO I A : [a; b] ! F |
| WEKTOR- |
|||||||||||||||||
FUNKCIQ. bUDEM GOWORITX, ^TO \TA FUNKCIQ INTEGRIRUEMA |
PO OTREZKU |
|||||||||||||||||
[a; b], ESLI SU]ESTWUET PREDEL INTEGRALXNYH SUMM rIMANA |
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
X |
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(tk |
|
tk |
|
1)A( k); |
(tk |
|
1 |
|
k |
|
tk ) |
|
|||
k=1
PRI L@BOM WYBORE RAZLOVENIJ (a = t0 < t1 < : : : < tn = b), POD^I- NENNYH USLOWI@ max(tk , tk,1) ! 0 (n ! 1). w \TOM SLU^AE UKAZAN-
NYJ PREDEL NAZYWAETSQ INTEGRALOM rIMANA OT WEKTOR-FUNKCII A I
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Z bA(t)dt. kORREKTNOSTX OPREDELENIQ INTEGRALA
a
SLEDUET IZ ARGUMENTOW, ISPOLXZOWANNYH W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 46.4). oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA INTEGRALA (SR. x81).
2.nEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ INTEGRIRUEMA.
3.eSLI A : [a; b] ! F INTEGRIRUEMA, A B 2 L(F; G), GDE G | E]•E ODNO BANAHOWO PROSTRANSTWO, TO BA INTEGRIRUEMA I
Z bBA(t) dt = BZ bA(t)dt:
a a
4. eSLI WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRERYWNA, TO
b |
b |
|
kZa |
A(t)dtk Za |
kA(t)k dt: |
5. [fORMULA nX@TONA-lEJBNICA]. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRE- RYWNO DIFFERENCIRUEMA. tOGDA
Z bA0(t)dt = A(b) , A(a):
a
453
2. w SILU POLNOTY PROSTRANSTWA F DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO POSLE-
nk
DOWATELXNOSTX SUMM rIMANA S k = P (tj , tj,1)A( j) FUNDAMENTALXNA.
j=1
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I > 0 TAKOWO, ^TO 8t; s 2 [a; b] (jt , sj <
) kA(t) , A(s)k < "). wYBEREM TEPERX N 2 N STOLX BOLX[IM, ^TOBY
d( k) < =2 (k > N). pUSTX m; k > N I (a = 0 < 1 < : : : < n = b) |
RAZLOVENIE, UZLY KOTOROGO QWLQ@TSQ OB_EDINENIEM UZLOW RAZLOVENIJ
k (a = t0 < t1 < : : : < tnk = b) I s(a = s0 < s1 < : : : < snm = b): iMEEM
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
kS k , S m k |
= k j=1 |
(tj , tj,1 )A( j ) |
, i=1 |
(si , si,1 )A( i )k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
r,1 )[A( jr) |
|
|
A( ir)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
k r=1 |
( r |
, |
, |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
GDE jr |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i, ESLI [ r,1; r ] [si,1; si]. |
||||||||||||||||||||||
= j , ESLI [ r,1; r ] |
[tj,1; tj ], I ir |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j jr , |
irj j jr |
, rj + j r , irj jtj , tj,1j + jsi , si,1j < |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WLE^•ET kA( jr ) , A( ir)k |
< ", A ZNA^IT, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kS k , S m k |
X |
kA( jr ) , A( ir)k( r |
, r,1 ) < "(b , a): |
|
> |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. tAK KAK LINEJNOE OTOBRAVENIE B NEPRERYWNO, IMEEM DLQ L@BOJ PO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SLEDOWATELXNOSTI RAZLOVENIJ |
(a = t0 < t1 < : : : < tn = b), |
POD^INENNYH |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
||||||||||||||||||||||||
USLOWI@ max(tk , tk,1) ! 0 PRI n ! 1, I L@BOM WYBORE k |
|
2 [tk,1; tk]: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Za |
A(t)dt |
= |
B(lim |
(tk |
, |
tk |
|
|
1 )A( k )) = lim |
(tk |
, |
tk |
|
|
1)BA( k ) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
n |
|
kP=1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
n |
|
kP=1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
Za BA(t)dt: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
4. iZ NEPRERYWNOSTI WEKTOR-FUNKCII A(t) SLEDUET NEPRERYWNOSTX SKA- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LQRNOJ FUNKCII |
|
A(t) |
I, |
|
SLEDOWATELXNO, |
|
SU]ESTWOWANIE |
INTEGRALA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Za kA(t)k dt. tEPERX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
b |
k |
|
k |
n |
|
n |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
k |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
k |
|||||
|
a |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Z |
A(t)dt |
= |
lim |
|
|
(tk |
|
|
tk |
|
|
1)A( k) |
|
= lim |
|
|
P |
(tk |
|
|
tk |
|
|
1)A( k) |
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
nP |
|
|
|
k |
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
b |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
kP=1 k |
|
|
|
(tk |
1) = |
Za |
k |
A(t) |
dt: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
A( k) |
|
tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
454
5. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. pO USLOWI@ WEKTOR-FUNKCIQ A0(t) NE- PRERYWNA I W SILU P. 2 ONA INTEGRIRUEMA. tOGDA NAJD•ETSQ RAZLOVENIE
(a = t0 < t1 < : : : < tn = b) TAKOE, ^TO
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k |
a A0(t) dt , |
(tk , tk,1 )A0(tk )k < ": |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sLEDOWATELXNO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
kZa A0(t)dt |
, [A(bb) , A(a)]k n= kZa A0(t)dt , kP=1[A(tk ) , A(tk,1)]k |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Zn |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k a |
A0(t) dt , k=1 A0 (tk )(tk |
, tk,1 )k |
|
, |
k |
||||||||||||||||
|
|
|
k kP=1 n |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
, |
A0(tk)(tk |
, |
|
||||||||
|
|
+ |
|
|
[A(tk) |
|
|
A(tk |
|
1 ) |
|
|
tk |
1 )] |
|||||||||
|
|
|
|
|
k=1 k |
|
|
|
|
, |
A(tk,1) |
, |
A0(tk )(tk |
, |
k |
||||||||
|
|
|
" + |
P |
A(tk ) |
|
|
|
|
tk,1) : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRIMENQQ OCENO^NU@ FORMULU lAGRANVA x258 K FUNKCII B(t) = A(t) + |
|||||||||||||||||||||||
A0 |
(tk)(tk , t), |
POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
kA(tk) , A(tk,1) , A0(tk )(tk , tk,1)k = kB(tk) , B(tk,1)k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(tk , tk,1) |
sup |
|
kA0( ) , A0(tk )k |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2[tk,1;tk] |
|
|
|
|
|
||||
. iZ RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI WEKTOR-FUNKCII A0(t) SLEDUET, ^TO PRI RAZLOVENIQH DOSTATO^NO MALOGO DIAMETRA
sup |
A0( ) |
, |
A0(tk) < |
" |
|
(k = 1; : : : ; n): |
|
|
|
||||||
b , a |
|||||||
2[tk,1;tk] k |
|
k |
|
||||
pO\TOMU kZ bA0(t)dt , [A(b) , A(a)]k < 2". iZ PROIZWOLXNOSTI " UTWERV-
a
DENIE DOKAZANO. >
x260. pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. fORMULA tEJLORA
1. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, U ( E) | OTKRYTO. pUSTX OTOBRAVENIE A : U ! F DIFFERENCIRUEMO W U , PRI^EM• PROIZ- WODNOE OTOBRAVENIE A0 : U ! L(E; F ) DIFFERENCIRUEMO W TO^KE
455
x 2 U. tOGDA W SOOTWETSTWII S 256.1 ODNOZNA^NO OPREDELENO OTOBRAVE- NIE A00(x) 2 L(E; L(E; F )), NAZYWAEMOE 2-J PROIZWODNOJ OTOBRAVENIQ A. uDOBNO OTOVDESTWLQTX A00(x) S \LEMENTOM PROSTRANSTWA L(E E; F ) (SM. 223.13) KAK 2-LINEJNYM OTOBRAVENIEM, DEJSTWU@]IM PO FORMULE
A00(x)fh; kg (A00(x)h)k (h; k 2 E ):
aNALOGI^NO WWODQTSQ PROIZWODNYE BOLEE WYSOKIH PORQDKOW.
w ZAKL@^ENIE MY PRIWEDEM• ANALOG FORMULY tEJLORA, OGRANI^IW[ISX SLU^AEM OSTATKA W FORME pEANO PRI n = 2, I UKAVEM EE• PRIMENENIE K NAHOVDENI@ DOSTATO^NYH USLOWIJ LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCIONALA.
2. pUSTX W USLOWIQH P. 1 OTOBRAVENIE A00 OPREDELENO I NEPRERYWNO
W U. eSLI fx + th j 0 t 1g U, TO |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A(x + h) = A(x) + A0(x)h + 1A00 |
(x) h; h |
g |
+ o |
( h |
2 ) (h |
! |
): |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
f |
|
|
k k |
|
|
|||
tAK KAK A0 DIFFERENCIRUEMO W U , IMEEM |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ) |
A0(x + h) , A0(x) = A00(x)h + o(h) (h ! ): |
|
|
|||||||||||||
pRIMENQQ |
FORMULU |
nX@TONA-lEJBNICA |
259.5 |
K WEKTOR-FUNKCII |
||||||||||||
t ! [A(x + th)]0 |
= A0(x + th)h (0 t 1), IMEEM (S U^•ETOM ( )) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x + h) , A(x) = Z01A0(x + th)h dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= Z0 |
[A0(x)h + (A00(x)th)h + o(th)h] dt |
||||||||||||
|
|
|
= A0(x)h + |
1 |
A00(x)fh; hg + r(h); |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
GDE r(h) = Z01o(th)hdt. pOKAVEM, ^TO r(h) = o(khk2) (h ! ). dLQ PROIZ- |
||||||||||||||||
WOLXNOGO " > 0 SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO khk < WLE^ET• |
ko(hh)k < ", |
|||||||||||||||
OTKUDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
kZ0 |
o(th) hdtk |
|
|
|
Z0 |
ko(th)k khk dt < ": |
|
|||||||
|
khk2 |
khk2 |
|
|||||||||||||
|TO I OZNA^AET, |
^TO lim kr(h)2k = 0: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
h! khk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
456
3. pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO W BANAHOWOM PROSTRANSTWE E I
FUNKCIONAL |
: U |
|
! |
R IMEET |
2-@ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ |
|||||||||
00 : U ! |
L(E E; R). eSLI f0 |
2 |
U | TO^KA LOKALXNOGO MINIMU- |
|||||||||||
, |
|
00(f0) |
|
h; h |
|
0 (h |
2 |
E). |
|
, |
|
0(f0) = 0 |
|
|
MA DLQ TO |
|
2 f |
g |
|
|
oBRATNO |
|
ESLI |
|
I |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
00(f0)fh; hg Ckhk |
|
PRI NEKOTOROM C > 0; TO f0 | TO^KA LOKALXNOGO |
||||||||||||
MINIMUMA DLQ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pUSTX f0 | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA DLQ . tOGDA 0(f0) = 0 I PO FORMULE tEJLORA (P. 2)
0 (f0 + h) , (f0 ) = 12 00(f0 )fh; hg + o(khk2) (h ! ): wWEDQ ^ISLOWOJ PARAMETR t > 0, POLU^IM OTS@DA
00(f0)fh; hg = t22 [ (f0 + th) , (f0) + o(kthk2)]:
pEREHODQ ZDESX K PREDELU PRI t ! 0, POLU^IM, ^TO 00(f0 )fh; hg 0. |
|
|
|||||||||||||||||
oBRATNO, PUSTX " > 0 TAKOWO, ^TO j |
o( |
h |
|
2) |
|
C |
|
(khk < "), GDE o(khk |
2 |
) |
|||||||||
kh k2 j < |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| OSTATOK W FORMULE tEJLORA (P. 2) DLQ FUNKCIONALA . tOGDA |
|
|
|||||||||||||||||
(f0 + h) (f0) = |
1 |
00(f0) h; h |
+ o( h 2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
, |
|
|
|
|
f |
|
g |
|
k |
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
2 khk |
+ o(khk |
|
) > |
4 khk |
|
> 0 (khk < "); |
|
|
|||||||||
^TO I TREBOWALOSX. >
457
pRILOVENIE I. modeli ~islowoj prqmoj
dANNOE PRILOVENIE POSWQ]ENO DETALXNOMU IZLOVENI@ ODNOJ MODELI ^I- SLOWOJ PRQMOJ. pOPUTNO IZLOVENY NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII OTNO[ENIJ, POLEZNYE DLQ OSNOWNOGO KURSA. w ZAKL@^ENIE PRIWED•EN \SKIZ MODELI ^ISLO- WOJ PRQMOJ, PREDLOVENNOJ a. n. kOLMOGOROWYM (uSPEHI MAT. NAUK, 1946, WYP. 1, S. 217-219). |TA MODELX INTERESNA TEM, ^TO DLQ POSTROENIQ DEJSTWITELX- NYH ^ISEL ISPOLXZU@TSQ TOLXKO NATURALXNYE ^ISLA (A RACIONALXNYE ^ISLA W KA^ESTWE PROMEVUTO^NOGO [AGA NE WWODQTSQ).
1. pUSTX E | MNOVESTWO. nEPUSTAQ ^ASTX MNOVESTWA E E NAZYWAETSQ (BINARNYM) OTNO[ENIEM W MNOVESTWE E. eSLI (x; y) 2 , TO GOWORQT, ^TO \LEMENTY x I y NAHODQTSQ W OTNO[ENII I PI[UT (x; y) (SU]ESTWEN PORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW x I y W \TOM OBOZNA^ENII!). pUSTX | OTNO[ENIE W E. sMEVNYM KLASSOM \LEMENTA x 2 E NAZYWAETSQ MNOVESTWO (x) fy 2 E j(y; x)g. ~A]E WSEGO IME@T DELO S OTNO[ENIQMI, OBLADA@]IMI NEKOTORYMI IZ NIVESLEDU@]IH SWOJSTW:
REFLEKSIWNOSTX: |
8x 2 E ( (x; x)), |
SIMMETRIQ: |
(x; y) ) (y; x), |
ANTISIMMETRIQ: |
\ (x; y); (y; x)" ) x = y, |
TRANZITIWNOSTX: \ (x; y); (y; z)" ) (x; z).
2. rEFLEKSIWNOE SIMMETRI^NOE TRANZITIWNOE OTNO[ENIE NAZYWAETSQ OTNO- [ENIEM \KWIWALENTNOSTI. nAM PONADOBITSQ TEOREMA, HARAKTERIZU@]AQ OTNO- [ENIQ \KWIWALENTNOSTI. ~TOBY E•E SFORMULIROWATX, WWED•EM PONQTIE RAZBIENIQ MNOVESTWA.
3. sEMEJSTWO (Ai)i |
I NEPUSTYH ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ RAZBIENIEM |
2 |
|
E, ESLI Ai \ Aj = ; (i =6 j); Ai = E. |
|
|
i2I |
||
|
S |
|
|
|
4. t E O R E M A. kAVDOMU OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI W MNOVESTWE |
||
E OTWE^AET RAZBIENIE (Ai)i |
2 |
I MNOVESTWA E TAKOE, ^TO |
|
|
|
|
|
(1) |
(x; y) TTOGDA 9i 2 I (x; y 2 Ai): |
||
oBRATNO, KAVDOMU RAZBIENI@ (Ai)i I MNOVESTWA E OTWE^AET OTNO[ENIE |
|||
2
\KWIWALENTNOSTI W E, HARAKTERIZUEMOE SWOJSTWOM (1).
pUSTX | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI. w SILU REFLEKSIWNOSTI NI ODIN IZ SMEVNYH KLASSOW SEMEJSTWA f (x)gx2E NE PUST. iZ SIMMETRII I TRANZI- TIWNOSTI SLEDUET, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH x; y 2 E KLASSY (x) I (y) LIBO
458
SOWPADA@T, LIBO NE PERESEKA@TSQ (!!). w KA^ESTWE ISKOMOGO RAZBIENIQ WOZXM•EM POPARNO RAZLI^NYE SMEVNYE KLASSY SEMEJSTWA f (x)gx2E. oBRATNOE UTWERV- DENIE O^EWIDNO (!!). >
5.mNOVESTWO, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ POPARNO RAZLI^NYE SMEV- NYE KLASSY OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ FAKTORMNOVESTWOM MNOVESTWA E PO OTNO[ENI@ . oNO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM E= . oTOBRAVENIE x ! (x), STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE KAVDOMU \LEMENTU x 2 E EGO SMEVNYJ KLASS, NAZYWAETSQ KANONI^ESKOJ S@R_EKCIEJ MNOVESTWA E NA E= .
6.rEFLEKSIWNOE ANTISIMMETRI^NOE TRANZITIWNOE OTNO[ENIE W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ OTNO[ENIEM PORQDKA. mNOVESTWO E, W KOTOROM FIKSIROWANO NEKOTOROE OTNO[ENIE PORQDKA NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM. w \TOM SLU^AE OBY^NO PI[UT x y WMESTO (x; y). eSLI x y I x =6 y, TO PI[UT x < y. |LEMENTY x; y UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA NAZYWA@TSQ SRAWNIMYMI, ESLI x y ILI y x. pORQDOK W E NAZYWAETSQ SOWER[ENNYM, ESLI WSE \LEMENTY E POPARNO SRAWNIMY; W \TOM SLU^AE E NAZYWAETSQ SOWER[ENNO UPORQDO^ENNYM.
7.z A M E ^ A N I E. eSLI E SOWER[ENNO UPORQDO^ENO, TO DLQ L@BYH x; y 2 E IMEET MESTO ODNO IZ TR•EH: x < y; x = y; y < x.
8.pUSTX | POLE BESKONE^NOJ HARAKTERISTIKI (IZ AKSIOM (I){(III) SLE- DUET, ^TO IMENNO TAKOWYM DOLVNO BYTX R). w 6.1 BYLO SKAZANO, KAK WOZ-
NIKAET PRI \TOM MNOVESTWO N NATURALXNYH ^ISEL. pODGRUPPU ADDITIWNOJ GRUPPY KOLXCA , POROVDENNU@• EDINICEJ KOLXCA, OBOZNA^IM ^EREZ Z. o^EWID- NO, Z= f0; 1; 2; : : :g. mNOVESTWO ZSOWER[ENNO UPORQDO^ENO OTNO[ENIEM:
nm, ESLI 9p 2 N (m = n + p , 1).
9.rASSMOTRIM MNOVESTWO E = Z N, \LEMENTY KOTOROGO USLOWIMSQ ZAPI-
SYWATX W WIDE p=q (p 2 Z; q 2 N). pUSTX (p=q; p1=q1 ) OZNA^AET, ^TO pq1 = p1q. oTNO[ENIE | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E, A E= ESTESTWENNO OTOV-
DESTWLQETSQ S MNOVESTWOM Q.
10.mNOVESTWO Q SOWER[ENNO UPORQDO^ENO OTNO[ENIEM: p=q r=s, ESLI ps rq W SMYSLE PORQDKA W Z(ZDESX p; r 2 Z; q; s 2 N).
11.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO W UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE OTNO- [ENIE < TRANZITIWNO.
12.pOD POSLEDOWATELXNOSTX@ W Q MY PONIMAEM, KAK OBY^NO, FUNKCI@ f : N ! Q. pODOBNO TOMU, KAK \TO BYLO SDELANO W RAZDELE \pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI", MOVNO WWESTI PONQTIE SHODQ]EJSQ (W Q) POSLEDOWATELX- NOSTI, FUNDAMENTALXNOJ POSLEDOWATELXNOSTI I T. P. w ^ASTNOSTI, POSLEDOWA-
459
TELXNOSTX f : N ! Q NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI
8" > 0 (" 2 Q) 9N 2 N 8n > N 8p 2 N (jf (n + p) , f(n)j < "):
nETRUDNO WIDETX, ^TO FUNDAMENTALXNYMI QWLQ@TSQ WSE SHODQ]IESQ POSLE- DOWATELXNOSTI. o^ENX SU]ESTWENNO, ^TO OBRATNOE UTWERVDENIE UVE NEWERNO: SU]ESTWU@T FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI W Q, KOTORYE NE SHODQTSQ NI K ODNOMU RACIONALXNOMU ^ISLU (SM. NIVE P. 18). dLQ SHODQ]IHSQ POSLEDO- WATELXNOSTEJ W Q IME@T MESTO OBY^NYE ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA. aNALOGI \TIH SWOJSTW IME@T MESTO I DLQ FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W Q (IH DOKAZATELXSTWO QWLQETSQ RUTINNYM POWTORENIEM SOOTWETSTWU@]IH RAS- SUVDENIJ DLQ OB]IH ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ).
13.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA, TO ONA OGRANI^ENA.
14.eSLI POSLEDOWATELXNOSTI f I g FUNDAMENTALXNY, TO FUNDAMENTALXNYMI QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI f g; f g.
15.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f FUNDAMENTALXNA I NE SHODITSQ K 0, TO I POSLEDOWATELXNOSTX 1=f FUNDAMENTALXNA.
16.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX f NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, TO ONA FUNDAMENTALXNA.
17.z A M E ^ A N I E. w \TOM PRILOVENII PRI RASSMOTRENII ^ASTNOGO DWUH POSLEDOWATELXNOSTEJ f=g NE ISKL@^AETSQ, ^TO g(n) = 0 DLQ NEKOTORYH n. dLQ TAKIH n RAZRE[AETSQ S^ITATX ^ISLA (f=g)(n) PROIZWOLXNYMI.
18.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f W Q, ZA- DANNAQ RAWENSTWAMI f (1) = 2; f(n + 1) = 12 (f (n) + f(2n) ) (n 1), QWLQETSQ
FUNDAMENTALXNOJ, NO NE SHODITSQ K RACIONALXNOMU ^ISLU. fuBEDITESX, ^TO f NE WOZRASTAET I OGRANI^ENA SNIZU, U^TITE P. 16 I WOSPOLXZUJTESX ARIFMETI- ^ESKIMI SWOJSTWAMI SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. g
19. pUSTX | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ W Q. oTNO[ENIE , ZADANNOE SWOJSTWOM: (f; g), ESLI (f , g)(n) ! 0 (n ! 1), | QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI W . tAKIM OBRAZOM, \LEMENTY MNO- VESTWA = QWLQ@TSQ POPARNO RAZLI^NYMI KLASSAMI (f )(f 2 ). w KA^ESTWE MNOVESTWA R DEJSTWITELXNYH ^ISEL WOZXMEM• FAKTOR-MNOVESTWO = . oPREDE- LIM W = OPERACII (+) I ( ):
(f ) + (g) (f + g); (f ) (g) (f g):
w SILU P. 14 \TI OPREDELENIQ KORREKTNY. sMEVNYJ KLASS, OBRAZOWANNYJ PO- SLEDOWATELXNOSTQMI, SHODQ]IMISQ K ^ISLU q 2 Q, NAZOW•EM -RACIONALXNYM
460