Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5140 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Lp ( ) (1

w SILU 223.6 E QWLQETSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM.

p R I M E R Y. 2. w PROSTRANSTWE NEPRERYWNYH FUNKCIJ C[0; 1] S sup-

NORMOJ OTOBRAVENIE '(f) =

f (0) (f

C[0; 1]) QWLQETSQ OGRANI^ENNYM

LINEJNYM FUNKCIONALOM, PRI^EM•

k'k

= 1. |TOT LINEJNYJ FUNKCIONAL,

ODNAKO

NE QWLQETSQ OGRANI^ENNYM

ESLI

C[0; 1]

SNABVENO NORMOJ

kfk1 =

jf (t)j dt.

3. pUSTX E | KONE^NOMERNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, fe1; : : : ; eng

| BAZIS W E , TO ESTX KAVDYJ WEKTOR f

E ODNOZNA^NO PREDSTAWIM W WI-

DE f

k=1 fkek

(fk 2 ). pUSTX f 1; : : : ; ng | FIKSIROWANNYJ NABOR

SKALQROWPTAK ^TO

= ( 1

; : : : ; n) 2

tOGDA FORMULA

' (f ) =

k=1

fk k (f = (f1; : : : ; fn ) 2 E)

OPREDELQET '

E . oBRATNO, ESLI '

E , TO, POLAGAQ k =

'(ek ) (1

n), POLU^IM '(f ) = '(

fkek )

fk'(ek ) =

' (f)

E ).

k=1

iTAK

BIEKTIWNOE

) ! '

MEVDU

MY POLU^ILI SOOTWETSTWIE

O^EWIDNO

(

PROSTRANSTWAMI I E . |TO SOOTWETSTWIE LINEJNO, TAK ^TO E ALGEBRA-

I^ESKI IZOMORFNO WEKTORNOMU PROSTRANSTWU n . eSLI W n WWESTI NORMU

k k k' k( 2 n), TO E ' n .

w PRIMERE 3 MY RAZOBRALI ^ASTNYJ SLU^AJ KLASSI^ESKOJ ZADA^I NA- HOVDENIQ SOPRQVENNOGO• PROSTRANSTWA K DANNOMU NORMIROWANNOMU PRO- STRANSTWU E. |TA ZADA^A IZWESTNA KAK ZADA^A NAHOVDENIQ OB]EGO WIDA LINEJNOGO FUNKCIONALA; ONA SOSTOIT W OTYSKANII KONKRETNOGO BANAHO- WA PROSTRANSTWA IZOMETRI^ESKI IZOMORFNOGO PROSTRANSTWU E . nIVE MY PROILL@STRIRUEM RE[ENIE \TOJ ZADA^I DLQ PROSTRANSTW Lp( ).

u P R A V N E N I E. 4. dLQ KONE^NOMERNOGO PROSTRANSTWA C n , SNABV•EN-

NOGO NORMOJ k kp (1 p 1) (SM. 220.7), WY^ISLITE NORMU W PROSTRAN- STWE (C n ) .

x226. Lp( ) (1 p < 1)

rASSMOTRIM PROSTRANSTWO (E; A; ) S POLNOJ KONE^NOJ MEROJ . pUSTXp 1) | [KALA BANAHOWYH PROSTRANSTW NAD POLEM C W

USLOWIQH I OBOZNA^ENIQH 221.1.

391

1. pUSTX g 2 L1( ) I OTOBRAVENIE 'g : L1( ) ! C ZADANO FORMULOJ

'g (f) Z fg d (f 2 L1( )):

tOGDA

'g 2

PRI^EM

k'gk

= kgk1 .

L ( ) ,

•

oTOBRAVENIE 'g KORREKTNO ZADANO, LINEJNO I OGRANI^ENO:

j'g(f )j = jZ fg d j kgk1 Z jfj d = kgk1kfk1 (f 2 L1 ( )):

iZ POLU^ENNOGO NERAWENSTWA SLEDUET TAKVE, ^TO k'gk kgk1

; DLQ DOKA-

ZATELXSTWA OBRATNOGO NERAWENSTWA DOSTATO^NO S^ITATX, ^TO g = . pUSTX

" > 0 PROIZWOLXNO, 0 < " < kgk1. oBOZNA^IM X"

fx 2

jg(x)j >

kgk1 , "g.

iZ OPREDELENIQ NORMY

k k1

SLEDUET

^TO

X" > 0.

( . 221.1)

pOLOVIM f" =

X" (OTMETIM, ^TO kf"k1 = Z jf"j d = 1). tOGDA

jgj X"

sup

'(f)

'g (f")

f"g d =

Z j

1 j

j j

k k

kgk1 , ":

iZ PROIZWOLXNOSTI

" : k'gk kgk1: >

2. L1( ) ' L1( ).

g !

w SILU P

OPREDELENO IZOMETRI^ESKOE OTOBRAVENIE

PROSTRAN

. 1

STWA L1( ) W L ( ) . pOKAVEM, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO. pUSTX

' 2 L1( ) . pOLOVIM

(1)

(X )

'( X )

A):

uBEDIMSQ, ^TO '

2 A). tOGDA POSLE-

| ZARQD. pUSTX X = j=1 Xj (X; Xj

DOWATELXNOSTX

SHODITSQ PO NORMEP

1 K X , TAK KAK

j=1

k k

n	1
Z j X , jX=1	1
Z j X , jX=1	Xj j d = Zj=1n+1 Xj d = j=Xn+1	Xj ! 0 (n ! +1):
	P

392

pOSKOLXKU ' 2 L1( ) , IMEEM

'(X)

'( X ) = lim'( n

) = lim '(

) = lim

'( X

)

jP=1

j=1 Xj

' (Xj ):

j=1

zAMETIM, ^TO ZARQD ' ABSOL@TNO NEPRERYWEN OTNOSITELXNO . fdEJSTWI-

TELXNO, Y = 0 )

= 0 P. W. )

'(Y ) = '( Y ) = '( ) = 0.g pO TEOREME

rADONA-nIKODIMA SU]ESTWUET (I OPREDELENA ODNOZNA^NO) FUNKCIQ g

L1 ( ) TAKAQ, ^TO

(2)

' (X ) =

Z g d

(X 2 A)

(OTMETIM, ^TO ZDESX NE WYZYWAET ZATRUDNENIJ SLU^AJ KOMPLEKSNYH FUNK-

CIJ

bUDEM S^ITATX

^TO

INA^E ZARQD

PREDSTAWIM W WIDE

, +i(

0 (

PO OTDELXNOSTI).

' =

, ), I MOVNO RASSMOTRETX MERY

~TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY, DOSTATO^NO USTANOWITX:

(A)

g 2 L1 ( ),

(B) '(f) =

fg d (f 2 L1 ( )).

fx 2 E :

eSLI (A) NE WERNO, TO POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW Xn =

g(x) > ng TAKOWA, ^TO Xn > 0; Xn !

0 (n !

+1) (!!). pOLOVIM hn =

n Xn

Xn (n 2 N). tOGDA khnk1 = Z jhnj d = n

! 0 (n ! 1), NO

'(hn) =

'( ) =

g d

1 (n

N);

Xn Z

^TO PROTIWORE^IT NEPRERYWNOSTI '. iTAK, g

2 L1( ).

dLQ PROWERKI (B) ZAMETIM SNA^ALA, ^TO RAWENSTWO

(f)

fg d

(f 2 L1( )) W SILU P. 1 KORREKTNO OPREDELQET FUNKCIONAL

2 L1 ( ) , I

NUVNO LI[X USTANOWITX, ^TO

= '. oTMETIM, ^TO

= ' NA KLASSE K

KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ:

(

j Xj ) =

( Xj ) =

Xj g d

g d

j=1

j '(Xj ) =

j '( Xj ) =

'( n

j Xj ):

j=1

393

eSLI TEPERX f

L1( ) PROIZWOLXNA, TO SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX

2 K

TAKAQ, ^TO

kfn , fk1

! 0

(SM. 215.9). sLEDOWATELXNO, '(f ) =

lim '(fn ) = lim

(fn) =

(f):

Lp( )

Lq( ) (

1 < p; q

+ ). w ^ASTNOSTI,

L2 ( )

' L2( ).'

dLQ

g 2

( )

ZADADIM LINEJNYJ FUNKCIONAL

'g : L

( ) !

ZDESX

(

1) RAWENSTWOM 'g (f)

fg d . w SILU

221.7 fg

L1( ), I

ZNA^IT,

KORREKTNO ZADAN. pRI \TOM j'g(f )j Z

jfgj d

kgkqkfkp.

g g (q=p),1

oTS@DA 'g

OGRANI^EN I k'gk

kgkq . wZQW f0 =

kjjgjjq=p kp

( ),

k j

IMEEM

p = 1, TAK ^TO

'g(f0) =

. iTAK, OTOBRAVENIE

g p

! 'g (g

L ( ))

QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM OTOBRAVENIEM

L ( )

L ( ) . oSTALOSX UBEDITXSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE QWLQETSQ S@R_EKCI-

EJ. pUSTX ' 2

Lp( ) . aNALOGI^NO DOKAZATELXSTWU P. 1 USTANAWLIWAEM,

^TO (1) OPREDELQET ZARQD NA A ABSOL@TNO NEPRERYWNYJ OTNOSITELXNO

I PO TEOREME rADONA-nIKODIMA POLU^AEM FORMULU (2) (!!). pO-PREVNEMU

BUDEM S^ITATX, ^TO g

0. uBEDIMSQ, ^TO g

Lq ( ) (TOGDA RAWENSTWO

' = 'g

SNOWA POLU^AETSQ PRIWEDENNYM WY[E SPOSOBOM

(!!)).

dLQ \TOGO

•

POLOVIM gn = g g,1[0;n] (n 2 N). tOGDA gnq

! gq, I PO TEOREME fATU NAM

NUVNO LI[X POKAZATX, ^TO INTEGRALY Z gnq

d OGRANI^ENY W SOWOKUPNOS-

TI. iMEEM:

gnq d =

gnq,1gn d = Z gnq,1g d = '(gnq,1)

k'k kgnq,1kp

= k'k[Z gnp(q,1) d ]1=p = k'k[Z gnq d ]1=p:

oTS@DA

gnq d k'kq

(n 2 N):

4. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO W OBOZNA^ENIQH 221.10 (`1 ) '

`1; (`p) ' `q (

= 1; 1 < p; q < +1).

x227. pRODOLVENIE OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ

PO NEPRERYWNOSTI

t E O R E M A. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I X | LINE- AL, PLOTNYJ W E. pUSTX F | BANAHOWO PROSTRANSTWO I A : X ! F |

394

OGRANI^ENNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO

ODNOZNA^NO OTOBRAVENIE A

L(E; F ) SO SWOJSTWAMI:

A) Aj X = A,

B) keAk

= kAk.

f 2

PROIZWOLEN I

PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX

pUSTX

TAKAQ

^TO

f .

pOLOVIM

lim Afn .

oSTAETSQ PROWERITX

^TO

A |

•

KORREKTNO OPREDELENNYJ•

\LEMENT IZ L(E; F ), UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM

A) I B). oTMETIM SNA^ALA,

^TO lim Afn SU]ESTWUET, TAK KAK

(Afn) |

FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W BANAHOWOM PROSTRANSTWE F :

kAfn , Afmk = kA(fn , fm)k kAk kfn , fmk ! 0 (n; m ! +1):

|TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI (fn), SHODQ]EJSQ K f (!!). iZ ARIFMETI^ESKIH SWOJSTW PREDELA SLEDUET, ^TO A | LINEJNOE

OTOBRAVENIE IZ E W F . uSLOWIE A) WYPOLNENO PO POSTROENI@. nAKONEC,

= lim

Afn

lim

E );

k e k

n k

k k k

OTKUDA SLEDUET, ^TO A | OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ OPERATOR I kAk kAk.

oBRATNOE NERAWENSTWO

SLEDUET IZ TOGO,

^TO A | PRODOLVENIE

k k k

x228. tEOREMA hANA-bANAHA

tEOREMA hANA-bANAHA USTANAWLIWAET WOZMOVNOSTX PRODOLVENIQ FUNK- CIONALA S PODPROSTRANSTWA NA WSE• PROSTRANSTWO S SOHRANENIEM OPRE- DEL•ENNYH SWOJSTW. oTMETIM, NAPRIMER, ^TO S POMO]X@ \TOJ TEOREMY MOVNO OTWETITX (POLOVITELXNO) NA SLEDU@]IJ WOPROS: SU]ESTWUET LI HOTQ BY ODIN NENULEWOJ OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA PROIZ- WOLXNOM NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E (6= f g)?

1. t E O R E M A. [g.hAN, s.bANAH]. pUSTX E | WEKTORNOE PRO-

STRANSTWO NAD POLEM (= C ILI R) I k k \| POLUNORMA NA E (SM.
148.5), X \| LINEAL W E I ' : X ! \| LINEJNYJ FUNKCIONAL TAKOJ,
^TO j'(f )j kfk (f 2 X ). tOGDA SU]ESTWUET LINEJNYJ FUNKCIONAL
: E	! TAKOJ, ^TO
A)	j X = ',

395

(f )j kfk (f

E).

rADI TEHNI^ESKOJ PROSTOTY, DOKAZATELXSTWO PROWED•EM DLQ WE]ESTWEN-

NOGO POLQ ( = R). pUSTX g

EnX I Y = f g + f j f 2 Xg

| LINEAL,

POROVDENNYJ•

WEKTOROM g I LINEALOM X. pRODOLVIM FUNKCIONAL ' NA

TAK, ^TOBY

j'(h)j khk

Y ). dLQ \TOGO WOZXM•EM PROIZWOLXNYE

WEKTORY f1; f2 2 X I ZAMETIM, ^TO

'(f1) + '(f2 ) = '(f1 + f2 ) kf1 + f2k kf1 , gk + kf2 + gk;

OTKUDA '(f1) , kf1 , gk kf2 + gk , '(f2 ). pO\TOMU

sup ['(f1)

, k

]

inf [ f2

+ g

k ,

'(f2 )]:

f12X

f22X k

pUSTX 2 R | PROIZWOLXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO

(

)

sup['(f )

, k

]

inf [

f + g

k ,

'(f )]:

f2X

pOLOVIM '( g + f )

+ '(f ) (f

2 X;

2 R) I UBEDIMSQ, ^TO '~ |

ISKOMOE PRODOLVENIE ' NA LINEAL Y . dEJSTWITELXNO, ESLI, NAPRIMER,

> 0, TO WeSILU ( )

'( g + f ) = [ + '(

f)] [kg +

fk , '(

f ) + '(

f)]

+ f

;

'( g + f ) ['(, f ) , k , f , gk] + '(f) = ,k g + fk;

TAK ^TO j'( g +f )j k g + fk (f 2 X; 2 R). aNALOGI^NO RASSMATRIWA-

ETSQ SLU^AJ < 0 (!!).

zAWER[ENIE DOKAZATELXSTWA OSNOWANO NA PRIMENENII TEOREMY cORNA

(PRIL. III, P. 11). pUSTX f'i : Xi

Rg | MNOVESTWO WSEH PRODOLVENIJ

FUNKCIONALA ', UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@

j'i(f )j kfk (f 2 Xi )

ZDESX

ESTESTWENNO

, Xi

X; 'i(f ) = '(f ) (f

2 X )).

wWEDEM W \TOM MNO

(

•

VESTWE PORQDOK: 'i

'k , ESLI Xi

Xk I 'i(f ) = 'k (f ) (f 2 Xk ). wSE

396

AKSIOMY PORQDKA NA SAMOM DELE WYPOLNENY (!!). pROWERIM, ^TO MNOVES-

TWO ('i) INDUKTIWNO. pUSTX ('j )j

J | SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE POD-

J Xj

MNOVESTWO MNOVESTWA ('i). oPREDELIM NA LINEALE X0

LINEJNYJ

FUNKCIONAL

ESLI

fUNKCIONAL

(f) 'j(f ),

2 Xj .

SOPREDELEN KOR

•

REKTNO: ESLI f

Xj1

\ Xj2 (j1; j2

J ), TO W SILU SOWER[ENNOJ UPORQDO-

^ENNOSTI SEMEJSTWA ('j )j2J :

'j1

'j2 , LIBO 'j2

'j1 . pUSTX, NAPRIMER,

'j2 'j1 . tOGDA Xj2

Xj1 I 'j1 (f ) = 'j2 (f) (f

Xj2 ). pRI \TOM '0

| MAVORANTA SEMEJSTWA ('j )j

J , I INDUKTIWNOSTX ('i) USTANOWLENA. pO

TEOREME cORNA SU]ESTWUET MAKSIMALXNOE PRODOLVENIE FUNKCIONALA ',

TO ESTX LINEJNYJ FUNKCIONAL

: Y ! R, GDE Y | LINEAL W E, PRI^EM•

X = ';

(f)

Y ). eSLI Y = E, TO SU]ESTWUET g

Y I,

j k

PRIMENQQ K KONSTRUKCI@, IZLOVENNU@ W NA^ALE DOKAZATELXSTWA, PRO-

DOLVIM

NA LINEAL f g + fj f 2 Y; 2 Rg W PROTIWORE^IE S MAKSIMALX-

NOSTX@

oTMETIM RQD SLEDSTWIJ TEOREMY hANA-bANAHA DLQ NORMIROWANNYH PROSTRANSTW.

2. pUSTX X | LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E I ' |

OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA X. tOGDA SU]ESTWUET						2 E
TAKOJ, ^TO	j X = ';	k k = k'k.
oPREDELIM NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E WYPUKLU@ FUNKCI@ kfk
k'k kfk, GDE kfk \| NORMA WEKTORA f W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E,
A k'k \| NORMA FUNKCIONALA ' 2 X . pRIMENIM P. 1 K (E; k k ) I
FUNKCIONALU ': SU]ESTWUET LINEJNYJ FUNKCIONAL NA E TAKOJ, ^TO
	j X = '; j (f)j kfk = k'k kfk (f 2 E):
oTS@DA SLEDUET, ^TO		2 E I k k k'k. nERAWENSTWO		k k k'k
SLEDUET IZ TOGO, ^TO		\| PRODOLVENIE ':	>

3. pUSTX E \| NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, = f					E. tOGDA
SU]ESTWUET	2 E TAKOJ, ^TO k k = 1; (f) = kfk.6			2

pOLOVIM X = f f j 2 g; '( f ) kfk ( f 2 X). tOGDA

'2 X ; k'k = 1. oSTAETSQ• PRIMENITX P. 2. >

4.eSLI NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO E NETRIWIALXNO, TO NETRI- WIALXNO I PROSTRANSTWO E .

|TO SLEDSTWIE P. 3. >

397

5. pUSTX X \| LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E; g 2 EnX I
f2X k		k		2	E TAKOJ, ^TO
inf	g + f		> 0. tOGDA SU]ESTWUET FUNKCIONAL		E TAKOJ, ^TO

(g) = I (f) = 0 (f 2 X).

rASSMOTRIM LINEAL Y = f g + f j f 2 X; 2 g I OPREDELIM NA NEM•

FUNKCIONAL '( g + f)

. iZ OCENKI (PRI = 0)

j h2X k

k j jk

'( g + f)

inf

g + h

g +

g + f

SLEDUET, ^TO ' 2 Y . w KA^ESTWE

WOZXMEM PRODOLVENIE ' PO P. 2.

6. u P R A V N E N I E. zAWER[ITE DOKAZATELXSTWO TEOREMY hANAbANAHA W SLU^AE SEPARABELXNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA E, NE ISPOLXZUQ TEOREMU cORNA fUKAZANIE: ISPOLXZOWATX TEOREMU x227g.

x229. wTOROE SOPRQV•ENNOE PROSTRANSTWO

1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I E | SOPRQVENNOE•

K NEMU PROSTRANSTWO, QWLQ@]EESQ BANAHOWYM (SM. 223.6). mOVNO RASSMOTRETX SOPRQVENNOE• K PROSTRANSTWU E ; ONO NAZYWAETSQ WTORYM SO-

PRQV•ENNYM K PROSTRANSTWU E. tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@ E

(E ) .(mOVNO, RAZUMEETSQ,PRODOLVITX PROCESS I RASSMOTRETX E ; E

I T. D.)

2. mEVDU ISHODNYM PROSTRANSTWOM E I EGO WTORYM SOPRQVENNYM• IMEETSQ TESNAQ SWQZX. ~TOBY PROANALIZIROWATX EE•, WWEDEM• OTOBRAVENIE

b	) : E				! E (ONO ^ASTO NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM), SOPOSTAWLQ@]EE
b						2				2	E , DEJSTWU@]IJ PO FORMULE
KAVDOMU \LEMENTU f							E	\LEMENT f			E , DEJSTWU@]IJ PO FORMULE
(1)									b
(1)							f (') '(f ) (' 2 E ):
								b
w SAMOM DELE, f \| OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA BANAHOWOM
PROSTRANSTWE Eb, TAK KAK
					jfb(')j = j'(f )j kfk k'k (' 2 E ):
		3. kANONI^ESKOE OTOBRAVENIE							b	) : E ! E \| IZOMETRIQ.
		w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 223.7 NUVNO UBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVE-
NIE				)	SOHRANQET NORMU. iZ (2) SLEDUET, ^TO kfk kfk. oBRATNO, PUSTX
			b						398		b
									398

f = I '0

TAKOJ, ^TO

= 1 I '0(f) =

('0 SU]ESTWUET

kfk kfk: >

j b

j j

k k

W SILU

228.3).

tOGDA IZ RAWENSTWA

f ('0) = '0(f )

SLEDUET

^TO

b 4.

bANAHOWO

PROSTRANSTWO

NAZYWAETSQ

REFLEKSIWNYM,

ESLI

) : E

! E | IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM E NA E .

pRIMERY REFLEKSIWNYH BANAHOWYH PROSTRANSTW: EWKLIDOWY PROSTRAN-

STWA R

; C

, PROSTRANSTWA L ( ) (1 < p < 1).

u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO KAVDOE KONE^NOMERNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO REFLEKSIWNO.

6. uBEDITESX, ^TO PROSTRANSTWO c0 WSEH KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELX-

	n	k		k	n j	j
NOSTEJ f = (f1; f2	; : : :) SO SWOJSTWOM lim fn = 0 I S NORMOJ		f		sup	fn	,

| NE REFLEKSIWNOE BANAHOWO PROSTRANSTWO.

7. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO, PRI^EM• E REFLEKSIWNO. pOKAVITE, ^TO E TAKVE REFLEKSIWNO.

x230. tEOREMA bANAHA-{TEJNGAUZA

1. [pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI]. pUSTX E | BANAHOWO PRO-

STRANSTWO, F | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO,

F L(E; F ), PRI^•EM

T 2F k

sup

T f

< + PRI KAVDOM f

E. tOGDA

sup

< + .

pOLOVIM An = T

ff j kT fk ng. tOGDA

(i)

E =

1 An,T

(ii) KAVDOE An ZAMKNUTO.

n=1

pO TEOREME b\RA 217.4 KAKOE-LIBO An IMEET NEPUSTU@ WNUTRENNOSTX:

n 6 ;

A =

. pUSTX B"

(a)

A . sU]ESTWUET N1

TAKOE, ^TO B"( )

T 2F k

pUSTX sup

T a

< k ( N); POLAGAQ N1

= n + k, IMEEM (TAK KAK f + a

B"(a)):

kfk < " ) kT fk kT(f + a)k + kT ak n + k:g

tEPERX

kfk 1 k

2 F ) k

= sup

T f

= 1

sup

T ("f )

N1=":

rASSMOTRIM RQD WAVNYH SLEDSTWIJ.

399

2. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, X( E) | LINEAL PLOT-

NYJ W E I Tn 2 L(E; F ) | POSLEDOWATELXNOSTX LINEJNYH OGRANI^ENNYH

OPERATOROW. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

(i)

lim Tnf SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f

(ii)

lim Tnf SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f

2 X I

sup

< + .

(i) ) (ii) W SILU P. 1.

)

(ii)

(i). pUSTX M = sup

I " > 0 PROIZWOLXNO. pUSTX f0

X I

f 2 X TAKOWO, ^TO kf , f0k

"=2M; PUSTX N TAKOWO, ^TO k(Tn , Tm)fk <

" (n; m > N). tOGDA DLQ n; m > N

kTnf0 , Tmf0k k(Tn , Tm )(f0 , f )k

+ k(Tn , Tm)fk

k(Tn , Tm )(f0 , f )k + " 2M ("=2M ) + " = 2":

pUSTX

| NORMIROWANNYE

PROSTRANSTWA,

OTOBRAVENIE

a : E F ! C

NAZOWEM•

2-LINEJNYM, ESLI LINEJNY OTOBRAVENIQ a(f; ) :

F ! C ; a( ; g) : E ! C (f

2 E; g

2 F ).

: E F

! C |

4. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, a

2-LINEJNOE OTOBRAVENIE, I PRI FIKSIROWANNYH f

E; g 2

F OTOBRA-

VENIQ a(f; ) : F

! C ;

a( ; g) : E

! C

NEPRERYWNY. tOGDA a NEPRERYWNO

(PO SOWOKUPNOSTI PEREMENNYH).

dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO ESLI fn ! ;

! (fn 2 E;

gn 2 F ),

TO a(fn; gn ) !

0 (!!). dLQ FIKSIROWANNOGO n 2

N POLOVIM Tn = a(fn; ) :

F !

C . |TO POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENNYH LINEJNYH FUNKCIONA-

LOW

PRI^EM

TAK KAK

a( ; g)

NEPRERYWNY

) lim

(g)

= lim

a(fn; g) = 0

•

(

DLQ L@BOGO g

Tn(g)

F . pO\TOMU sup

< +

F ). pO TEOREME

bANAHA {TEJNGAUZA

sup

< +

TAK ^TO

a(fn; gn ) =

Tn(gn )

Kkgnk ! 0:

5. u P R A V N E N I E. pRIWEDITE PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO TREBO-

WANIE POLNOTY PROSTRANSTWA E W TEOREME P. 1 NE MOVET BYTX OPU]ENO.

x231. tEOREMA bANAHA OB OTKRYTOM OTOBRAVENII

1. t E O R E M A.

[s.bANAH]. eSLI E; F

BANAHOWY PROSTRANSTWA,

T :

! F | OGRANI^ENNAQ LINEJNAQ S@R_EKCIQ, TO OBRAZ KAVDOGO

OTKRYTOGO MNOVESTWA PRI OTOBRAVENII T OTKRYT W F.

400

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5140 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx