Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5134 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

f : E ! R.

4. u P R A V N E N I E. uTWERVDENIQ PP. 2, 3 OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI DLQ -KOLXCA, ALGEBRY, -ALGEBRY.

x202. oPREDELENIE IZMERIMOJ FUNKCII

bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO E | ABSTRAKTNOE MNOVESTWO S ZADANNOJ NA NEM• -ALGEBROJ A.


1. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ IZMERIMOJ, ESLI f,1(Y ) 2 A DLQ
L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA Y (		R). dRUGIMI SLOWAMI, f IZMERIMA,
1

ESLI f, (B) A, GDE B | BORELEWSKAQ ALGEBRA W R.

oBOZNA^IM ^EREZ M = M(E; A) MNOVESTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ

2. p R I M E R. fUNKCIQ WIDA X (X 2 A) IZMERIMA.

3. f 2 M (E; A) TTOGDA fx j f (x) < cg 2 A (c 2 R).

eSLI f 2 M, TO fx j f (x) < cg = f,1 ((,1; c)) 2 A , TAK KAK (,1; c) 2 B(R) (c 2 R). oBRATNO, PUSTX

f,1(E) A; GDE E = f(,1; c)gc2R:

tAK KAK B(R) | -ALGEBRA, POROVDENNAQ• SEMEJSTWOM E (SM. 193.11), TO S U^•ETOM 201.4 IMEEM

f,1 (B) = f,1 (A (E)) = A (f,1 (E)) A (A) = A

(ZDESX ^EREZ A (E) OBOZNA^AETSQ -ALGEBRA, POROVD•ENNAQ SEMEJSTWOM E),

TO ESTX f 2 M:			>				x138: POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ


4.	nAPOMNIM			TERMINOLOGI@
	!				!			!	n
fn : E		R SHODITSQ K f : E				R	(OBOZNA^ENIE fn		f ), ESLI lim fn(x) =

f (x) (x 2 E); fn RAWNOMERNO SHODITSQ K f (fn =) f ), ESLI

8" > 0 9N 8n > N 8x 2 E (jfn(x) , f(x)j < "):

5. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ K FUNK- CII f, TO f TAKVE IZMERIMA.

331

k=1f

qSNO, ^TO

f (x) < c

f(x) < c

. tAK KAK fn

f ,

NERAWENSTWO f(x) < c ,

PRI FIKSIROWANNOM x 2

E OZNA^AET, ^TO DLQ

DOSTATO^NO BOLX[IH m : fm (x) < c ,

. sLEDOWATELXNO,

[ [ \

fx j f (x) < cg

fx j fm (x) < c , k g:

k=1 n=1 m

tEPERX UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 3. >

6. iZMERIMYE FUNKCII, PRINIMA@]IE NE BOLEE ^EM S^ETNOE• ^ISLO ZNA^ENIJ, BUDEM NAZYWATX PROSTYMI FUNKCIQMI. pUSTX 1; 2; : : : | WSE (POPARNO RAZLI^NYE) ZNA^ENIQ, KOTORYE PRINIMAET PROSTAQ FUNKCIQ f : E ! R. tAK KAK ODNOTO^E^NYE MNOVESTWA f ng 2 B(R), TO MNOVESTWA Xn fx j f (x) = ng = f,1 (f ng) 2 A POPARNO NE PERESEKA@TSQ I OBRAZU- @T RAZBIENIE E. tAKIM OBRAZOM, WSQKAQ PROSTAQ FUNKCIQ f PREDSTAWIMA W WIDE:

f = X n Xn ; X Xn = E; Xn 2 A:

n n

sLEDU@]EE SWOJSTWO MOVNO RASSMATRIWATX KAK KONSTRUKTIWNOE OPRE- DELENIE IZMERIMOJ FUNKCII.

7. fUNKCIQ f : E ! R IZMERIMA TTOGDA ONA QWLQETSQ RAWNOMERNYM PREDELOM PROSTYH FUNKCIJ.

dOSTATO^NOSTX SPRAWEDLIWA W SILU P. 5. dLQ PROWERKI NEOBHODIMOSTI POLOVIM

2 Z):

fn (x) = n; ESLI

n f(x) < n

+ n (n 2 N; k

qSNO, ^TO fn | PROSTYE FUNKCII I jfn(x) , f (x)j

(x 2 E ), TO ESTX

fn =) f:

u P R A V N E N I Q. 8. pUSTX fn 2 M(E; A) (n = 1; 2; : : :) I fn(x) =

sup f(x) < +

E). tOGDA f

M(E;A).

9.eSLI f; g 2 M (E; A), TO fx j f(x) 6= g(x)g 2 A.

10.pUSTX A (Z) | -ALGEBRA W , POROVDENNAQ• POLUKOLXCOM Z (191.9).

pOKAVITE

^TO FUNKCIQ

PRINADLE

f (!) = n

!n 2, (! = (!1; !2; : : :)

)

VIT KLASSU

M( ;

( )).

332

x203. |LEMENTARNYE SWOJSTWA IZMERIMYH FUNKCIJ

1. pUSTX f; g 2 M(E; A). tOGDA f g; f g 2 M(E;A). eSLI, KROME TOGO, f NE OBRA]AETSQ W NULX, TO 1=f 2 M (E;A).

pUSTX f; g | PROSTYE FUNKCII:

f =			0		; g =		00		( Xn = Yk = E):
		n	n Xn				k	Yk	n
		n				k			n	k
	X					X			X	X
tOGDA f +g =		( 0 + 00)				I, SLEDOWATELXNO, f +g \| PROSTAQ FUNKCIQ.
n;k			n	k	XnYk
n;k
P

fw SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM PROSTOJ FUNKCII SLEDUET RASSMOTRETX POSLEDOWATELXNOSTX 1; 2; : : : POPARNO RAZLI^NYH ZNA^ENIJ WSEH SUMM WI-

DA 0	+ 00 (n; k = 1; 2; : : :), TAK ^TO
n	k

f + g =	X		s	; GDE Zs =	X		XnYk:
			Zs
0	+ 00	= s		0	+ 00	= s
n	k			n	k

w DALXNEJ[EM BUDEM OPUSKATX STOLX DETALXNYE ARGUMENTY PRI ARIFME-

TI^ESKIH OPERACIQH NAD PROSTYMI FUNKCIQMI.g eSLI f; g | IZMERIMYE,

NO NE PROSTYE, TO IZMERIMOSTX f + g SLEDUET IZ 202.7.

eSLI f 2 M (E; A), TO f2 2 M (E; A) W SILU RAWENSTWA

f2(x) < c

< p

g \f

f(x)

f(x) >

0):

iZ PREDSTAWLENIQ f

((f + g) , (f

, g) ) SLEDUET IZMERIMOSTX

PROIZWEDENIQ IZMERIMYH FUNKCIJ.

2. eSLI f 2 M (E; A) I X

2 A, TO f X

2 M(E; A).

|TO NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE P. 1.

fUNKCIQ

f :

R NAZYWAETSQ

IZMERIMOJ

PO bOREL@ (ILI

w-IZMERIMOJ), ESLI f, (B(R)) B(R).

pUSTX f

2 M(E;A) I ' w-IZMERIMA. tOGDA SUPERPOZICIQ ' f 2

M(E; A).

dEJSTWITELXNO, ',1

(Y )

B(R) DLQ L@BOGO Y

B(R). sLEDOWATELXNO,

(' f), (Y ) = f, (', (Y ))

2 A:

5. z A M E ^ A N I E. oPREDELENIE P. 3 MOVNO OBOB]ITX NA SLU^AJ

FUNKCIJ WIDA f : X

R, GDE X(

R) | NEKOTOROE BORELEWSKOE MNOVEST-

WO. tAKAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ w-IZMERIMOJ, ESLI f, (B(R)) B(X), GDE

B(X ) = fB T X j B 2 B(R)g.

333

tAKIM OBRAZOM, f LOGIEJ 47.1).

!RNEPRERYWNA, TO ONA w-IZMERIMA.

7.eSLI f : R ! R IMEET KONE^NOE ILI S^ETNOE• ^ISLO TO^EK RAZRYWA, TO ONA w-IZMERIMA.

8.eSLI fn 2 M(E; A) | POSLEDOWATELXNOSTX IZMERIMYH FUNKCIJ, TO X = fx 2 E j (fn (x)) SHODITSQ g 2 A).

x204. iZMERIMYE FUNKCII NA PROSTRANSTWE S MEROJ

1. rASSMOTRIM TROJKU (E; A; ), GDE E | MNOVESTWO, A | -ALGEBRA W E; | POLNAQ -KONE^NAQ MERA NA A (SM.197.12). fUNKCII f; g : E ! R NAZOWEM• \KWIWALENTNYMI (PI[EM f g), ESLI fx j f(x) 6= g(x)g = 0.

g, ESLI f (x) = g(x) P.W. (W SOOTWETSTWII S TERMINO-

2.eSLI g 2 M (E; A) I f g, TO f 2 M (E; A).

dEJSTWITELXNO,

f j

f (x) < c

x f (x) = g(x); g(x) < c

f (x) = g(x); f(x) < c

g \ f

g(x) < c

f (x) = g(x)

f(x) = g(x); f(x) < c :

iZ POLNOTY MERY

f (x) = g(x); f(x) < c

g 2

(x) = g(x) c

pO\TOMU fx j f (x) < cg 2

3. eSLI FUNKCII f; g : R

! R NEPRERYWNY I \KWIWALENTNY OTNOSI-

TELXNO LINEJNOJ MERY lEBEGA, TO f = g.

pUSTX, NAPROTIW,

f (x0) = g(x0); IZ NEPRERYWNOSTI f I g W TO^KE x0

SLEDUET

^TO SU]ESTWU@T

a; b (a < x0

< b)

TAKIE

^TO

(f g)(x) = 0

DLQ

WSEH x

(a; b). pRI \TOM x

f (x) = g(x)

(a; b) = b

a > 0, TO ESTX

f I g NE \KWIWALENTNY.

4. z A M E ^ A N I E. w KLASSE M (E; A) IZMERIMYH FUNKCIJ OTNO[E- NIE QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI. kLASS M(E;A) FORMALXNO NE ZAWISIT OT MERY : A ! R+ [ f+1g. w TOM SLU^AE, KOGDA FUNKCII NAS INTERESU@T S TO^NOSTX@ DO IH ZNA^ENIJ NA MNOVESTWE MERY NULX, CELESOOBRAZNO FAKTORIZOWATX MNOVESTWO M(E; A) PO OTNO[ENI@ \KWIWA- LENTNOSTI (SM. PRIL. I, P. 5). pOLU^ENNOE MNOVESTWO KLASSOW POPARNO \KWIWALENTNYH IZMERIMYH FUNKCIJ OBOZNA^IM ^EREZ M(E; A; ).

334

x205. sHODIMOSTX PO^TI WS@DU

1. pOSLEDOWATELXNOSTX fn : E ! R NA PROSTRANSTWE S -KONE^NOJ

MEROJ (E; A; ) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ PO^TI WS@DU K FUNKCII f, ESLI

P.W.

lim fn (x) = f (x) P.W. (PI[EM fn ,! f ).

2. p R I M E R. pOSLEDOWATELXNOSTX fn(x) = (,1)nxn [0;1] (x)(x 2 R) SHODITSQ K 0 P.W. NA ^ISLOWOJ PRQMOJ S LINEJNOJ MEROJ lEBEGA. oDNAKO,

OTNOSITELXNO MERY lEBEGA-sTILTXESA F , OPREDELQEMOJ FUNKCIEJ F =(1;+1) , TA VE POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ P.W. RASHODITSQ.

3. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ P.W. K FUNKCII f, TO f TAKVE IZMERIMA.

pUSTX FUNKCII ZADANY NA PROSTRANSTWE S MEROJ (E; A; ) I

X = fx j lim fn (x) = f (x)g;

TAK ^TO fn X ! f X . pO USLOWI@ Xc = 0. pO\TOMU X 2 A. sOGLASNO

202.5 f X 2 M(E; A). pOSKOLXKU fx 2 E j f(x) 6= f (x) X (x)g Xc,

IMEEM f f X I OSTA•ETSQ U^ESTX 204.2. >

sLEDU@]AQ TEOREMA USTANAWLIWAET SWQZX MEVDU SHODIMOSTX@ P.W. I RAWNOMERNOJ SHODIMOSTX@: OKAZYWAETSQ, ^TO NA PROSTRANSTWE S KONE^NOJ MEROJ DLQ WSQKOJ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI IZMERIMYH FUNKCIJ MOVNO UDALITX IZ PROSTRANSTWA MNOVESTWO SKOLX UGODNO MALOJ MERY TAK, ^TO NA OSTAW[EMSQ MNOVESTWE \TA POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ UVE RAWNOMERNO.

t E O R E M A

eGOROW

pUSTX

E < +1; fn

2 M (E;

4.P.W.

[ .

)

I fn

,! f. tOGDA DLQ WSQKOGO > 0 SU]ESTWUET X

2 A TAKOE, ^TO

X < I fn Xc =) f Xc .

iZ P. 3 SLEDUET, ^TO f 2

M(E; A). pOLOVIM

Xm =

x :

fi(x)

f (x) <

; Xm =

[

Xm :

i nf

pOSLEDOWATELXNOSTX X1m; X2m; : : : MONOTONNO WOZRASTAET. pO\TOMU W SILU 197.13 DLQ WSQKOGO m NAJDETSQ• n0 = n0(m) TAKOE, ^TO (XmnXnm0(m)) <

335

2,m . pOLOVIM Xc =

. tOGDA fn c =

f Xc , TAK KAK

fn(x) c (x)

n0 (m)

)

f (x) Xc (x)j <

(n Tn0). zAMETIM DALEE, ^TO

(Xm )c = (

Xnm)c =

\ i[n

x : fi(x) f (x)

[

j mg

pO\TOMU ESLI x

(Xm)c, TO SU]ESTWU@T SKOLX UGODNO BOLX[IE n, PRI

KOTORYH

fn(x)

f(x)

, TO ESTX x

(Xm)c

)

fn (x)

f(x). w SILU

mj c

USLOWIQ TEOREMY (X

)

= 0. oTS@DA

X =

([

Xnm0(m)]c ) =

( (Xnm0(m) )c)

(Xnm0 (m) )c

2, = :

Xn0(m) )

P.W.

5. u P R A V N E N I E. eSLI fn 2 M (E; A) I fn ,! f, TO fn ,! g

TTOGDA g f.

x206. sHODIMOSTX PO MERE

1. pOSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ (NA PROSTRANSTWE S

-KONE^NOJ MEROJ) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ PO MERE K IZMERIMOJ FUNKCII

f (OBOZNA^ENIE fn ,! f ), ESLI DLQ WSQKOGO " > 0:

lim x :

fn(x)

f(x)

= 0:

2. pUSTX fn | POSLEDOWATELXNOSTX IZMERIMYH FUNKCIJ NA PROSTRAN-

•

fn ,! f.

,! f.

STWE

S KONE^NOJ MEROJ

PRI^EM

P.W.

tOGDA

w SILU 205.3 f IZMERIMA. pROWERIM, ^TO Xn (") ! 0 (n ! 1), GDE

( )

Xn (") fx : jfn(x) , f(x)j "g:

pUSTX

eSLI

x 2

PRINADLEVIT BESKONE^NO

X =

n=1 k n Xk (").

MNOGIM Xn (") I, SLEDOWATELXNO, fn(x)

f (x). pO\TOMU

6! g

fn (x)

f(x)

;

(x)

f(x) = 0:

336

tAKIM OBRAZOM, fn

fk =

i [ i , 1; i )

k k

N), IMEEM Y1

oTS@DA X = 0. pOLAGAQ Yn					= k n Xk (") (n 2

	I		!	SM	S	o^EWIDNO
: : : ; n Yn = X	I	Yn		SM	. 197.13).	o^EWIDNO	, Xn(")
: : : ; n Yn = X		Yn		0 (	. 197.13).		, Xn(")
T


Xn(") ! 0: >

Yn, OTKUDA

3. p R I M E R: SHODIMOSTX PO MERE, WOOB]E GOWORQ, NE WLE^•ET SHO- DIMOSTI P.W. pUSTX E = [0; 1); | LINEJNAQ MERA lEBEGA. pOLOVIM

; 1 i k (k 2 N):

f1	;
1
f2	;	f2	;
1		2
: : :		: : : : : :

fn; fn; : : : : : : fn;
1	2	n
: : :	: : : : : : : : :	: : :

zANUMERUEM \TU POSLEDOWATELXNOSTX PODRQD: f1 = f11; f2 = f12; f3 = f22; : : :. dLQ OB]EGO ^LENA POSLEDOWATELXNOSTI fn = fik((nn)) : k(n) ! 1 PRI n ! 1. pO\TOMU (DLQ 0 < " < 1):

fx : jfn (x)j "g = k(n) ! 0 (n ! 1):

,! 0. w TO VE WREMQ DLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO x 2 E POSLEDOWATELXNOSTX fn(x) ESTX POSLEDOWATELXNOSTX IZ NULEJ I EDI- NIC, PRI^EM• KAK TEH, TAK I DRUGIH W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NOE ^ISLO. iTAK, fn NE SHODITSQ NI W ODNOJ TO^KE x 2 E.

4. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn SHODITSQ PO MERE K f, TO SU]EST- WUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ) \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI, KOTORAQ

SHODITSQ K f P.W.
pUSTX "n; n	\| DWE POSLEDOWATELXNOSTI POLOVITELXNYH ^ISEL TAKIE,
^TO "n ! 0; n n < +1. iSKOMU@ PODPOSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW STRO-
IM INDUKTIWNOP	: n1 OPREDELIM IZ USLOWIQ: Xn1 ("1) < 1						, GDE Xn(") OPRE-
DELENY RAWENSTWOM ( ); TAKOE n1 SU]ESTWUET, TAK KAK fn
DELENY RAWENSTWOM ( ); TAKOE n1 SU]ESTWUET, TAK KAK fn							,! f. eSLI nk,1
UVE OPREDELENO, TO nk OPREDELIM IZ USLOWIJ: Xnk ("k) < k; nk > nk,1.
pOLOVIM X =	T S	Xnk ("k ). tOGDA X			P	Xnk ("k ) <		P	k. iZ PRO-
	T S				P			P
IZWOLXNOSTI i	i k i			n	k i			k i
IZWOLXNOSTI i	I SHODIMOSTI RQDA		P	n	OTS@DA SLEDUET, ^TO X = 0.
			n

337

X . pO\TOMU

eSLI fnk (x)

6!f (x), TO \TO OZNA^AET, ^TO x PRINADLEVIT BESKONE^NO

MNOGIM ^LENAM POSLEDOWATELXNOSTI Xnk ("k ), TO ESTX x 2

fx j fn (x) 6!f(x)g = 0: >

5. pRIWEDEM• SHEMU WZAIMOSWQZEJ MEVDU RAZLI^NYMI TIPAMI SHODI-

MOSTI ( E < +1):
									P.W.
ffn =) fg ) ffn ! fg ) ffn ,! fg ) ffn											,! fg:
w OPREDELENNOM•		KONTEKSTE IMPLIKACII MOGUT BYTX OBRA]ENY (SM. P. 4 I
205.4).
					6. eSLI fn 2 M (E;
u P R A V N E N I Q.					6. eSLI fn 2 M (E;					A) I fn ,! f , TO fn ,! g
TTOGDA g f.
7. eSLI fn	,! f; gn ,! g, TO fn + gn								,! f + g.
8. pOSLEDOWATELXNOSTX fn SHODITSQ									PO	MERE TTOGDA DLQ WSQKOGO
n;m f		j		,	j		g
" > 0 : lim x :			fn(x)		fm(x)	"		= 0.

9. iZ POSLEDOWATELXNOSTI fn, POSTROENNOJ W P. 3, WYDELITE PODPOSLE-

DOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ P.W.
10. eSLI E < +	, TO fn	P.W. f TTOGDA sup		fm	,	f		0 PRI n	! 1	.
1		,!	m n j		,		j ,!		! 1

338

integral lebega

dLQ IZMERIMYH FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO OPREDELENIE INTEGRALA rIMANA OKAZYWAETSQ NE O^ENX UDA^NYM. nAPRIMER, IZWESTNAQ FUNKCIQ dIRIHLE [0;1]\Q IZMERIMA, OGRANI^ENA, NO NE INTEGRIRUE-

MA PO rIMANU NA OTREZKE [0; 1] (SM. 48.4). nETRUDNO USTANOWITX PRI^INU \TOGO: PRI SOSTAWLENII RIMANOWOJ SUMMY DLQ FUNKCII f OBLASTX INTEG- RIROWANIQ RAZBIWAETSQ NA MELKIE OTREZKI k , I ZNA^ENIE f (x) W KAVDOJ TO^KE OTREZKA k ZAMENQETSQ E•E ZNA^ENIEM W NEKOTOROJ TO^KE k 2 k . |TA PROCEDURA ESTESTWENNA, LI[X ESLI ZNA^ENIQ f (x) W BLIZKIH TO^KAH BLIZKI MEVDU SOBOJ, TO ESTX KOGDA f NEPRERYWNA ILI U NE•E IMEETSQ NE SLI[KOM MNOGO TO^EK RAZRYWA. oSNOWNAQ IDEQ INTEGRALA lEBEGA ZAKL@- ^AETSQ W TOM, ^TO PRI SOSTAWLENII INTEGRALXNOJ SUMMY TO^KI IZ OBLASTI INTEGRIROWANIQ GRUPPIRU@TSQ NE PO PRAWILU BLIZOSTI IH MEVDU SOBOJ, A PO PRIZNAKU BLIZOSTI ZNA^ENIJ FUNKCII W \TIH TO^KAH. pREIMU]ESTWO TAKOGO PODHODA ZAKL@^AETSQ E]E• I W TOM, ^TO OKAZYWAETSQ WOZMOVNYM OPREDELITX UNIWERSALXNYM OBRAZOM PONQTIE INTEGRALA DLQ FUNKCIJ, ZA- DANNYH NA PROIZWOLXNYH MNOVESTWAH, GDE OPREDELENA NEKOTORAQ MERA. |TO WAVNO WO MNOGIH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, GDE NEOBHODIMO UMETX INTEGRIROWATX PO BESKONE^NOMERNYM MNOGOOBRAZIQM.

w \TOJ GLAWE (ESLI NE OGOWORENO SPECIALXNO) | POLNAQ KONE^NAQ MERA NA NEKOTOROJ -ALGEBRE A W E; WSE RASSMATRIWAEMYE PODMNOVEST- WA E S^ITA@TSQ PRINADLEVA]IMI A, A WSE RASSMATRIWAEMYE FUNKCII

S^ITA@TSQ IZMERIMYMI.

x207. oPREDELENIE INTEGRALA lEBEGA

1. pUSTX (E; A; ) | PROSTRANSTWO S MEROJ. pROSTAQ FUNKCIQ f =

n Xn (

Xn = E)

NAZYWAETSQ

INTEGRIRUEMOJ PO

lEBEGU

ESLI

(

P j

SUMMA RQDA

n n Xn

NAZYWAETSQ INTEGRALOM lEBEGA

n Xn

< + ;

OT FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ Z f d . tAKIM OBRAZOM,

Z X

( n Xn )d

n Xn:

339

iZ ABSOL@TNOJ SHODIMOSTI RQDA W PRAWOJ ^ASTI INTEGRAL OPREDELEN• OD- NOZNA^NO.

oTMETIM SWOJSTWA PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.

2. eSLI f; g | PROSTYE INTEGRIRUEMYE FUNKCII, TO INTEGRIRUEMY

f + g; f ( 2 R), I

Z (f + g)d = Z f d + Z g d ; Z ( f) d = Z f d :

pUSTX f =

Xn ; g =

k Yk

(

Xn =

Yk = E). tOGDA f + g =

PRI^EM

( n + k ) XnYk ,

•

n;k

n;k j

k j

+ k

XnYk

P P

XnYk0

XnYk

Xn +

< + :

tAKIM OBRAZOM, f + g INTEGRIRUEMA. pRI \TOM

f d +

g d =

n Xn + k

k Yk = n

k XnYk

n XnYk

( n + k ) XnYk

n;k

= Z (f + g) d :

j Z

3. eSLI f | PROSTAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO f INTEGRIRUEMA I

j k k

k k

x2E j

f d

E E,

GDE

E = sup f (x) .

iNTEGRIRUEMOSTX f

n Xn

(

= E) SLEDUET IZ OCENKI

P j

k k

pO\TOMUP

n Xn

f E

n Xn = f E E .

f d j

= j

Xnj

j nj Xn kfkE E:

4. fUNKCIQ f :

R NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ, ESLI SU]EST-

WUET POSLEDOWATELXNOSTX PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ fn, SHODQ-

]AQSQ K f RAWNOMERNO. w \TOM SLU^AE WELI^INA lim

fn d NAZYWAETSQ

340

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5134 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx