Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
2.83 Mб
Скачать

x137. nEKOTORYE SPECIALXNYE FUNKCII

pRIMENIM POLU^ENNYE REZULXTATY K ANALIZU WAVNYH W PRILOVENIQH SPECIALXNYH FUNKCIJ, ZADANNYH INTEGRALAMI.

1. b\TA-FUNKCIQ |JLERA ZADAETSQ INTEGRALOM

B(a; b) = Z 1 xa,1(1 , x)b,1 dx (a; b > 0):

0

w UKAZANNOJ OBLASTI INTEGRAL SHODITSQ. iNTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM W OBLASTI f(a; b)j a 1; b 1g. s POMO]X@ FORMULY nX@TONA-lEJBNICA INTEGRAL MOVET BYTX WY^ISLEN LI[X PRI NEKOTORYH a; b. pO\TOMU FUNK- CI@ B(a; b) PRIHODITSQ IZU^ATX KAK INTEGRAL (WOOB]E, NESOBSTWENNYJ), ZAWISQ]IJ OT PARAMETRA. pOKAVEM SNA^ALA, ^TO B(a; b) NEPRERYWNA.

pREDSTAWIM B(a; b) W WIDE B(a; b) = B0 (a; b) + B1(a; b), GDE

1=2

 

1

 

B0(a; b) = Z0

xa,1

(1 , x)b,1 dx; B1 (a; b) = Z1=2xa,1(1

, x)b,1 dx:

kAVDYJ IZ INTEGRALOW B0; B1 IMEET OSOBENNOSTX NE BOLEE ^EM W ODNOJ TO^KE I DOSTATO^NO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX KAVDOGO IZ NIH. uTWERV- DENIE 136.1 NEPOSREDSTWENNO NE PRIMENIMO, TAK KAK MNOVESTWO PARAMET- ROW OTKRYTO W R2. pOSKOLXKU NEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE ESTX SWOJ- STWO LOKALXNOE, MOVNO USTRANITX \TO ZATRUDNENIE. pUSTX a0; b0 > 0 PRO- IZWOLXNY. pOGRUZIM TO^KU (a0; b0 ) W NEKOTORYJ ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLX-

NIK = [a1; a2] [b1; b2] TAK, ^TOBY 0 < a1 < a0 < a2; 0 < b1 < b0 < b2. pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO FUNKCIQ B0(a; b) NEPRERYWNA W TO^KE (a0; b0 ).

w SILU 136.1 DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO INTEGRAL

Z01=2xa,1(1 , x)b,1 dx

SHODITSQ RAWNOMERNO W . pOLAGAQ c =

 

 

max

 

 

 

(1

,

x)b,1 , IMEEM

 

 

 

 

 

(x;b)

2

[0;1=2]

 

[b1;b2]

 

 

 

, x)b,1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

xa,1(1

cxa1,1 (0 < x < 1=2; (a; b)

). pO PRIZNAKU wEJER-

[TRASSA OTS@DA SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX.

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

wY^ISLIM

@B(a; b). fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOM INTEGRA-

LA, IMEEM

@a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@B(a; b)

= Z0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

@a

xa,1 (1 , x)b,1 lnx dx

 

(a; b > 0):

 

pOKAVEM, ^TO DIFFERENCIROWANIE ZAKONNO. dOSTATO^NO UBEDITXSQ (136.2), ^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ RAWNOMERNO NA L@BOM OTREZKE [a1; a2]; a1 > 0:

221

pEREHODQ K INTEGRALAM S ODNOJ OSOBENNOSTX@, DOKAVEM, NAPRIMER, ^TO NA

OTREZKE [a1; a2 ] RAWNOMERNO SHODITSQ INTEGRAL Z01=2xa,1(1 , x)b,1 ln x dx.

pREOBRAZUQ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ K WIDU xa,1,"(1

, x)b,1x" ln x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(0

< x 2), GDE " > 0 TAKOE, ^TO a1 , " > 0, ZAMETIM,

^TO FUNKCIQ

 

"

 

1

 

 

 

jx

 

ln xj OGRANI^ENA NA (0; 2], TO ESTX

 

 

 

 

 

 

jxa,1(1 , x)b,1 lnxj Mxa1,1,"

1

 

 

 

 

 

(x 2 (0; 2 ]);

 

GDE M | PODHODQ]AQ KONSTANTA. tEPERX MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ PRIZNA-

KOM 135.3.

2. gAMMA-FUNKCIQ |JLERA ZADAETSQ INTEGRALOM

,(a) = Z +1 xa,1e,x dx; a > 0:

0

iNTEGRAL IMEET OSOBENNOSTI W +1 I (PRI a < 1) W TO^KE 0. pRI WSEH a > 0 INTEGRAL SHODITSQ. pOKAVEM, ^TO NA L@BOM OTREZKE [a1; a2] (0 < a1 < a2 < +1) INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO. oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET NEPRERYWNOSTX FUNKCII ,(a).

pREDSTAWIM ,(a) W WIDE ,(a) =

Z

 

1

Z

 

+1

xa,1e,x dx. iZ

0

xa,1e,x dx +

1

 

OCENOK

 

 

 

 

 

xa,1e,x xa1,1 (0 < x 1); xa,1e,x xa2,1e,x (x 1)

I PRIZNAKA wEJER[TRASSA SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX INTEGRALA NA

[a1; a2]: >

iZ 136.2 I PRIZNAKA wEJER[TRASSA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ ,(a) DIFFE- RENCIRUEMA L@BOE ^ISLO RAZ W OBLASTI a > 0:

 

,(k) (a) = Z0+1xa,1 (lnx)ke,x dx; k = 1; 2; : : : :

 

3. z A M E ^ A N I E. iMEET MESTO FORMULA

(2)

,(a) = (a , 1),(a , 1); a > 1:

w ^ASTNOSTI, ESLI n 2 N, TO

,(n + 1) = n,(n) = n(n , 1),(n , 1) = : : : = n!,(1) = n!:

222

tAKIM OBRAZOM, GAMMA-FUNKCIQ QWLQETSQ ESTESTWENNYM OBOB]ENIEM FAK- TORIALA NA NECELYE ARGUMENTY. ffORMULA (2) SLEDUET IZ WYKLADKI (DLQ a > 1 INTEGRAL ,(a) IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W +1):

,(a) =

+1

 

a

1

e,

x

dx =

lim

 

Z

N

a 1

e,

x

dx

 

x

 

,

 

 

 

 

x

,

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

N!+1

0

 

N xa,2e,xdx]

=

Z lim

 

[

,

xa,1e,x N

+ (a

 

1)

 

 

N!+1

 

 

 

 

j0

 

,

Z0

 

 

 

 

=

(a ,

1),(a ,

1):g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO INTEGRALY

Z 1xa,1(1 , x)b,1 dx; Z 1xa,1(1 , x)b,1 lnx dx (a; b > 0);

0 0

Z 1xa,1e,x dx; Z +1xa,1e,x dx (a > 0)

0 1

NE SHODQTSQ RAWNOMERNO W UKAZANNYH OBLASTQH.

223

posledowatelxnosti i rqdy funkcij

x138. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ

1. pUSTX | MNOVESTWO. pOSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fn : ! C NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K FUNKCII f : ! C W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA(PI[EM fn ! f), ESLI ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX fn (!) SHODITSQ K f (!) PRI KAVDOM ! 2 :

(1) 8! 2 8" > 0 9N 8n > N (jfn (!) , f (!)j < ")

(ZDESX NATURALXNOE N , KONE^NO, ZAWISIT OT ! 2 ).

bOLX[EE ZNA^ENIE PRI IZU^ENII FUNKCIONALXNYH POSLEDOWATELXNOS- TEJ IGRAET INOJ, BOLEE SILXNYJ WID SHODIMOSTI.

 

2. pOSLEDOWATELXNOSTX fn : ! C NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]EJSQ

K FUNKCII f : ! C (BUDEM PISATX fn =) f ), ESLI

(2)

8" > 0 9N 8n > N 8! 2 (jfn(!) , f(!)j < "):

(w \TOM OPREDELENII ^ISLO N UVE NE ZAWISIT OT !!)

3. z A M E ^ A N I E. eSLI fn =) f, TO fn ! f . oBRATNOE, WOOB]E, NEWERNO fDLQ POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ fn (t) (0 t 1), ZADANNYH RAWENSTWAMI fn (t) = 0 (t 6= 1=n); fn (1=n) = 1, IMEEM: fn ! 0, NO fn NE SHODITSQ K 0 RAWNOMERNOg.

4. dLQ OGRANI^ENNOJ FUNKCII f : ! C POLOVIM

kfk sup jf(!)j:

!2

wWEDENNAQ WELI^INA NAZYWAETSQ RAWNOMERNOJ NORMOJ OGRANI^ENNOJ FUNK- CII. oNA OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI NORMY:

kfk = 0 ) f = 0; k fk = j jkfk ( 2 C ), kf + gk kfk + kgk .

w TERMINAH \TOJ NORMY UDOBNO SFORMULIROWATX USLOWIQ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI.

224

5. pUSTX fn : ! C (n = 1; 2; : : :) | POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ.

sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

(A) fn SHODITSQ RAWNOMERNO (K f),

(B)

kfn , fk ! 0 (n ! 1),

(W)

8" > 0

9N 8n; m > N (kfn , fmk < "),

(G)

8" > 0

9N 8n; m > N 8! 2 (jfn (!) , fm (!)j < ").

(A) ) (B). dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO IZ (2) SLEDUET, ^TO kfn , fk < "

PRI n > N. uMESTNO OBRATITX WNIMANIE ^ITATELQ, ^TO W USLOWII (A)

NE TREBUETSQ OGRANI^ENNOSTI FUNKCIJ. tEM NE MENEE, PRI DOSTATO^NO

BOLX[IH n RAZNOSTX fn , f UVE OBQZANA BYTX OGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ.

(B) ) (W). pUSTX N 2 N TAKOWO, ^TO kfn ,fk < "=2 PRI n > N . tOGDA

 

kfn , fmk kfn , fk + kfm , fk < " (n; m > N):

 

 

(W) )

(G) (!!).

 

 

 

 

 

 

(G) )

(A). uSLOWIE (G) OZNA^AET, ^TO PRI KAVDOM ! 2 ^ISLOWAQ

POSLEDOWATELXNOSTX fn (!) FUNDAMENTALXNA, A ZNA^IT, SU]ESTWUET f (!)

n

 

j

 

,

j

2

 

lim fn (!). pUSTX N TAKOWO, ^TO

 

fn (!)

 

fm(!) < " (n; m > N; !

 

).

pEREHODQ W \TOM NERAWENSTWE K PREDELU PO m, IMEEM jfn (!) , f(!)j

" (n > N; ! 2 ): >

x139. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX I NEPRERYWNOSTX

pRODEMONSTRIRUEM, KAK RABOTAET PONQTIE RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ, ZADANNYH NA TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANST- WE.

1. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, FUNKCII fn : E ! C

(n = 1; 2; : : :) NEPRERYWNY W TO^KE !0 2 E I fn =) f. tOGDA f TAKVE NEPRERYWNA W TO^KE !0.

pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I N 2 N TAKOWO, ^TO jfN (!),f (!)j < "=3 (! 2 E). tAK KAK fN NEPRERYWNA W !0 , NAJDETSQOKRESTNOSTX U TO^KI !0 TAKAQ, ^TO jfN (!) , fN (!0)j < "=3(! 2 U). sLEDOWATELXNO, DLQ L@BOJ TO^KI

! 2 U:

jf (!) , f (!0 )j jf(!) , fN (!)j + jfN (!) , fN (!0)j

+ jfN (!0 ) , f (!0)j < ": >

225

2.s L E D S T W I E. pUSTX fn : E ! C | POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E, I fn =) f. tOGDA f NEPRERYWNA NA E.

3.p R I M E R. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX ^ISLOWYH FUNKCIJ

fn(t) = (1

, nt) [0;1=n] (t) (0 t

1).

o^EWIDNO

fn

NEPRERYWNY

,

PRI^EM

 

 

 

DLQ L@BOJ TO^KI t 2 [0; 1] SU]ESTWUET PREDEL

 

 

 

 

 

f (t) = limfn (t) =

0;

ESLI 0 < t

1,

 

 

 

n

1;

ESLI t = 0.

 

 

oDNAKO, \TA PREDELXNAQ FUNKCIQ UVE NE NEPRERYWNA.

x140. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX RQDOW FUNKCIJ

1. pUSTX uj : ! C | POSLEDOWATELXNOSTX ^ISLOWYH FUNKCIJ, ZADAN- NYH NA ABSTRAKTNOM MNOVESTWE , TAK ^TO KAVDOJ TO^KE ! 2 MOVNO SOPOSTAWITX ^ISLOWOJ RQD

1

( ) X uj (!):

j=1

rQD ( ) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]IMSQ, ESLI RAWNOMERNO SHODITSQ

n

POSLEDOWATELXNOSTX P uj (!) EGO ^ASTNYH SUMM.

j=1

oTMETIM NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE 139.1.

2.pUSTX | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, I FUNKCII uj : ! C (j = 1; 2; : : :) NEPRERYWNY W TO^KE !0. pUSTX RQD ( ) SHODITSQ RAWNOMER- NO K FUNKCII v : ! C . tOGDA v NEPRERYWNA W TO^KE !0. eSLI, KROME TOGO, WSE uj NEPRERYWNY NA , TO I SUMMA RQDA v NEPRERYWNA NA .

3.[kRITERIJ kO[I]. rQD ( ) SHODITSQ RAWNOMERNO TTOGDA

 

8" > 0 9N 8n > N 8p 8! 2 0

 

n+p

uj(!)

< "1 :

 

@

 

X

 

A

 

 

j=n+1

 

 

n

4. [pRIZNAK wEJER[TRASSA]. pUSTX j

> 0;

juj (!)j j (! 2 ) I

j=1

j < +1. tOGDA RQD ( ) SHODITSQ RAWNOMERNO.

 

P

 

 

 

 

 

226

p. 3 QWLQETSQ PEREFORMULIROWKOJ DLQ RQDOW KRITERIQ 138.5(G), P. 4 SLEDUET IZ P. 3 (!!). >

5. u P R A V N E N I E. iSSLEDOWATX NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQD

1 2 ,nx

P x e (0 x < +1). f pRIMENITE P. 4.g

n=1

x141. pRIZNAKI SHODIMOSTI dIRIHLE I aBELQ

sLEDU@]IE NIVE PRIZNAKI PRIGODNY DLQ NEABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW WE]ESTWENNYH FUNKCIJ. rASSMOTRIM RQD WIDA

 

 

X

 

 

 

 

 

 

(1)

 

1 uj(!)vj (!);

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

GDE uj ; vj : ! R | WE]ESTWENNYE FUNKCII.

 

 

 

 

pRIZNAK dIRIHLE

].

pUSTX

u1(!) u2

(!n)

: : : (! 2

),

PRI^EM

1. [

 

 

uk =) 0, I SU]ESTWUET M > 0

TAKOE, ^TO j j=1 vj (!)j M

(! 2 ; n 2

N). tOGDA RQD (1) SHODITSQ RAWNOMERNO.

P

 

 

 

2. [pRIZNAK aBELQ]. pUSTX u1(!) u2(!) : : : (! 2 ), PRI^EM SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO juj (!)j M (j = 1; 2; : : :). pUSTX, KROME

TOGO, RQD 1 v (!) SHODITSQ RAWNOMERNO. tOGDA RQD (1) TAKVE SHODITSQ

jP=1 j

RAWNOMERNO.

p. 1. DLQ FIKSIROWANNOGO n 2 N POLOVIM

wk = vn+1 + : : : + vn+k (k = 1; 2; : : :):

iMEET MESTO TOVDESTWO

p

 

p,1

 

X

un+kvn+k =

X

(un+k , un+k+1 )wk + un+pwp:

k=1

k=1

 

 

sLEDOWATELXNO,

 

p

 

(2)

P

un+k (!)vn+k (!)

 

 

 

k=1

 

p,1

kP=1 jun+k (!) , un+k+1(!)jjwk(!)j

+ jun+p (!)wp (!)j:

227

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+k

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

pO USLOWI@

jwk

(!)j = j j=1 vj (!), j=1 vj (!)j 2M.

s U^ETOM MONOTONNOS

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

TI POSLEDOWATELXNOSTI uj

(!) IMEEM

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j k=1 un+k (!)vn+k(!)j 2M(un+1 (!) , un+2(!) + un+2 (!) , un+3(!)

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

+ : : : , un+p(!) + un+p (!)) = 2Mun+1(!) (! 2 ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tAK KAK uk =)

0, SOGLASNO 140.3 POLU^AEM TREBUEMOE.

 

 

 

 

 

 

p. 2. w UKAZANNYH WY[E OBOZNA^ENIQH DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET

N = N (") TAKOE, ^TO PRI n > N DLQ WSEH ! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jwk(!)j = jvn+1(!) + : : : + vn+k(!)j < " (k = 1; 2; : : :):

 

 

 

\TO SLEDUET IZ

140.3,

PRIMENENNOGO K RQDU

1

(!)).

sLEDOWATELXNO

,

S

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1 vj

 

 

 

 

U^ETOM

 

 

I MONOTONNOSTI

fuj (!)g:

P

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

un+k(!)vn+k (!) "(un+1(!) , un+p (!)) + "jun+p(!)j 3"M:

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sNOWA W SILU 140.3 POLU^AEM TREBUEMOE. >

 

 

 

 

 

 

 

 

3. p R I M E R. iSSLEDUEM NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX RQD

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sinnx ( > 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w SLU^AE > 1 RQD SHODITSQ ABSOL@TNO I RAWNOMERNO (SM. 140.4). w SLU-

^AE

 

1 PRIMENIM PRIZNAK dIRIHLE, POLAGAQ vn (x) = sin nx; un(x) =

n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

oSTAETSQ ISSLEDOWATX NA OGRANI^ENNOSTX SUMMY

j j=1 vj (x)j =

 

(=) 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j sin x + sin 2x + : : : + sin nxj. s

U^ETOM

TOVDESTWA

 

P

 

=

2 sin sin

 

cos( , ) , cos( + ) IMEEM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx + sin 2x + : : : + sin nx

=(2 sin x2 ),1 [2 sin x2 sinx + : : : + 2 sin x2 sin nx]

=(2 sin x2 ),1 [cos x2 , cos 32x + cos 32x , : : : , cos(n + 12 )x] x2 ),1 [cos x2 , cos(n + 12)x]; x 6= 2 k (k 2 Z).

228

1
nP=1

pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO MALO. tOGDA NA OTREZKE ["; 2

,

"] MY IMEEM

n

 

 

 

 

 

 

"

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j=1

vj (x)

 

(sin 2),

 

 

(n = 1; 2; : : :).

tAKIM OBRAZOM

,

RQD

(3)

PRI

 

 

1

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SHODITSQ RAWNOMERNO NA L@BOM OTREZKE WIDA ["; 2 , "]; " > 0:

 

 

 

u P R A V N E N I Q. iSSLEDOWATX NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX

 

 

 

4.

1

 

n

 

1

 

 

 

(0

 

x < + ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

x

+ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

1

 

 

 

 

x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

(0 < x < 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

n

1 + xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. pOKAZATX, ^TO RQD (3) NA OTREZKE [0; 2 ] SHODITSQ NERAWNOMERNO PRI

0 < 1.

x142. oPERACII NAD RAWNOMERNO SHODQ]IMISQ RQDAMI

1. pUSTX ( Rn ) J-IZMERIMO I ZAMKNUTO, fn : ! R NEPRERYWNY I

)

n

Z

 

Z

 

fn = f. tOGDA

lim

 

fn(x) dx =

 

f(x)dx.

 

 

 

 

 

 

w SILU 139.2 FUNKCIQ f NEPRERYWNA I, W ^ASTNOSTI, INTEGRIRUEMA NA

. sOGLASNO 138.5 kfn , fk ! 0 (n ! +1). pO\TOMU

 

Z

fn (x) dx , Z

f (x) dx Z jfn(x) , f (x)j dx

 

 

 

 

 

 

kfn , fk m( ) ! 0 (n ! +1):

 

>

 

 

 

 

 

 

w KA^ESTWE SLEDSTWIQ PRIWEDEMTEOREMU O PO^LENNOM INTEGRIROWANII RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ RQDA.

2. pUSTX ( Rn) J-IZMERIMO I ZAMKNUTO, un : ! R NEPRERYWNY, I RQD un (x) SHODITSQ RAWNOMERNO NA . tOGDA

 

 

X

X

 

 

Z

(

1 un(x)) dx =

1

 

un(x) dx:

 

n=1

n=1 Z

 

pOLEZNO WYDELITX SLU^AJ, KOGDA FUNKCII ZADANY NA OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ.

229

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3. pUSTX un(t) (a t b) NEPRERYWNY I RQD n=1 un(t) SHODITSQ RAW-

NOMERNO NA [a; b]. tOGDA

 

 

P

 

Z

x

 

1

 

1

 

x

(1)

a

(

X

un (t))dt =

X Z

a

un(t)dt (a x b);

 

 

 

n=1

 

n=1

 

 

PRI^EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ RAWNOMERNO.

w SILU P. 2 W DOKAZATELXSTWE NUVDAETSQ LI[X RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX RQDA W PRAWOJ ^ASTI (1). tREBUEMOE SLEDUET IZ OCENKI

 

n+p

x

 

 

 

 

 

 

 

x n+p

 

 

 

 

 

 

 

 

n+p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jk=n+1 Za

uk(t) dtj Za

jk=n+1 uk (t)jdt (b , a)k k=n+1 ukk[a;b]:

 

>

 

pUSTX

uj : [a; b] !

R

 

 

GLADKIE FUNKCII

 

PRI^EM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

|

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

PRI NEKOTOROM

c (a c

b)

SHODITSQ ^ISLOWOJ RQD

 

 

1

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1 uj (c),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

(B)

RQD 1 u0 (x) SHODITSQ RAWNOMERNO NA

[a; b].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tOGDA RQD 1

uj(x)

SHODITSQ RAWNOMERNO NA

[a; b]

I

(

1

 

 

 

 

0

 

1

u0 (x).

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

uj (x)) =

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

j=1

pOLOVIM

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

'(x) = 1

 

u0

(x) (a

x

b); vj(x) = uj (x)

uj(c) (j

N):

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sOGLASNO P. 3

Z

 

x

'(t)dt =

 

1

(

 

xu0 (t) dt) =

1 vj(x), I RQD

 

1

vj (x) SHO-

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

P

Z

c

 

j

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

DITSQ RAWNOMERNO.

pO\TOMU

 

RAWNOMERNO

SHODITSQ

 

RQD

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1 uj (x) =

1 [vj (x) + uj (c)]. pRI \TOM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

Z

x

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 1 uj

(x)]0

= [

1 vj (x)]0 = [ '(t)dt]0

= '(x) =

 

1 u0

(x):

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

230