А.Н.Шерстнев - Математический анализ

3. pUSTX f : ! R ( Rn ) DIFFERENCIRUEMA W I x 2

; h 2 Rn

TAKOWY, ^TO fx + thj 0 t 1g . tOGDA SU]ESTWUET t0

2 (0; 1)

TAKOE, ^TO

( )

f (x + h) , f (x) = f0(x + t0h)(h):

dOSTATO^NO PRIMENITX OBY^NU@ FORMULU lAGRANVA K SKALQRNOJ FUNK-

CII '(t) = f (x + th) (t 2 [0; 1]):

>

2

2

4. z A M E ^ A N I E. fORMULA (

) UVE NE IMEET MESTA DLQ OTO-

!

2

BRAVENIJ f : R

R .

dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM OTOBRAVENIE IZ

P. 77.6. pOLAGAQ W \TOM PRIMERE h = (0; 2 ) 2 R , IMEEM f0(th)(h) =

,

6

2

,

6

( 2 sin 2 t; 2 cos 2 t)

=

(t

[0; 1]). pO\TOMU

= f(h)

f( )

=

f0 (th)(h); 8t 2 [0; 1].

x83. dLINA PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ

1. pRIWEDEM• TEPERX WYWOD FORMULY 60.4. pUSTX : [a; b]

!

R3

|

GLADKAQ WEKTOR FUNKCIQ

, (t) = (x(t); y(t); z(t))(a t

b),

I

<

-

(a = t0

t1 < : : : < tn = b) |

RAZLOVENIE OTREZKA

[a; b].

dLINA

`j

GO ZWENA

j-

LOMANOJ, WPISANNOJ W KRIWU@, QWLQ@]U@SQ OBRAZOM WEKTOR-FUNKCII ,

RAWNA

`j = [(x(tj )

, x(tj,1 ))2 + (y(tj )

, y(tj,1))2 + (z(tj ) , z(tj,1))2]1=2

= k (tj ) , (tj,1)k:

(1)

`

X

`j

X

k 0( j )k(tj , tj,1):

j=1

j=1

b

(2)

Za k 0(t)k dt

` + 2"(b

, a):

iZ (1) I (2) IMEEM

Z

abk 0(t)k dt , 2"(b , a) `

n

X

k 0( j )k (tj , tj,1 ):

j=1

oTS@DA

` =

lim

`

SU]ESTWUET

PRI^EM

SM

. 74.4)

,

•

(

d( )!0

b

b

(3)

` = Za

k 0

(t)k dt = Za [x0(t)2 + y0(t)2 + z0 (t)2]1=2 dt:

OBLADAET W TO^KE t = x0j LOKALXNYM \KSTREMUMOM I DIFFERENCIRUEMA W

\TOJ TO^KE. pO\TOMU (SM. 39.2)

@f

(x ) =

d'j (xj ) = 0. tAK KAK \TO WERNO

@xj

0

dt

0

@x

@f

DLQ L@BOGO j = 1; n, TO f0(x

) =

@f

(x

); : : : ;

(x

) = 0:

>

1

n

0

0

@x

0

x85. dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII

1. t E O R E M A. pUSTX OTOBRAVENIE f :

! Rn ( Rn) NEPRE-

RYWNO DIFFERENCIRUEMO, PRI^•EM KASATELXNOE OTOBRAVENIE f0 (a) OBRA-

2

n

TIMO (a

FIKSIROWANO). tOGDA SU]ESTWU@T OTKRYTYE MNOVESTWA

U (a 2 U ) I V R TAKIE, ^TO f : U ! V | BIEKCIQ, A OBRATNOE

(K f ) OTOBRAVENIE g : V ! U NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO I

(1)

g0(y) = [f0(g(y))],1

(y 2 V ):

nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, S^ITAEM, ^TO a = f(a) = ; f0( ) = I | TOV-

DESTWENNOE OTOBRAVENIE. feSLI \TO NE TAK, TO MOVNO PEREJTI K NOWOMU

OTOBRAVENI@

~

1

ff(x + a) , f(a)g; x 2

~

f(x) = f0

(a),

fx , aj x 2 g;

f0 (x) OBRATIMO PRI L@BOM x 2 U. |TO SLEDUET IZ OCENKI kf0(x)(h)k

khk , k(f0 (x) , I)hk

1

2khk S U^ETOM•

73.2.

pOLOVIM V = f(U ). tAKIM OBRAZOM, f : U ! V

| S@R_EKCIQ PO PO-

STROENI@. iTAK, NEOBHODIMO USTANOWITX, ^TO (A) f : U ! V | IN_EKCIQ,

(B) V OTKRYTO, (W) IMEET MESTO FORMULA (1).

pROWERIM (A). pUSTX x; x + h 2 U PROIZWOLXNY. rASSMOTRIM WEKTOR-

FUNKCI@ F (t)

f (x +th),th (0

t 1). tOGDA (TAK KAK x +th

2 U (0

t 1)) IMEEM dF (t) = (f0(x + th) , I)(h)dt: oTS@DA S U^ETOM•

(2)

kf (x + h) , f (x) , hk

= kF1

(1) , F (0)k = kZ01

(f0(x + th) , I )(h)dtk

1

Z0 kf0(x + th) , Ikkhk dt 2khk:

pO\TOMU

1

(3)

kf(x + h) , f (x)k 2khk;

TO ESTX f : U ! V | IN_EKCIQ.

U. pOKAVEM, ^TO

(B). pUSTX x 2 U I r > 0

TAKOWO, ^TO Br[x]

B

1

r

(f (x))

V

(OTS@DA SLEDUET, RAZUMEETSQ, ^TO V OTKRYTO).

4

iTAK, PUSTX WEKTOR y 2 B

1

r(f (x)) PROIZWOLEN. pOKAVEM, ^TO SU]EST-

4

WUET x 2 Br(x) TAKOJ, ^TO f(x ) = y. |TO O^EWIDNO, ESLI y = f (x) (TOGDA

6

x

= x). pUSTX y = f (x). wWEDEM•

FUNKCI@

'(u) = ky , f(u)k2 (u 2 Br [x]):

w SILU 70.2 SU]ESTWUET TO^KA x

2

Br [x] TAKAQ, ^TO '(x ) =

inf

'(u).

u

2

Br[x]

nA SAMOM DELE

DEJSTWITELXNO

,

RAWENSTWO

kx , x k

WLE^ET

S U^•ETOM (3)

x 2 Br(x) (

= r

•

n

i

n

i

'0(x ) = ,2 i=1(yi , fi(x ))

@f

(x ); : : : ;,2 i=1(yi , fi (x ))

@f

(x )

@x1

@xn

P

1

1

P

2

y ,:f: : (x )

3

=

,

2

@fi

(x )

= 0:

@xj

n

n

(x )

6 y

,

f

7

4

i

5

nO MATRICA qKOBI f0(x ) =

@f

(x )

OBRATIMA (SM. ZAME^ANIE POSLE

@xj

FORMULY (2)), TAK ^TO y , f (x ) = , ^TO I TREBOWALOSX.

(W). pUSTX y 2 V PROIZWOLEN, y +k 2 V; x = g(y) I g(y +k),g(y) = h.

1

tOGDA k = f (x + h) , f (x). w SILU (3)

kkk 2khk, TAK ^TO k !

WLE^•ET h ! . oTS@DA SLEDUET NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ g. dALEE k =

f0 (x)h + o(h) (h

! ). pOSKOLXKU LINEJNOE OTOBRAVENIE f0(x) OBRATIMO,

IMEEM

g(y + k) , g(y) = f0 (x),1k + o(h) (h ! ):

nAKONEC, lim ko(h)k

= lim ko(h)k

khk = 0, OTKUDA

k!

kkk

k!

khk

kkk

g(y + k) , g(y) = f0 (g(y)),1k + o(k) (k ! ):

>

2. p R I M E R. oTOBRAVENIE f (x; y) = (ex cos y; ex siny)((x; y) 2 R2) NE-

PRERYWNO DIFFERENCIRUEMO, PRI^EM• KASATELXNOE OTOBRAVENIE (SM. 77.6)

OBRATIMO W KAVDOJ TO^KE (x; y)

2

R2 ,

TAK KAK det f0(x; y)

= e2x =

0:

6

KE

x

2

,

TO MOVNO

GOWORITX O PROIZWODNOM OTOBRAVENII

f0

: ! L(E; F ). w SWO@ O^EREDX, ESLI \TO OTOBRAVENIE DIFFERENCI-

RUEMO W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA , TO OPREDELENO WTOROE PROIZWODNOE

OTOBRAVENIE f00

(f0)0; f00

: ! L(E; L(E; F )). aNALOGI^NO WWODQTSQ

@2f

@

@f

@3f

@

@2f

! ;

! I T. P.

@xi@xj

@xi

@xj

@xi@xj@xk

@xi

@xj@xk

@2f

@2f

w ^ASTNOSTI,

i

i

OBOZNA^AETSQ ^EREZ

@xi

2

.

@x @x

3.

[nEZAWISIMOSTX

OT

PORQDKA

DIFFERENCIROWANIQ]. pUSTX

@kf

;

@kf

OPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI

@x

j1

jk

@x

i1

: : : @x

ik

: : : @x

; : : : ; ikg | NEKOTORAQ PERESTANOWKA INDEKSOW

x I NEPRERYWNY W x, A fi1

j1; : : : ; jk. tOGDA

@kf

(x) =

@kf

(x):

@xj1 : : : @xjk

@xi1 : : : @xik

oGRANI^IMSQ PRI DOKAZATELXSTWE SLU^AEM k = 2 DLQ FUNKCII DWUH

PEREMENNYH. iTAK, PUSTX

1f(u; v) = f(u + h; v) f(u; v);

h

, f(u; v):

2f(u; v) =

f(u; v + h)

h

,

tOGDA 1

( 2 f (u; v)) = 2 ( 1f (u; v)). s DRUGOJ STORONY,

h

h

h

h

h1 ( h2 f (u; v)) = h1

h

@f

(u; v + h)

@v

= h

@f

(u + h; v + h) ,

@f

(u; v + h)

@v2

@v

2

@ f

=

h

@u@v (u + 1h; v + h) (0 < ; 1

< 1):

K FUNKCII w

! f (u; w) f\TO WOZMOVNO, TAK KAK

@f

OPREDELENA I NE-

@v

PRERYWNA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI (u; v) , A TAKVE | K FUNKCII w

!

@f

@2f

g

@v

(w; v + h). tAK KAK

@u@v

NEPRERYWNA W TO^KE (u; v), IMEEM

n

@2f

d2f(x)

X

(x)dxidxj:

@xi@xj

i;j=1

GI^NO d3f(x)

n

@

3

f (x)

dxidxjdxk

P

I T. P.

i

j

k

@x @x @x

i;j;k=1

x87. fORMULA tEJLORA DLQ FUNKCIJ NESKOLXKIH

PEREMENNYH

1. pUSTX FUNKCIQ f :

! R (

Rn OTKRYTO) OBLADAET NEPRE-

RYWNYMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI DO PORQDKA s WKL@^ITELXNO. pUSTX

x0

I > 0 TAKOWO, ^TO B (x0 )

. tOGDA DLQ L@BOGO WEKTORA

x =2(x1; : : : ; xn ) 2 B (x0)

s,1

1

n

j1

j1

jk jk

@kf (x0 )

(1) f(x) =

X

k!

X

(x

, x0 ): : : (x

, x0 ) @xj1 : : : @xjk + Rs (x);

k=0

j1;:::;jk=1

Rs(x) =

1

n

(xj1

xj1 ) : : : (xjs

xjs )

@sf (x0 + (x , x0))

s! j1;:::;jXs=1

,

,

0

0

@xj1 : : : @xjs

(2) F(k)(t) =

n

(xj1

,

xj1 ) : : : (xjk

,

xjk )

@kf(x0 + t(x , x0))

:

j1;:::;jXk=1

0

0

@xj1 : : : @xjk

s,1

1

k

(k)

s

1

(s)

F (SM. 34.2): F (t) = k=0 k!t F

(0) + t

s!F

( t). oTS@DA f(x) = F (1) =

s,1

1

(k)

1

(s)P

k=0

k!

F

(0) +

s!

F

( ). s U^ETOM•

(2) POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU (1).

>

P

2. pRI SDELANNYH WY[E PREDPOLOVENIQH O FUNKCII f IMEET MESTO

FORMULA tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO:

s

1

n

j1

j1

jk

jk

@kf(x0)

(3)

f (x)

=

k=0 k! j1

;:::;jk=1(x

, x0 ) : : : (x

, x0 ) @xj1 : : : @xjk

P

P

+ o(kx

, x0ks) (x

! x0):

s

s

iZ NEPRERYWNOSTI ^ASTNYH PROIZWODNYH s-GO PORQDKA DLQ FUNKCII f

SLEDUET, ^TO "j1:::js

@ f (x0 + (x

,js

x0))

@ f (x0)

0

(x

x0 ).

@x

j1

, @x

j1

js

!

!

: : : @x

: : : @x

iZ FORMULY (1) IMEEM

s

1

n

j1

j1

jk

jk

@kf (x0 )

f

P

n

P

(x

, x0 ): : : (x

, x0 )@xj1 : : : @xjk

(x) , k=0 k! j1;:::;jk=1

1

j1;:::;js=1 "j1:::js (x)(x

j1

j1

js

js

= s!

, x0

): : : (x

, x0 )

1

maxP"j :::j (x)

n

xj

xj

s

P

s!

j1:::js j 1

s

,

0j#

j "j=1 j

x88. lOKALXNYJ \KSTREMUM FUNKCII

1. pUSTX ZADANA FUNKCIQ f : ! R ( Rn

| OTKRYTO), I NADO

OTYSKATX TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA \TOJ FUNKCII. dOPUSTIM, ^TO f

OBLADAET NEPRERYWNYMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI 2-GO PORQDKA. w SILU

84.2 TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA SLEDUET ISKATX SREDI TO^EK, W KOTORYH

WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE

GO PORQDKA OBRA]A@TSQ W NULX

.

pUSTX

x0 |

1-

ODNA IZ TAKIH TO^EK, TO ESTX

(1)

@f

(x0) = 0 (1 j n):

@xj

(2)

f (x) , f (x0 ) =

1 n

ajkhj hk + o(khk2 ) (x ! x0);

2

j;k=1

X

@2f (x0 )

j

j

j

1

n

GDE ajk =

@xj @xk ;

h

= x

, x0

(1 j n); h = (h

; : : : ; h

). iZ \TOGO

PREDSTAWLENIQ QSNO, ^TO POWEDENIE RAZNOSTI f(x) , f (x0) W OKRESTNOSTI

TO^KI x0 OPREDELQETSQ POWEDENIEM KWADRATI^NOJ FORMY

n

(3)

a(h) =

ajkhj hk:

p.2. fORMA (3) NA EDINI^NOJ SFERE S = fu 2 Rnj kuk = 1g NEPRERYWNA

I

,

SLEDOWATELXNO

,

DOSTIGAET MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ

SM

2)

( . 70.2): a(u0) =

min a

(u) > 0: wYBEREM >

0

TAK, ^TOBY

j

o( h

<

a(u0) (h

2

B ( )),

u

S

kh k2

j

4

2

GDE OSTATOK o(khk2) OPREDELEN• FORMULOJ (2).kwkSILU RAWENSTWA

(4)

f(x)

f (x0 ) =

x

x0

2

1a

x

, x0

+

o(kx , x0k2)

,

k

,

k

kx , x0k!

#

2

"2

kx , x0k2

6

IMEEM DLQ L@BOGO

x B (x0) (x = x0)