Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

sLEDOWATELXNO

, S ( N ; f ) ! Z, f (x) dx.

oTS@DA

lim S

(f ) =

lim [S

(f) +

f( )m( , )]

i n i

i:i

limS( N ; f) =

f (x) dx

( i

PROIZWOLXNY). tAKIM OBRAZOM, f INTEGRIRUEMA, I SPRAWED-

LIWO RAWENSTWO (1).

2. eSLI f; g : ! R OGRANI^ENY I INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMY

f g; f g; f; jfj, PRI^•EM

[f (x) g(x)] dx = Z f (x)dx Z g(x)dx,

f(x) dx = Z f(x)dx:

3. pUSTX f

: ! R OGRANI^ENA,

= 1 [ 2,

GDE 1 \ 2 = ; I

i (i = 1; 2)

J-IZMERIMY. tOGDA

(3)

Z f(x)dx = Z

f (x) dx + Z

f (x) dx

W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ ^ASTEJ RAWENSTWA (3), TO OPREDELENA I DRUGAQ, I ONI RAWNY.

s POMO]X@ P. 1 DOKAZATELXSTWA PP. 2, 3 SWODQTSQ K PRIMENENI@ TEOREMY lEBEGA (x121). pROWERIM INTEGRIRUEMOSTX PROIZWEDENIQ INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ. pUSTX f; g : , ! R | KAKIE-LIBO OGRANI^ENNYE PRODOLVENIQ FUNKCIJ f; g. ew eSILU P. 1 f; g~ INTEGRIRUEMY I PO TEOREME lEBEGA ONI NEPRERYWNY P.W. sLEDOWATELXNOe , P.W. NEPRERYWNA FUNKCIQ f g, QWLQ@]AQSQ OGRANI^ENNYM PRODOLVENIEM FUNKCII f g. pO TEOREME lEBEGAe e f g INTEGRIRUEMA, I W SILU P. 1, INTEGRIRUEMA f g: >

4. z eA Me E ^ A N I E. dLQ NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII f IZ SU]ESTWO-

WANIQ PRAWOJ ^ASTI (3) NE SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX f PO MNOVESTWU . dEJSTWITELXNO, POLOVIM (rIS. 21)

		0;			ESLI x 2 00,
= 0	[ 00	; f(x) = (	1	;	ESLI x = (x1; 0) 2 0nf g.
			x1

191

tOGDA Z0	f(x) dx = Z00	f(x)dx = 0, NO Z f(x)dx NE SU]ESTWUET, IBO INTEG-

RALXNAQ SUMMA S FUNKCII f MOVET BYTX WYBRANA SKOLX UGODNO BOLX[OJ:

POLOVIM, NAPRIMER, DLQ RAZLOVENIQ NA rIS. 22 x1

m( 1 )

; 0

GDE

NAPERED ZADANNOE ^ISLO

tOGDA

N > 0 |

S f(x1)m( 1) = N: >

•

5. pUSTX f; g; ' :

! R OGRANI^ENY I INTEGRIRUEMY, PRI^•EM f (x)

g(x); '(x) 0 DLQ WSEH x 2 . tOGDA

Z f(x)'(x)dx Z

g(x)'(x)dx:

w ^ASTNOSTI,

Z f (x) dx

Z jf (x)j dx

kfk m( );

x2 j

GDE

sup f (x) .

6. t E O R E M A [O SREDNEM]. pUSTX f; ' :

! R OGRANI^ENY I

INTEGRIRUEMY, PRI^•EM '(x) 0. tOGDA

f (x)'(x) dx = Z

'(x) dx;

GDE \| PODHODQ]EE ^ISLO IZ OTREZKA [inf f (x); sup f(x)]. w ^ASTNOSTI,
	x2	x2
ESLI ZAMKNUTO I LINEJNO SWQZNO, A f NEPRERYWNA, TO SU]ESTWUET
x0 2 TAKOE, ^TO
Z	f(x)'(x) dx = f (x0)Z	'(x) dx:

dOKAZATELXSTWO P. 5{6 PODOBNO SLU^A@ INTEGRALA PO OTREZKU. w ^ASTNOM UTWERVDENII P. 6 U^TITE 70.4 (!!). >

x123. sWQZX KRATNOGO INTEGRALA S POWTORNYM

tEPERX MY IZLOVIM PROCEDURU, ^ASTO POZWOLQ@]U@ \FFEKTIWNO WY- ^ISLQTX KRATNYJ INTEGRAL PUTEM• POWTORNOGO PRIMENENIQ FORMULY nX@TONA- lEJBNICA.

192

1. pUSTX = [a; b] [c; d] | NEWYROVDENNYJ PRQMOUGOLXNIK (W R2 ) I

f : ! R INTEGRIRUEMA. tOGDA

Z Z f (x; y) dxdy = Za

0Zc

f (x; y)dy1 dx = Zc

0Za

f(x; y) dx1 dy:

pRIWEDENNOE•

RAWENSTWO TREBUET RAZ_QSNENIQ: IZ INTEGRIRUEMOSTI f NA

MNOVESTWE NE SLEDUET, NAPRIMER, SU]ESTWOWANIQ INTEGRALA Zc

f (x; y) dy

PRI L@BOM x 2 [a; b]. pOLOVIM DLQ OPREDEL•ENNOSTI

(x) = Zcd f (x; y)dy D (f(x; )); a x b;

GDE D

(f (x; )) | NIVNIJ INTEGRAL dARBU FUNKCII y

! f (x; y); y 2 [c; d].

|TA WELI^INA OPREDELENA, TAK KAK f OGRANI^ENA W SILU NEWYROVDENNOSTI

(SM.

118). mOVNO S^ITATX, ^TO (x) | PROIZWOLXNAQ TO^KA IZ OTREZ-

KA [D (f(x; )); D (f (x; ))]. iTAK, TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO Za (x)dx =

Z Z f (x; y)dxdy. rAZOBXEM•

KAVDYJ IZ OTREZKOW [a; b];

[c; d] NA N RAWNYH

^ASTEJ:

x(a = x0 < x1 < : : : < xN = b); y (c = y0 < y1 < : : : < yN = d):

pUSTX hN =

b , a

; kN =

d , c

. tOGDA

S ( N ) = hN kN

i;j=1

Mij;

S ( N ) = hN kN

i;j=1

mij;

GDE N | SOOTWETSTWU@]EE RAZLOVENIE I, NAPR.,

mij = infff (x; y)j (x; y) 2 [xi,1; xi] [yj,1; yj]g:

pUSTX i 2 [xi,1; xi ] | PROIZWOLXNYE TO^KI. tOGDA

( i ) D (f ( i; )) kN

sup f ( i; y))

kN Mij :

j=1 y

[yj,1;yj ]

j=1

193

aNALOGI^NO, ( i) kN j=1 mij . sLEDOWATELXNO,

S ( N ; f) = hN

(kN

mij )

( i)

S ( N ; f):

i=1

j=1

i=1

pEREHODQ K PREDELU PRI N ! 1, POLU^IM

(1)

lim N ( i )hN =

Z Z

f(x; y) dxdy (PRI L@BOM WYBORE TO^EK i

N i=1

[xi,1; xi]),P

(2)

(x) INTEGRIRUEMA, IBO

S ( x; ) S ( x; )

i=1

[ sup

(x)

[x inf;x ] (x)]

[xi,1;xi]

hN kN i;j[Mij , mij] ! 0

(N ! 1):

Zab (x) dx = Z Z f(x; y) dxdy.

(3)

2. z A M E ^ A N I E. iZ DOKAZATELXSTWA P. 1 WIDNO, ^TO y MOVNO S^ITATX

WEKTOROM, TAK ^TO ESLI f :

INTEGRIRUEMA, =

(x1

; : : : ; xn)

ai xi bi (i = 1; n)g, TO

Z Z

: : : f(x1; : : : ; xn)dx1 : : : dxn =

: : :

f (x1; : : : ; xn)dx2 : : : dxn1 dx1;

GDE 0 = [a2; b2] : : : [an; bn ]. tAKIM OBRAZOM, DLQ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII

f : ! R IMEET MESTO FORMULA

Z : : :Z f(x1; : : : ; xn )dx1: : : dxn

= Za1 dx1Za2 dx2: : : Zan f (x1; : : : ; xn )dxn:

3. [oB]IJ SLU^AJ]. pUSTX | J-IZMERIMO W PROSTRANSTWE Rn PERE-

MENNYH x1; : : : ; xn; 1 | PROEKCIQ NA OSX Ox1 I f :

R OGRANI^ENA

I INTEGRIRUEMA. pUSTX J-IZMERIMY MNOVESTWA (x1 )

(x2; : : : ; xn )

Rn,1j (x1; : : : ; xn ) 2 g (W Rn,1 ) I 1 (W R1). tOGDA

Z : : :Z f(x1; : : : ; xn )dx1: : : dxn = Z dx1

f (x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn:

)

194

pOMESTIM W PARALLELEPIPED

Rn; = [a; b]

0, GDE 0 |

PARALLELEPIPED W PROSTRANSTWE R ,

PEREMENNYH x ; : : : ; x . pOLOVIM

f (x);

ESLI x

(x) =

ESLI x 2

. tOGDA S U^•ETOM P. 2 (SM. WY[E) IMEEM

Z f (x)dx = Z

f(x) dx = Za dx1Z0

f (x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn

e 2

f (x ; : : : ; x ) dx : : : dx

dx1Z0

f (x1; : : : ; xn )dx2 : : : dxn

[a;b]n 1

dx1

f(ex1; : : : ; xn )dx2 : : : dxn

)

dx1

Z 1

)

f (x1; : : : ; xn)dx2 : : : dxn

n (x

dx1

f(xe1; : : : ; xn )dx2 : : : dxn

)

(TAK KAK

dx1Z0 f

(x1

; : : : ; xn) dx2 : : : dxn =

[a;b]n 1

= Z dx1

0 Z 1

f (x1; : : : ; xn) dx2 : : : dxn = 0 ).

n (x )

4. z A M E ^ A N I E. iZMERIMOSTX PO vORDANU MNOVESTW 1 I (x1 )

NE SLEDUET IZ J -IZMERIMOSTI (SM. 116.9).

5. p R I M E R. wY^ISLIM J = Z Z Z z dxdydz, GDE

= f(x; y; z)j z 0; x2 + y2 + z2 1g:

iMEEM J = Z

1 dxZ Z

z dydz, GDE (x) = f(y; z)j z 0; y2 + z2 1 , x2g.

(x)

pO\TOMU

(1,x2,y2)1=2

1,x2

J =

Z,1dx1

Z,p

dyZ0

zdz = Z,1dxZ0

(1 , x2 , y2) dy

1,x2

2 3=2

3Z0

(1 , x

)

dx =

195

x124. zAMENA PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE

dANNU@ TEMU OBY^NO NE UDA•ETSQ IZLOVITX NA LEKCIQH SO WSEJ NEOB- HODIMOJ STROGOSTX@, PO\TOMU RQD MOMENTOW W POSLEDU@]EM IZLOVENII NOSIT \WRISTI^ESKIJ HARAKTER.

1. iZMENENIE MERY PRI PREOBRAZOWANII KOORDINAT. dLQ PROSTOTY IZLOVENIQ OGRANI^IMSQ PLOSKIM SLU^AEM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK (u; v) ZADANA J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ LINEJNO SWQZNAQ OBLASTX . pUSTX

ZADANO BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMEN- NYH (x; y) W DRUGOM \KZEMPLQRE R2 : (u; v) = (x(u; v); y(u; v)); (u; v) 2 . bUDEM S^ITATX, ^TO | GLADKOE OTOBRAVENIE, TO ESTX NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO I 0 (u; v) DOPUSKAET NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA ,. pUSTX DALEE

J(u; v) = det 0(u; v) =

= 0;

(u; v)

kAK NAJTI VORDANOWU MERU MNOVESTWA 0

? rASSMOTRIM MALYJ PRQMO-

UGOLXNIK S WER[INAMI

P1 = (u; v); P2 = (u + du; v); P3 = (u + du; v + dv); P4 = (u; v + dv): pOSLE PREOBRAZOWANIQ WER[INY PREOBRAZU@TSQ SOOTWETSTWENNO W

TO^KI
P10	=	(x(u; v); y(u; v)); P20 = (x(u + du; v); y(u + du; v));
P30	=	(x(u + du; v + dv); y(u + du; v + dv));
P40	= (x(u; v + dv); y(u; v + dv)):

zAMENIM MNOVESTWO ( ) NA PARALLELOGRAMM 0 S WER[INAMI W TO^KAH

(x; y); (x + @x@udu; y + @u@y du);

(x + @x@udu + @x@v dv; y + @u@y du + @y@vdv); (x + @x@v dv; y + @y@vdv);

KOORDINATY KOTORYH OTLI^A@TSQ OT KOORDINAT SOOTWETSTWENNO TO^EK P10; P20; P30; P40 NA WELI^INY WYS[EGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ SO

196

! Rn OBLA-

SME]ENIQMI du; dv. pLO]ADX PARALLELOGRAMMA 0

		@x		du	@x		dv

m( 0) = j		@u			@v			j = jJ (u; v)jdudv
		@y	du			@y	dv

	@u					@v

(TO^KI ISHODNOGO PRQMOUGOLXNIKA MOVNO ZANUMEROWATX TAK, ^TOBY

du; dv > 0). rAZBIWAQ TEPERX ISHODNU@ OBLASTX SETKAMI MALYH PRQ-

MOUGOLXNIKOW TAK, ^TOBY j j ! 0, IMEEM

m( 0) =

lim

m( ( i)) =

lim

m( 0 )

j j!0

Z Z j

lim

J(ui; vi) m( i) =

J (u; v) dudv:

2. t E O R E M A [O ZAMENE PEREMENNYH]. pUSTX ( Rn ) | J-IZMERIMAQ OTKRYTAQ LINEJNO SWQZNAQ OBLASTX I OTOBRAVENIE : ,

DAET SWOJSTWAMI:

(1) BIEKTIWNO OTOBRAVAET NA OBLASTX 0 ( Rn ) (BIEKTIWNOSTX MOVET NARU[ATXSQ NA GRANICE ).

J (x) = det 0

(2) GLADKOE OTOBRAVENIE,

(x) = 0 (x

pUSTX f : 0 ! R INTEGRIRUEMA. tOGDA

( )

Z 0 f (y)dy = Z f ( (x))jJ (x)j dx:

(fORMULA ( ) UTWERVDAET, W ^ASTNOSTI, SU]ESTWOWANIE INTEGRALA W

PRAWOJ ^ASTI ( )).

rAZOBXEM

KUBI^ESKOJ SETKOJ NA ^ASTI

1; : : : ; s

\TO LINEJNO SWQZNYE

•

(

MNOVESTWA). mNOVESTWA 0

) OBRAZU@T RAZLOVENIE 0

= ( i ) (i

1; s

m( 0 ) =

MNOVESTWA

s U^ETOM P

. 1

122.6

NAJDUTSQ

i ,

^TO

•

Z jJ (x)j dx = jJ(xi)jm( i). pOLOVIM TEPERX yi = (xi ). tOGDA

f (y)dy

lim

(yi )m( 0i) = lim

( (xi )) J (xi) m( i)

j 0j!0

j j!0

Z f( (x))jJ (x)j dx:

197

3. p R I M E R. pUSTX | J -IZMERIMOE OTKRYTOE LINEJNO SWQZNOE MNOVESTWO W PLOSKOSTI R2 S POLQRNYMI KOORDINATAMI (r; ') : f(r; ')j r > 0; 0 < ' < 2 g. pUSTX PREOBRAZOWANIE x = r cos '; y = r sin ' OPREDELQET BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE NA OBLASTX 0 W PLOSKOSTI S

DEKARTOWYMI KOORDINATAMI.					tOGDA
		J (r; ') =	cos'		,r sin'	= r > 0;		(r; ')	2	:
			sin '		r cos '				2
pO\TOMU Z 0Z		f(x; y) dxdy = Z Z f(r cos'; r sin ')r drd'. zDESX MOVNO ZAME-

NITX I 0		SOOTWETSTWENNO NA , I 0, (SM. 122.1).
x125. pLO]ADX POWERHNOSTI
pUSTX POWERHNOSTX S W R3 OPISYWAETSQ URAWNENIEM
			z = f (x; y); (x; y) 2 ,;
GDE \| J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ OBLASTX, A FUNKCIQ f \| GLADKAQ NA ,.
pUSTX	( 1; : : : ; n ) \|			RAZLOVENIE		I	(xi; yi )	2 i	\|	PROIZWOLXNYE
	( 1; : : : ; n ) \|						(xi; yi )	2 i	\|

TO^KI. cILINDR S OSNOWANIEM i I OBRAZU@]IMI PARALLELXNYMI OSI Oz WYREVET NA POWERHNOSTI S ^ASTX Si: PUSTX Li | ^ASTX KASATELXNOJ PLOSKOSTI K POWERHNOSTI W TO^KE (xi; yi; f (xi; yi )), LEVA]AQ WNUTRI \TOGO CILINDRA. pO OPREDELENI@ PLO]ADX POWERHNOSTI S RAWNA PREDELU (ESLI ON SU]ESTWUET)

lim

m(Li);

GDE m(Li) | PLOSKAQ VORDANOWA MERA MNOVESTWA Li . kOSINUS OSTROGO

UGLA NORMALI

W TO^KE

(xi; yi; f(xi

; yi))

S OSX@

RAWEN

23,1=2

( . x79)

cos(ni; z) = 21 +

(xi; yi)

o^EWIDNO, i ESTX ORTOGONALXNAQ PROEKCIQ Li NA PLOSKOSTX XOY, I SLE-

DOWATELXNO m( i ) = m(Li) cos(ni; z). tAKIM OBRAZOM,

1=2

lim

1 +

(xi; yi )

(xi; yi)

m( i )

j j!0

1=2

Z Z "1 +

dxdy:

198

nesobstwennye integraly

x126. iNTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W ODNOM IZ KONCOW

dLQ MNOGIH PRILOVENIJ INTEGRALA rIMANA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I W Rn VELATELXNO IMETX PROCEDURU, POZWOLQ@]U@ INTEGRIROWATX PO NE- OGRANI^ENNYM OBLASTQM ILI PO OGRANI^ENNYM OBLASTQM INTEGRIROWATX NEOGRANI^ENNYE FUNKCII. zA S^ET• WWEDENIQ DOPOLNITELXNOGO PREDELXNO- GO PEREHODA MOVNO RAS[IRITX PONQTIE INTEGRALA rIMANA NA UKAZANNYE SITUACII. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ ^ISLOWOJ PRQMOJ.

1. pUSTX a 2 R; b 2 R[ f+1g, I FUNKCIQ f : [a; b) ! R INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA KAVDOM OTREZKE WIDA [a; x](a < x < b). fORMALXNYJ SIMWOL

	b
(1)	Za	f (t)dt

NAZYWAETSQ INTEGRALOM OT FUNKCII f S OSOBENNOSTX@ W PRAWOM KONCE

(TO^KE b), ESLI LIBO b = +1, LIBO b 2 RI f NE OGRANI^ENA NA PROMEVUTKE [a; b). iNTEGRAL (1) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SU]ESTWUET KONE^NYJ

PREDEL lim Z xf(t) dt; W \TOM SLU^AE SIMWOL (1) ISPOLXZUETSQ TAKVE DLQ

x!b, a

OBOZNA^ENIQ PREDELA

	b	x
(2):	Za	f(t) dt = lim	f(t) dt
	Za	x!b, Za

eSLI UKAZANNYJ PREDEL NE SU]ESTWUET, INTEGRAL (1) NAZYWAETSQ RASHODQ- ]IMSQ. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ INTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W LEWOM KON- CE.

z A M E ^ A N I Q. 2. iZ OPREDELENIQ P. 1 SLEDUET, ^TO INTEGRAL S OSO- BENNOSTX@ ZAWEDOMO NE SU]ESTWUET KAK INTEGRAL rIMANA. oDNAKO, ESLI b 2 R I f : [a; b) ! R INTEGRIRUEMA PO rIMANU, TO RAWENSTWO (2) SPRA- WEDLIWO (!!). pO\TOMU INOGDA UDOBNO GOWORITX OB INTEGRALE (1), DOPUSKAQ, ^TO LIBO ON OPREDELEN• KAK INTEGRAL rIMANA (EGO TOGDA NAZYWA@T SOB- STWENNYM INTEGRALOM), LIBO ON IMEET OSOBENNOSTX W TO^KE b (TOGDA EGO NAZYWA@T NESOBSTWENNYM).

199

3. iZ OPREDELENIQ INTEGRALA S OSOBENNOSTX@ W PRAWOM KONCE SLEDU-

ET, ^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ TTOGDA SHODITSQ INTEGRAL	Zcbf (t)dt PRI
NEKOTOROM c (a < c < b).

4. p R I M E R. iNTEGRAL Z0

( > 0) IMEET OSOBENNOSTX W 0;

lim

1 dx =

lim

"1, ] =

;

ESLI < 1,

"!0+ Z" x

"!0+ 1

( +,

;

ESLI > 1.

pRI = 1

lim ln " = +

. tAKIM OBRAZOM,

SHO-

lim

"!0+ Z"

"!0+

DITSQ PRI < 1 I RASHODITSQ PRI

x127. sWOJSTWA INTEGRALA S OSOBENNOSTX@

sLEDU@]EE SWOJSTWO WYTEKAET NEPOSREDSTWENNO IZ 126.1:

1. eSLI INTEGRALY

f (t) dt;

g(t) dt S OSOBENNOSTX@ W TO^KE b

SHODQTSQ, TO DLQ L@BYH ; 2 R SHODITSQ Za

[ f (t) + g(t)] dt, PRI^•EM

Za [ f(t) + g(t)] dt = Za

f (t)dt + Za

f (t)dt:

oTMETIM, ^TO INTEGRAL W LEWOJ ^ASTI NAPISANNOGO RAWENSTWA MOVET OKAZATXSQ DAVE SOBSTWENNYM.

				b		b
	2. z A M E ^ A N I E. iZ SHODIMOSTI INTEGRALOW Za				f (t)dt;b Za g(t)dt
S OSOBENNOSTX@ W TO^KE b NE SLEDUET SHODIMOSTX INTEGRALA						Za f (t)g(t)dt.
f	nAPRIMER, POLOVIM f (t) = g(t) = t,1=2 (0 < t					g
	nAPRIMER, POLOVIM f (t) = g(t) = t,1=2 (0 < t			1) I U^TEM•		126.4.
		b	y
		Za	y
	3. [kRITERIJ kO[I]. iNTEGRAL		f(t) dt S OSOBENNOSTX@ W b SHODIT-

SQ TTOGDA 8" > 0 9c < b 8x; y 2 (c; b) (jZx f(t)dtj < ").
pOLOVIM F (z) = Zazf (t)dt (a z < b). sOGLASNO 126.1 NA[ INTEGRAL
SHODITSQ TTOGDA SU]ESTWUET lim F (z). pO KRITERI@ kO[I 19.4	lim F (z)
z!b,	z!b,

200

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx