Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

OPREDELQET NORMU W X= . oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIE k k OPREDELENO KORREKTNO, TO ESTX k (x)k NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ x IZ(x). dEJSTWITELXNO, PUSTX z | E]E• ODIN \LEMENT MNOVESTWA (x). tOGDA kx , zk = 0 I SLEDOWATELXNO,

kxk	= kx , z + zk kx , zk + kzk = kzk;
kzk	= kz , x + xk kz , xk + kxk = kxk:

oTOBRAVENIE k k UDOWLETWORQET TREBOWANI@ 148.1 (I): k (x)k = 0 ) kxk = 0 ) (x) = ( ):

sWOJSTWA (II) I (III) TAKVE, O^EWIDNO, WYPOLNQ@TSQ.

2. pROILL@STRIRUEM IZLOVENNU@ SHEMU NA HARAKTERNOM PRIMERE. pUSTX | NEWYROVDENNYJ J-IZMERIMYJ KOMPAKT W Rn. eSTESTWENNO RAS- PROSTRANITX NORMU k k1 (SM. 149.5) S PROSTRANSTWA C ( ) NA WEKTORNOE PROSTRANSTWO FUNKCIJ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH PO rIMANU, WOZMOVNO, W NESOBSTWENNOM SMYSLE. oDNAKO NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FUNK- CIQ k k1 UVE NE QWLQETSQ NORMOJ. pRIMENQQ PROCEDURU FAKTORIZACII, MY PRIDEM• K NORMIROWANNOMU PROSTRANSTWU (BUDEM OBOZNA^ATX EGO R1( )), \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ KLASSY FUNKCIJ, ABSOL@TNO INTEGRIRU- EMYH PO rIMANU. pRI \TOM ESLI DWE FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU

KLASSU	,	TO	Z jf(x),g(x)j dx = 0.			w ^ASTNOSTI		,	NULEM PROSTRANSTWA	R1( )
	,		Z jf(x),g(x)j dx = 0.					,	•	R1( )
							TAKIH, ^TO Z j (x)j dx = 0: dO-
QWLQETSQ KLASS WSEH FUNKCIJ : ! C							TAKIH, ^TO Z j (x)j dx = 0: dO-
										R1( )
PUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GOWORITX OB \LEMENTAH PROSTRANSTWA										R1( )
KAK O FUNKCIQH, POMNQ, ^TO NA DELE MY OPERIRUEM S PREDSTAWITELQMI
KLASSOW FUNKCIJ.
3. bOLEE OB]IM OBRAZOM, PUSTX \| LOKALXNO J -IZMERIMOE PODMNO-
VESTWO		Rn I		R1 ( ) \|	NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO FUNKCIJ TO^NEE						,
				R1 ( ) \|					(		,

KLASSOW FUNKCIJ), ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH PO rIMANU, WOZMOVNO W NE- SOBSTWENNOM SMYSLE, S NORMOJ kfk1 Z jf (x)j dx.

4. u P R A V N E N I E. pUSTX | LOKALXNO J-IZMERIMOE PODMNOVESTWO Rn I FUNKCIQ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA NA . tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ

\KWIWALENTNY: (i) (x) = 0 P.W., (ii) Z j (x)j dx = 0.

241

x151. tEOREMA O PLOTNOSTI

mY DOKAVEM WAVNU@ W TEHNI^ESKOM OTNO[ENII TEOREMU, POKAZYWA@-

]U@, ^TO PRI RAS[IRENII ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ NORMY k k1

S PROSTRANSTWA

C( )

R1 ( )

ISHODNOE PROSTRANSTWO OSTAETSQ PLOTNYM

W R1 ( ).

•

Rn )

pUSTX

(

LOKALXNO

J -IZMERIMO. nOSITELEM

FUNKCII

! C (OBOZNA^AETSQ supp(f)) NAZOW•EM ZAMYKANIE W

MNOVESTWA

f (x) = 0 .

C00( )

PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH

FUNKCIJ

oBOZNA^IM

^EREZ

C( ), NOSITELI KOTORYH KOMPAKTNY I LEVAT W (WNUTRENNOSTI

). qSNO, ^TO C00( ) C0( ), GDE C0 ( ) OPREDELENO W 149.7. pRIWLEKAQ

TOPOLOGI^ESKOE PONQTIE PLOTNOSTI (95.5), PRIWEDEM• OBE]ANNU@ TEOREMU.

2. pROSTRANSTWO C00( ) PLOTNO W R1( ) PO NORME k k1.

pRIWEDEM• DOKAZATELXSTWO W GEOMETRI^ESKI NAGLQDNOM ^ASTNOM SLU^AE

= 1; = R, INTEGRAL

Z,1+1jf (x)j dx IMEET OSOBENNOSTI LI[X W TO^KAH

(DOKAZATELXSTWO OB]EGO SLU^AQ, PO SRAWNENI@ S RAZBIRAEMYM, NE WY-

ZYWAET ZATRUDNENIJ). iTAK, MY DOLVNY DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 SUMETX

PODOBRATX FUNKCI@ ' 2 C00 ( ) TAK, ^TOBY

Z,1+1jf(x) , '(x)j dx < ".

sNA^ALA WYBEREM N > 0 TAK, ^TOBY Z

jf(x)jdx < "=3 (\TO WOZMOVNO

jxj N

W SILU SHODIMOSTI INTEGRALA

Z,1+1jf (x)j dx). pOLOVIM g

[,N;N]

f ,

GDE [,N;N]

| HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OTREZKA [

N; N ] (SM. 1.10).

fUNKCIQ g INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA OTREZKE [,N; N ] I, SLEDOWATELXNO,

SU]ESTWUET RAZLOVENIE

(,N = x0 < x1 < : : : < xn = N )

TAKOE

^TO

g(x)dx

mi (xi

1 ) < "=3; mi =

inf

g(x):

jZ,N

, Xi=1

xi,1 x xi

pOLOVIM h =

mi [x

] I ZAMETIM (rIS. 23), ^TO SU]ESTWUET '

iP=1

i,1

C00( ) SO SWOJSTWOM Z,N j'(x), h(x)j dx < "=3; supp(') [,N; N]. fUNK-

242

CIQ ' ISKOMAQ:

1jf (x)

'(x)j dx = Z ,

+ Z

N + ZN

jf (x)j dx + Z,N jf(x) , '(x)j dx

jxj N

3 + Z,N jg(x) , h(x)j dx + Z,N j'(x) , h(x)j dx < ":

x152. uNITARNYE PROSTRANSTWA

1. nA WEKTORNYE PROSTRANSTWA PERENOSITSQ PONQTIE SKALQRNOGO PRO- IZWEDENIQ W C n. nAPOMNIM (SM. 62.5), ^TO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM WEK-

TOROW u = (u1; : : : ; un); v = (v1; : : : ; vn) IZ C n NAZYWAETSQ ^ISLO							h	u; v	i
n
n
	uivi . oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA \TOGO SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ:
i=1
P		hu; vi \| LINEJNAQ FORMA PO u I ANTILINEJNAQ PO v, TO ESTX
(I)		hu; vi \| LINEJNAQ FORMA PO u I ANTILINEJNAQ PO v, TO ESTX
			h 1u1 + 2u2; vi =	1hu1; vi +	2hu2; vi;
			hu; 1v1 + 2v2i =	1hu; v1i +	2hu; v2i	( i 2 C );

(II) hu; vi = hv; ui;

(III) hu; ui 0,

(IV) hu; ui = 0 ) u = .

uKAZANNYE SWOJSTWA BERUTSQ W KA^ESTWE POSTULATOW SKALQRNOGO PROIZWE- DENIQ W OB]EM SLU^AE.

2. wEKTORNOE PROSTRANSTWO E NAD POLEM (= C ILI R) NAZYWAETSQ UNI- TARNYM PROSTRANSTWOM, ESLI OPREDELENO OTOBRAVENIE h ; i : E E !, SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOJ PARE fu; vg 2 E E SKALQR hu; vi 2 , PRI^EM• UDOWLETWORQ@TSQ TREBOWANIQ (I)-(IV). w \TOM SLU^AE \TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM W E . eSLI = R, UNITARNOE PRO- STRANSTWO NAZYWAETSQ WE]ESTWENNYM.

243

(u 2 E):

3. wSQKOE UNITARNOE PROSTRANSTWO E QWLQETSQ NORMIROWANNYM OT- NOSITELXNO NORMY, INDUCIROWANNOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:

( ) kuk qhu; ui

~TOBY DOKAZATX \TO UTWERVDENIE, USTANOWIM SNA^ALA NERAWENSTWO kO[I- bUNQKOWSKOGO DLQ UNITARNOGO PROSTRANSTWA:

4.jhu; vij kuk kvk.

pUSTX hu; vi 6= 0 (INA^E UTWERVDENIE O^EWIDNO). tOGDA PRI 2 R S ISPOLXZOWANIEM SWOJSTWA (I) IMEEM

hv; ui

u + v

2 = 2

+ 2 u; v

kjhu; vij

iZ NEOTRICATELXNOSTI TREH^LENA PEREMENNOJ W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NE-

RAWENSTWA SLEDUET,^TO DISKRIMINANT TREH^LENA NEPOLOVITELEN:

u; v

kuk2kvk2 0, ^TO I TREBOWALOSX.

5. z A M E ^ A N I E. pRI DOKAZATELXSTWE P. 4 SWOJSTWO (IV) NE ISPOLX- ZOWALOSX.

6. dOKAZATELXSTWO P. 3. w PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SWOJSTWO 148.1 (III). s U^•ETOM P. 4 IMEEM

ku + vk	2		2
ku + vk		=	kuk2
			kuk
		=	(kuk

+hu; vi + hv; ui + kvk2 = kuk2 + 2Rehu; vi + kvk2

+2jhu;2vij + kvk2 kuk2 + 2kukkvk + kvk2

+kvk) :

7.z A M E ^ A N I E. eSLI FORMA hu; vi OBLADAET SWOJSTWAMI (I) | (III), TO RAWENSTWO ( ) OPREDELQET POLUNORMU W E.

8.w DALXNEJ[EM, GOWORQ O TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTWAH UNITARNOGO PRO-

STRANSTWA, MY WSEGDA IMEEM W WIDU, ^TO RE^X IDET• O TOPOLOGII, OPREDE-

LQEMOJ NORMOJ ( ). oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ^TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ SWOIH PEREMENNYH: ESLI un ! u; vn ! v,

TO hun; vni ! hu; vi.

tAK KAK un ! u, SU]ESTWUET KONSTANTA C > 0 TAKAQ, ^TO kunk C (n 2 N). sLEDOWATELXNO, S U^ETOM• P. 4 IMEEM

jhu; vi , hun; vnij	= jhu; vi , hun; vi + hun; vi , hun ; vnij
		jhu , un; vij + jhun; v , vnij

		kun , uk kvk + kunk kv , vnk ! 0 (n ! 1):	>

244

u P R A V N E N I Q. 9. pUSTX Rn | NEWYROVDENNYJ J -IZMERIMYJ KOMPAKT. rAWENSTWO hf; gi Z f (x)g(x)dx (f; g 2 C ( )) OPREDELQET SKA-

LQRNOE PROIZWEDENIE W C( ).

10.pOKAZATX, ^TO W UNITARNOM PROSTRANSTWE

(i)DLQ POPARNO ORTOGONALXNYH WEKTOROW f1; : : : ; fn :

k	X	fik	2	=	X	kfik	2	TEOREMA pIFAGORA	),
	i=1				i=1			(

(ii) [RAWENSTWO PARALLELOGRAMMA] DLQ L@BYH WEKTOROW f; g:

kf + gk2 + kf , gk2 = 2(kfk2 + kgk2 );

(iii)W NERAWENSTWE P. 4 IMEET MESTO RAWENSTWO TTOGDA u I v LINEJNO ZAWISIMY,

(iv)RAWENSTWO ku + vk = kuk + kvk WYPOLNQETSQ TTOGDA u = v; 0 (ESLI v 6= ).

x153. pROSTRANSTWO R2 ( )

1. pUSTX ( Rn ) | LOKALXNO J-IZMERIMO. rASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ f : ! C , OBLADA@]IH SWOJSTWOM: INTEGRAL Z f (x) dx

IMEET NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA OSOBENNOSTEJ, A INTEGRAL Z jf (x)j2 dx SHO-

DITSQ KAK NESOBSTWENNYJ INTEGRAL rIMANA. iZ NERAWENSTWA jf (x)g(x)j 12[jf (x)j2 +jg(x)j2] SLEDUET, ^TO DLQ DWUH FUNKCIJ f I g IZ DANNOGO KLAS-

SA SHODITSQ INTEGRAL Z f(x)g(x)dx, I POTOMU \TOMU VE KLASSU FUNKCIJ

PRINADLEVIT f +g. tAKIM OBRAZOM, RASSMATRIWAEMYJ KLASS FUNKCIJ QW- LQETSQ WEKTORNYM PROSTRANSTWOM OTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ SLO- VENIQ FUNKCIJ I UMNOVENIQ IH NA SKALQR. rAWENSTWO

( ) hf; gi Z f (x)g(x) dx

245

OPREDELQET NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FORMU, OBLADA@]U@, O^E- WIDNO, SWOJSTWAMI (I) | (III), I W SILU 152.5 IMEET MESTO INTEGRALXNOE NERAWENSTWO kO[I-bUNQKOWSKOGO

f (x)

dx [Z jf(x)j2 dx]1=2[Z jg(x)j2 dx]1=2,

g(x)

A TAKVE INTEGRALXNOE NERAWENSTWO {WARCA (SM. 152.7)

3. [Z

[f(x) + g(x)]2 dx]1=2

jf (x)j2 dx]1=2 + [Z jg(x)j2dx]1=2.

4. fAKTORIZUQ (METODOM x150) NA[E WEKTORNOE PROSTRANSTWO PO PO-

LUNORME

kfk2 [Z

jf(x)j

1=2

PRIDEM K NORMIROWANNOMU PROSTRANST

dx]

•

R2( ), \LEMENTY KOTOROGO | KLASSY FUNKCIJ RASSMOTRENNOGO WY[E

WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. pRI^EM• FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU

KLASSU TTOGDA

Z jf(x) , g(x)j2dx = 0. dOPUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GO-

R2 ( ) | UNITARNOE

WORITX O KLASSAH FUNKCIJ KAK O FUNKCIQH. iTAK,

PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM ( ).

R2( )

z A M E ^ A N I E

eSLI

OGRANI^ENO I

IZMERIMO

J -

R1 ( ) f 2 R2 ( ), I DLQ f 2 R2( ) (SM. P. 2):

f(x) dx =

f(x)

(x) dx

[ f(x) 2 dx]1=2 m( )1=2 < +

Z j

dLQ PROSTRANSTWA

R2( ) TAKVE SPRAWEDLIWA TEOREMA O PLOTNOSTI,

ANALOGI^NAQ DOKAZANNOJ W x151.

6. pUSTX ( Rn ) LOKALXNO J-IZMERIMO. tOGDA PROSTRANSTWO C00( )

PLOTNO W R2( ) PO NORME k k2.

Z jf(x)j

pUSTX

f 2 R2 ( ),

I DLQ OPREDELENNOSTI INTEGRAL

IME

•

ET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE

1. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I

N > 0 TAKOWO,

^TO nBZN ( ) jf (x)j2 dx < "2=2: nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI,

MOVNO S^ITATX, ^TO N \ BN ( ) NEWYROVDENO. tAK KAK ZN jf (x)j2dx

246

OPREDELEN• KAK INTEGRAL rIMANA, SU]ESTWUET K = supx2 N jf (x)j. w SILU

P. 5 I 151.2 SU]ESTWUET ' 2 C00 ( N ) TAKAQ, ^TO ZN jf (x) , '(x)jdx < 4"K2 . pRI \TOM (S U^•ETOM SPOSOBA POSTROENIQ FUNKCII ' W 151.2) MOVNO S^I-

TATX, ^TO supx2 N j'(x)j K, TAK ^TO jf(x) , '(x)j 2K (x 2 N ).
pO\TOMU
Z jf (x) ,	'(x)j2dx 2K Z jf(x) , '(x)jdx <			"2
Z jf (x) ,	'(x)j2dx 2K Z jf(x) , '(x)jdx <			2 :
N	N
nAKONEC,
kf , 'k2 = [Z jf(x) , '(x)j2 dx]1=2

= [Z	jf(x) , '(x)j2 dx +	Z	jf(x)j2dx]1=2		":	>


N	nBN ( )

x154. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO. pROSTRANSTWO `2

1.uNITARNOE PROSTRANSTWO, POLNOE OTNOSITELXNO NORMY, INDUCIRO- WANNOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM, NAZYWAETSQ GILXBERTOWYM PROSTRAN- STWOM (ILI PROSTRANSTWOM gILXBERTA).

|TO O^ENX WAVNYJ DLQ ANALIZA KLASS PROSTRANSTW, DETALXNO IZU^A- EMYJ POZDNEE. zDESX MY TOLXKO W NEBOLX[OJ STEPENI KOSNEMSQ• SWOJSTW GILXBERTOWYH PROSTRANSTW.

2.p R I M E R [GILXBERTOWO PROSTRANSTWO `2]. |TO PROSTRANSTWO UVE WWODILOSX (SM. 92.8). nAPOMNIM, ^TO \LEMENTAMI \TOGO PROSTRANSTWA QW-

LQ@TSQ KOMPLEKSNYE POSLEDOWATELXNOSTI u = (u1; u2; : : :), DLQ KOTORYH

< +1. oTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ

i=1 ju j

u; v

1 uivi (u; v

NA SKALQR | \TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO, A FORMA

i iP=1

` )

OPREDELQET W `

SKALQRNOE PROIZWEDENIE. pOKAVEM, ^TO UNITARNOE

PROSTRANSTWO `2 QWLQETSQ POLNYM OTNOSITELXNO INDUCIROWANNOJ NORMY

= [ 1

2 ]1=2.

k k

i=1 j

247

	2		2
	pUSTX uk = (u1k; uk2; : : :) (k			N) \| FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELX-
NOSTX IZ ` , TO ESTX
(1)	kuk , usk2 =	1 juki , usi j2 ! 0 (k; s ! 1):
		X
		i=1

sLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO i ^ISLOWAQ POSLEDOWATELX-

NOSTX (ui )k2N FUNDAMENTALXNA I POTOMU SHODITSQ. pUSTX ui lim ui .

k k k

~TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO POLNOTY, NUVNO USTANOWITX:

(2)

u = (u1; u2; : : :) 2 `2;

(3)

kuk , uk ! 0 (k ! 1):

w SILU (1) DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET k0 TAKOE, ^TO

kuk+p , ukk <

" (k > k0; p 2 N), TO ESTX PRI L@BOM FIKSIROWANNOM N

i=1 juki +p ,uki j2

kuk+p , ukk2 < "2

. uSTREMLQQ p K 1, IMEEM i=1 jui , uki j2P "2

(k > k0 ).

iP=1 j

iZ PROIZWOLXNOSTI N TEPERX ZAKL@^AEM, ^TO 1

(k > k ),

TO ESTX u = (u

uk ) + uk

` , I (2) USTANOWLENO. oTS@DA VE DLQ L@BOGO

k > k0 ku , ukk

TAK ^TO

TAKVE IMEET MESTO

< " ,

(3)

. >

x155. oRTONORMIROWANNYE SISTEMY WEKTOROW

1. s POMO]X@ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ ESTESTWENNO WWODITSQ PONQ- TIE ORTOGONALXNOSTI: WEKTORY u; v W UNITARNOM PROSTRANSTWE E NAZYWA- @TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI hu; vi = 0. bOLEE OB]IM OBRAZOM, SISTEMA WEKTOROW (ej )j2J NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ, ESLI WEKTORY EE• POPARNO OR- TOGONALXNY. eSLI, KROME TOGO, kejk = 1 (j 2 J), TO SISTEMA NAZYWAETSQ

ORTONORMIROWANNOJ.

pUSTX (ej )j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PROSTRAN- STWE E I u 2 E PROIZWOLEN. ~ISLA hu; eji NAZYWA@TSQ KO\FFICIENTAMI fURXE WEKTORA u OTNOSITELXNO SISTEMY (ej )j2J . sLEDU@]EE SWOJSTWO PO- KAZYWAET, ^TO KO\FFICIENTY fURXE REALIZU@T NAILU^[EE PRIBLIVENIE \LEMENTA LINEJNYMI KOMBINACIQMI DANNOJ ORTONORMIROWANNOJ SISTE- MY.

248

kuk , j jhu; ejij ;

OTKUDA SLEDUET TREBUEMOE.

w USLOWIQH P. 2:

3. [nERAWENSTWO pARSEWALQ

2. pUSTX u

2 E I (ej)j2J

| ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA. tOGDA DLQ

L@BOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA J :

min

j ej

u; ej

= [ u

u; ej

]1=2:

k k

dLQ PROIZWOLXNYH j (j 2 ) IMEEM

jej

[ j

u; ej

+ j

u; ej

] +

, jP2

k k2

, jP2

2 h

jP2 j2

= kuk

+ j

j j

, hu; ejij

, j

jhu; ejij

jhu; ejij2 kuk2:

|TO NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE P. 2.

u P R A V N E N I Q. 4. wSQKAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA LINEJNO NEZAWISIMA.

5.w USLOWIQH P. 2 ^ISLA hu; eji 6= 0 NE BOLEE ^EM DLQ S^ETNOGO• SEMEJSTWA INDEKSOW j. fuKAZANIE: WOSPOLXZUJTESX NERAWENSTWOM pARSEWALQ.g

6.pUSTX (ej )j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PROSTRANSTWE E. kAVDOMU WEKTORU u 2 E SOPOSTAWIM RQD P hu; ejiej. bUDEMj2J

S^ITATX PO OPREDELENI@, ^TO W FORMALXNOJ SUMME j

Jhu; ejiej PRISUT-

i 6

STWU@T LI[X TE SLAGAEMYE

U KOTORYH

w SILU P

TAKIH

u; ej

= 0.

. 5

SLAGAEMYH NE BOLEE, ^EM S^ETNOE•

^ISLO, TAK ^TO DEJSTWITELXNO MY IMEEM

DELO S OBY^NYM RQDOM W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE. |TOT RQD NAZY-

WAETSQ RQDOM fURXE \LEMENTA u

PO SISTEME (ej )j

J . nAJDEM USLOWIQ, PRI

KOTORYH RQD fURXE \LEMENTA SHODITSQ K \TOMU \LEMENTU PO NORME. bUDEM

NAZYWATX PODMNOVESTWO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA E POLNYM,

ESLI

EGO LINEJNAQ OBOLO^KA PLOTNA W E.

7. pUSTX (ej )j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W UNITARNOM PROSTRANSTWE E. tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

249

(A) SISTEMA (ej)j2J POLNA W E;

(B) RQD fURXE PROIZWOLXNOGO \LEMENTA u 2 E SHODITSQ K u:

u = j

Jhu; ejiej ;

(W) hu; vi

= j

Jhu; ejihv eji DLQ L@BYH u; v 2 E;

kuk

= j

J jhu; ejij

DLQ L@BOGO

u 2

RAWENSTWO pARSEWALQ

( )

E [

(A)

) (B). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. pOKAVEM, ^TO NAJD•ETSQ KONE^NOE

PODMNOVESTWO J TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO KONE^NOGO 0

ku ,

\TO I ESTX SHODIMOSTX RQDA

Jhu; ejiej

u).

w SILU

0hu; ejiejk < " (

SU]ESTWUET KONE^NOE

(j 2

) TAKIE, ^TO

POLNOTY (ej)j2J

J I j

2 C

ku,j

j ejk < ".

tOGDA DLQ L@BOGO KONE^NOGO

S U^ETOM P

. 2

IMEEM

•

ku , P hu; ejiejk = minku , P jejk

j2 0 j j2 0

ku , P jejk < ":

minku , P j ejk

j j2

(B) ) (W). pERENUMERUEM NATURALXNYM INDEKSOM k (PROIZWOLXNYM

i 6

OBRAZOM) WSE INDEKSY j

J , DLQ KOTORYH

u; ej

= 0; LIBO

v; ej

= 0 (SM.

P. 5). tOGDA u = lim

kP=1h

u; ek

ek ;

= lim

kP=1h

v; ek

ek . iSPOLXZUQ 152.8,

IMEEM

u; v

lim n

u; ek

ek;

lim n

v; es

h n

k=1h

s=1h

s;k=1h

k=1h

lim

u; ek

v es

ek; es

= lim

u; ek

v; ek

k=1hu; ekihv; eki

= j Jhu; ejihv; eji:

oTMETIM, ^TO SUMMA W PRAWOJ ^ASTI NA SAMOM DELE NE ZAWISIT OT PO- RQDKA SLEDOWANIQ SLAGAEMYH, TAK ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (W) SHODITSQ ABSOL@TNO.

(W) ) (G). pOLOVIM W (W) v = u.

250

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx