Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5137 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

8. pUSTX 2 = f0; 1g (SM. 101.11). tOGDA MNOVESTWO W UPR. 191.9
PREDSTAWIMO W WIDE = 1 n ( 1	= 2 = : : : = 2), A POLUKOLXCO
Q
n=1
Z W PREDSTAWIMO W WIDE Z = 1 P(2). pRI \TOM MERA m (SM. 192.9)
n=1
OPREDELQETSQ FORMULOJ (4), W KOTOROJQ	m1 = m2 = : : : = m0, A m0 \| MERA
		1
NA P(2), ZADANNAQ RAWENSTWAMI m0; = 0; m0f0g = m0f1g = 2.

x214. tEOREMA fUBINI

eSTESTWENNO WYQSNITX, NE UPRO]A@TSQ LI ZADA^I MEROOPREDELENIQ I INTEGRIROWANIQ W SLU^AE, KOGDA ISHODNAQ MERA QWLQETSQ PROIZWEDENIEM NESKOLXKIH DRUGIH MER, OPERACII S KOTORYMI BOLEE PROSTY? kAK IZWESTNO, W SILU SWQZI KRATNOGO INTEGRALA rIMANA S POWTORNYM ZADA^A NAHOVDENIQ PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY SWODITSQ K ZADA^E INTEGRIROWANIQ NEKOTOROJ FUNKCII PO LINEJNOJ MERE (SM. x123). mY POLU^IM LEBEGOWSKIJ ANALOG UKAZANNOGO REZULXTATA.

1.bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO MERY ; OPREDELENY NA NEKOTORYH

-ALGEBRAH A1; A2 W MNOVESTWAH E1 I E2 SOOTWETSTWENNO; PUSTX DALEE

= . w DALXNEJ[EM L = L(A1 A2; ) | KLASS IZMERIMYH PO lEBEGU OTNOSITELXNO MERY MNOVESTW IZ E = E1 E2. wWEDEM• TAKVE OBOZNA^ENIQ DLQ SE^ENIJ MNOVESTW IZ E; DLQ A E:

A(x) = fy 2 E2 j (x; y) 2 Ag; A(y) = fx 2 E1 j (x; y) 2 Ag:

nA[EJ CELX@ QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO TEOREMY, SWQZYWA@]EJ INTEGRIROWANIE PO PROIZWEDENI@ MER S POWTORNYM INTEGRIROWANIEM PO MERAMSOMNOVITELQM.

2. t E O R E M A [g. fUBINI]. pUSTX W OBOZNA^ENIQH P. 1 FUNKCIQ f : E1 E2 ! R INTEGRIRUEMA OTNOSITELXNO . tOGDA

Z f d( ) = Z Z f d d = Z Z fd d :

w ^ASTNOSTI, TEOREMA UTWERVDAET,^TO INTEGRALY Z f d I Z f d OPRE-

DELENY KAK INTEGRIRUEMYE FUNKCII NA MNOVESTWAH E1 I E2 SOOTWETSTWENNO.

361

3. l E M M A. pUSTX A

2 L. tOGDA SU]ESTWUET MNOVESTWO B, PRED-

: : : | POSLEDOWATELX-

STAWIMOE W WIDE B = n=1 Bn, GDE B1

NOSTX MNOVESTW, KAVDOET IZ KOTORYH W SWO@ O^EREDX PREDSTAWIMO W

WIDE

GDE

Bn1 Bn2 : : : ; Bnk 2

A A

W SOOTWET

Bn = k=1 Bnk,

(

2 ) (

ALGEBRA MNOVESTW

STWII S PRINQTYMI OBOZNA^ENIQMI A A

2 ) |

(

POROVDENNAQ POLUKOLXCOM A

2 ).

pRI \TOM

•

(1)

B A;

A = B:

pO OPREDELENI@ KLASSA L DLQ WSQKOGO n 2 N SU]ESTWUET POKRYTIE

fXnrgr A1 A2 MNOVESTWA A TAKOE, ^TO

(2)

(

Xnr ) < A +

[

pOLOVIM Bn

= n ( Xkr ) =

(X1r1

: : :

Xnrn ) =

Ysn, GDE Ysn =

k=1

;:::;rn

: : :

T S

; : : : ; r

1r1

nrn 2

oSTALOSX POLOVITX Bnk = s=1 Ysn . dEJSTWITELXNO, PO POSTROENI@ B A,

A ZNA^IT, B A. oBRATNO, W SILU (2)

B ( Xnr ) < A +

(n 2 N) ) B = A:

[

4. dOKAZATELXSTWO TEOREMY fUBINI PROWEDEM• W DWA \TAPA: SNA^ALA

(P. 5) USTANOWIM EE• SPRAWEDLIWOSTX DLQ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ

f = A (A

L). w SOOTWETSTWII S P. 1 RASSMOTRIM DWE FUNKCII A(

)

E1 !

)

: E2

NAPRIMER

MERA SE^ENIQ

; A

(

, A(x) | -

A(x) (x

E1) MNOVESTWA A); \TI FUNKCII KORREKTNO OPREDELENY, RAZUMEETSQ, LI[X

ESLI A(x) 2 A2; A(y) 2 A1.

(

)

dLQ WSQKOGO

A 2 L

FUNKCII

KORREKTNO OPREDELENY

( )

A( ); A

PRI^EM

A( ) d =

d .

• A =

1-J SLU^AJ:ZA = X Y; ZX

2 A1; Y 2 A2. w \TOM SLU^AE A( ) = Y X

(I, W ^ASTNOSTI, KORREKTNO OPREDELENA); SOGLASNO (2) x213

A = X Y = Z

Y d = Z A( ) d :

362

2-J SLU^AJ: A 2 A(A1 A2 ), TO ESTX A = i=1 Ai; Ai 2 A1 A2. w \TOM

SLU^AE A( )

Ai( ) I, SLEDOWATELXNO,

X Z

Z X

A =

Ai =

Ai( ) d =

( Ai( ) )d =

A( ) d :

3-J SLU^AJ (OB]IJ): A

2 L. pUSTX SEMEJSTWA (Bnk )n;k I (Bn ) UDOWLE-

TWORQ@T USLOWIQM P. 3. pOSKOLXKU Bn1 Bn2 : : : ,

Bn1( ) Bn2( ) : : : ; Bnk( ) ! Bn( ) (k ! 1);

k=1

GDE Bn =

Bnk; B1

: : :, TO ESTX B1(

)

B2(

)

: : : ; Bn(

)

). w SILUS 197.13 I TEOREMY lEWI POLU^AEM

B = lim lim Bnk

= lim lim

Bnk(

)

d = lim

Bn(

)d =

) d :

pUSTX TEPERX

A = 0.

tOGDA

B = 0

I SOGLASNO

207.14 B( ) = 0

(OTNOSITELXNO ). s DRUGOJ STORONY, A(x) B(x) (x

2 E1 ) I W SILU POL-

NOTY MERY : A( ) 2 A2 I A( ) = 0 P. W. (OTNOSITELXNO ). pO\TOMU

A = 0 =

) d . iTAK, RAZOBRAN SLU^AJ A = 0. eSLI A = 0, PRED-

STAWIM A W WIDE A = BnC, GDE B OPREDELENO WY[E, A C = 0 (SOGLASNO

(1)). dOKAZATELXSTWO ZAWER[AET WYKLADKA:

A = B , C = Z B( ) d , Z C( ) d = Z (B( )nC( ))d
= Z ((BnC )( ) )d = Z A( ) d :		>


6. [dOKAZATELXSTWO TEOREMY fUBINI]. iZ PREDSTAWLENIQ f = f+ , f,,
GDE f = jfj f , MOVNO S^ITATX, ^TO	f		0. kROME TOGO, DOSTATO^NO
2			(A	2	L), TO UTWERVDENIE
DOKAZATX 1-OE RAWENSTWO W P. 2. eSLI f = A			(A		L), TO UTWERVDENIE
DOKAZANO W P. 5:
DOKAZANO W P. 5:

Z A d( ) = A = Z A( )d = Z Z A d d :

363

pUSTX

f =

j Aj ( j

0) |

PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ

PO MERE

)

FUNK

(

CIQ

j Aj < +1).

tOGDA

TO ESTX

(

X Z Z

X Z

(3)

f d(

) =

j Aj =

[

j Aj d ] d =

j d ;

GDE

Aj d ( 0) INTEGRIRUEMY PO MERE , I RQD

j d SHO-

DITSQ. w SILU 208.5

X Z

Z X Z

(4)

j d =

[

j Aj d ] d :

fUNKCII j Aj (x; ) : E2 ! R (x

2 E1) INTEGRIRUEMY PO MERE , I RQD IZ

INTEGRALOW SHODITSQ. sNOWA W SILU 208.5

X Z

(5)

(

j Aj d ) d =

(

( j

Aj )d ) d =

( f d ) d :

sOPOSTAWLQQ (3) { (5), ZAKL@^AEM, ^TO TEOREMA fUBINI SPRAWEDLIWA DLQ PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.

pUSTX, NAKONEC, f 0 | PROIZWOLXNAQ INTEGRIRUEMAQ (PO MERE ) FUNKCIQ. wOZXMEM• POSLEDOWATELXNOSTX fn INTEGRIRUEMYH PROSTYH FUNK- CIJ TAKU@, ^TO fn =) f; f1 f2 : : :. tOGDA

n Z

Z Z

f d(

) = lim

fn d(

) = lim

fn d

d :

fUNKCII 'n

fn d (n 2 N) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM TEOREMY lEWI

(SM. 208.4). sLEDOWATELXNO,

Z n

Z Z

lim

fn d

d =

lim

fn d

d =

f d

d :

x215. iNTEGRAL PO -KONE^NOJ MERE

1. pUSTX : A

! R+

[ f+1g | POLNAQ -KONE^NAQ MERA NA -ALGEBRE

A W MNOVESTWE E. kLASS R

fA 2 A j (A)

< +1g QWLQETSQ TOGDA

364

-KOLXCOM W E (SM. 193.5). wWEDEM• WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO K KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ, TO ESTX FUNKCIJ WIDA

		n
		X			2		\		;	6
(1)	f =		j A	Aj		R; Ai		Aj =		(i = j)):
		j=1	j
		j=1		2
	n			2
	2. iNTEGRALOM FUNKCII f				K WIDA (1) PO MERE NAZYWAETSQ WELI^I-

NA Z f d P j Aj . iNTEGRAL OT FUNKCII f 2 K PO MNOVESTWU X 2 A

j=1

OPREDELQETSQ RAWENSTWOM Z f d Z f X d (\TOT POSLEDNIJ INTEGRAL

KORREKTNO OPREDELEN• (!!)).

nA KLASSE K SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SWOJSTWA (!!):

3.Z ( f + g)d = Z f d + Z g d ( ; 2 R),

4.f g P. W. ) Z f d Z g d ,

5.Z jf + gj d Z jfj d + Z jgj d ,

6.jZ f d j Z jfj d .

7.wWEDEM• NORMU NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE K : kfk1 Z jfj d\KWIWALENTNYE FUNKCII OTOVDESTWLQ@TSQ

(

~TOBY OPREDELITX INTEGRAL NA KLASSE IZMERIMYH FUNKCIJ, NAM PO- NADOBITSQ SLEDU@]AQ LEMMA:

8. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fn 2 K FUNDAMENTALXNA PO NORME
k k1. tOGDA
(A) 8" > 0 9 > 0 8X 2 R X < ) jZ fn d j < " (n										2 N) ,
	n	Z		2			X
B	n	Z	fn d (X	2	A	) \|	ZARQD NA	-	ALGEBRE A	.
( ) X lim			fn d (X			) \|		-		.

365

dLQ PROIZWOLXNOGO " > 0

9N 8n; m

N (kfn , fmk1

< 2). dALEE,

9 > 0 ( X < ) jZ fn d j

(n = 1; : : : ; N )) (!!).

tAK ^TO A

WYPOL

( )

NQETSQ DLQ n N . eSLI n > N, TO

jZ fn d j jZ (fn , fN )d j

+ jZ

fN d j Z

jfn , fN jd + jZ fN d j < ":

(B). wO-PERWYH, X OPREDELENO DLQ L@BOGO X 2 A:

fn d , Z fm d j

Z jfn , fmj d Z jfn , fmj d

kfn , fmk1

! 0 (n; m ! 1):

dALEE, ESLI X = k=1 Xk (X; Xk 2 A), TO

j X , k=1 Xkj j X , Z fn d j + jZ fn d , k=1 Z

fn d j

P Xk

fn d

(

Xk ) :

jZk=1 Xk

kP=1

1-E I 3-E SLAGAEMYE W PRAWOJ ^ASTI MOVNO SDELATX SKOLX UGODNO MALY-

MI PRI BOLX[IH n. tEPERX, DLQ BOLX[OGO, NO FIKSIROWANNOGO n, MOVNO

WYBRATX N STOLX BOLX[IM, ^TO 2-E SLAGAEMOE TAKVE BUDET SKOLX UGODNO

MALYM. iTAK, X =

1 Xk :

k=1

9. iZMERIMU@ FUNKCI@ f NAZOWEM INTEGRIRUEMOJ OTNOSITELXNO

KONE^NOJ MERY

ESLI SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX

fn 2

FUN

DAMENTALXNAQ PO NORME k k1, TAKAQ, ^TO fn ,! f . pRI \TOM

Z f d

lim

fn d .

10. w USLOWIQH P. 9 INTEGRAL KORREKTNO OPREDEL•EN, TO ESTX

1) lim

fn d SU]ESTWUET I NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELX-

NOSTI fn,

366

2)DLQ KONE^NOJ MERY DANNOE OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM

207.4.

pREDEL

lim

fn d

SU]ESTWUET W SILU P

pUSTX

E]E

. 8( ).

•

ODNA

FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX

f .

tOGDA

k k

FUNDAMENTALXNA

fn , gn ,! 0

k k1 -

Z hn d !

oPREDELIM ZARQD

RAWENSTWOM

lim

hn d

A):

zAFIKSIRUEM X

DLQ " > 0 PUSTX > 0 TAKOWO,

^TO Y

)

jZY

hn d

< " (n

N) (SM. P. 8(A)). wYBEREM N STOLX BOLX[IM, ^TO PRI

n N fx : jhn(x)j X g < .

tOGDA

jZ hn d j j Z

hn d j

jhnj d ;

XnZ

GDE Z = fx : jhn(x)j

X g. oTS@DA

hn d j

" +

d 2":

XnZ

tAKIM OBRAZOM, X = 0 DLQ L@BOGO X

R. eSLI WZQTX PREDSTAWLENIE

E = 1 Xn (Xn

R), POLU^IM lim

hn d = E =

Xn = 0.

nP=1

2). pUSTX KONE^NA I f INTEGRIRUEMA W SMYSLE 207.4. pOLOVIM fn =

n2 n

m,1

m+1

N).

tOGDA fn

K; fn

f,1

([

;

))

-FUNDAMENTALXNA, TO ESTX f INTEGRIRUEMA W SMYSLE P. 9.

k k1

oBRATNO

PUSTX

INTEGRIRUEMA W SMYSLE P

. 9

FUNDAMENTALXNA

fn | k k1-

K I TAKAQ, ^TO fn

,! f. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I k

> 0 TAKOWY, ^TO

k < ". w SILU 206.4 I 205.4 NAJD•ETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ) I

k=1

POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW Xk E TAKIH,

POSLEDOWATELXNOSTXP

^TO

j(fnk , f) Xk j < k; ((X Xj )c) < k (k 2 N):

j=1

367

tOGDA A

( 1 Xj )c

| MNOVESTWO MERY 0 I, ZAMENQQ f NA \KWIWALENTNU@

j=1

FUNKCI@ f

= 0. pOLAGAQ g = 1 f

c , MOVNO S^ITATX, ^TO f

k=1

POLU^AEM, ^TO g | PROSTAQ FUNKCIQ,

sup

f(x)

g(x) = sup sup f

(x)

f (x)

sup

< ":

x E j

Xk j

w SILU 208.7 INTEGRIRUEMOSTX g SLEDUET IZ OCENKI

Z jgj d =

Z jfjd

k=1

k=1 Z

jfnk j d k=1

Z jfnk , fnj d + k=1

P Xk

E kP=1 k + Z jfj d < +1:

11. p R I M E R. rASSMOTRIM NA -ALGEBRE P(N) WSEH PODMNOVESTW N

\S^ITYWA@]U@" MERU: X = CardX (^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA X).

tOGDA | -KONE^NAQ MERA, A WSQKAQ FUNKCIQ f :

R IZMERIMA.

pOKAVITE,

^TO f :

(n) SHODITSQ

N ! R INTEGRIRUEMA TTOGDA RQD n=1 f

ABSOL@TNO. pRI \TOM f d =

1 f (n).

n=1

12. u P R A V N E N I E. wOSPOLNITE PROBEL W DOKAZATELXSTWE P. 10: DOKAVITE, ^TO DLQ KONE^NOJ MERY SOWPADA@T WELI^INY INTEGRALOW W SMYSLE OPREDELENIJ P. 9 I 207.4.

368

polnye metri~eskie prostranstwa

x216. pOPOLNENIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA

1. mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA (M; d) I (M0; d0) (SM. 92.1) NAZYWA@T-

SQ IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ j : M ! M0

TAKAQ, ^TO d0(j(x); j(y)) = d(x; y) (x; y 2 M). uKAZANNAQ BIEKCIQ j NAZY- WAETSQ IZOMETRIEJ PROSTRANSTWA M NA PROSTRANSTWO M0 .

2. pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (M; ) (SM. 92.10) NAZYWAETSQ POPOLNENIEM (M; d), ESLI M IZOMETRI^ESKI IZOMORFNO PLOTNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA M.

3. t E O R E M A. kAVDOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET PO- POLNENIEM, KOTOROE EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMETRII.

eDINSTWENNOSTX. pUSTX (M; ); (N; ) | DWA POPOLNENIQ METRI^ES-

! M; J : M ! N | IZOMETRII M NA

KOGO PROSTRANSTWA (M; d); j : M

PLOTNYE ^ASTI PROSTRANSTW M I

N. oPREDELIM OTOBRAVENIE f : M ! N

SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOJ TO^KI 2 M WOZXM•EM KAKU@-NIBUDX

POSLEDOWATELXNOSTX j (xn), SHODQ]U@SQ K , I POLOVIM

(1)

f ( )

lim J (xn):

oTOBRAVENIE f KORREKTNO ZADANO: WO-PERWYH, PREDEL W PRAWOJ ^ASTI (1)

SU]ESTWUET,

TAK

KAK

J (xn ) FUNDAMENTALXNA

DEJSTWITELXNO,

(J (xn); J (xm)) = d(xn; xm)

! 0 (n; m ! 1)g, WO-WTORYHf, \TOT PREDEL NE

ZAWISIT OT WYBORA

(xn):

ESLI

(x0

) |

E]E ODNA POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ

•

^TO j(x0 )

, TO d(xn; x0

(x0

)) = d(xn; x0

)

0 I PO\TOMU (J (xn); J

)

0. pOKAVEM, ^TO f

| IZOMETRIQ. pUSTX j(xn) ! ; j(yn) ! ( ; 2 M

| PROIZWOLXNY). tOGDA

(f( ); f( ))

lim (J(xn); J (yn)) = lim d(xn; yn) = lim (j(xn); j(yn))

= ( ; );

TO ESTX f

SOHRANQET RASSTOQNIE. oTS@DA SLEDUET, ^TO f | IN_EKCIQ.

pOKAVEM, NAKONEC, ^TO f

| S@R_EKCIQ. pUSTX 2

N | PROIZWOLEN I

J (xn) ! (xn 2 M ).

tOGDA

j(xn) |

FUNDAMENTALXNA I

SLEDOWATELXNO

369

GDE

SU]ESTWUET 2 M TAKOE, ^TO j(xn ) ! . w SILU (1) OTS@DA SLEDUET, ^TO f ( ) = .

sU]ESTWOWANIE. pUSTX | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH PO-

SLEDOWATELXNOSTEJ

(xn )

W PROSTRANSTWE

M .

wWEDEM W

OTNO[ENIE \KWI

•

WALENTNOSTI

((xn ); (yn)),

ESLI

d(xn; yn)

! 0 (n

! 1).

wOZXMEM W

•

KA^ESTWE M MNOVESTWO SMEVNYH KLASSOW (FAKTOR-MNOVESTWO) = . dLQ

L@BYH ; 2 M POLOVIM

(2)

( ; )

lim d(xn; yn); GDE (xn)

; (yn)

oPREDELENIE KORREKTNO: WO-PERWYH, PREDEL W (2) SU]ESTWUET, TAK KAK

POSLEDOWATELXNOSTX (d(xn; yn)) FUNDAMENTALXNA:

jd(xn; yn) , d(xm; ym )j d(xn; xm) + d(yn ; ym) ! 0 (n; m ! 1);

(MY ISPOLXZOWALI NERAWENSTWO:

jd(a; b)

, d(c; e)j d(a; c) + d(b; e)). wO-

WTORYH, \TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn); (yn):

ESLI (x0 )

;

(y0

)

| DRUGIE FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI,

d(x0

; y0

)

d(xn; yn)

d(xn; x0

) + d(yn; y0

)

IZ ^EGO I SLEDUET TREBUEMOE.

oSTALOSX PROWERITX, ^TO (i) | METRIKA W M, (ii) SU]ESTWUET IZOMET- RIQ j PROSTRANSTWA M NA PLOTNU@ ^ASTX M, (iii) M | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO.

pROWERKA (i) TRIWIALXNA (!!). ~TOBY PROWERITX (ii), POLOVIM j(x) , 2 M TAKOE, ^TO fx; x; : : :g 2 . tOGDA

(j(x); j(y)) = d(x; y) (x; y 2 M);

PRI^EM• j(M) PLOTNO W M (DLQ 2 M WYBEREM (xn ) 2 I ZAMETIM, ^TO j(xn) ! PO METRIKE ).

pROWERIM, NAKONEC, POLNOTU M. pUSTX ( (n) ) | FUNDAMENTALXNAQ PO- SLEDOWATELXNOSTX W M I PUSTX xn 2 M TAKIE, ^TO ( (n); j(xn )) < 1=n. tOGDA (xn ) | FUNDAMENTALXNA W M f\TO SLEDUET IZ OCENKI:

d(xn; xm ) = (j(xn); j(xm)) (j(xn); (n) ) + ( (n); (m)) + ( (m); j(xm )) < n1 + m1 + ( (n); (m) ) ! 0 (n; m ! 1)g:

370

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5137 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx