Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5139 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

SLEDUET, ^TO P. W. SU]ESTWUET f (x)	lim fn (x). iZ FUNDAMENTALXNOSTI
	n
(fn ) SLEDUET, ^TO DLQ NEKOTOROGO C > 0 SPRAWEDLIWA OCENKA kfnk1
C (n 2 N). pO\TOMU jfn (x)j C P. W. I, SLEDOWATELXNO, jf(x)j C P. W.,
OTKUDA f 2 L1 ( ). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I N TAKOWO, ^TO n > N		)
kfn+p , fnk1 < " (p 2 N). tOGDA jfn+p (x) , fn(x)j " P. W. (n		N ),
A ZNA^IT, (PEREHODQ K PREDELU PO p) jf(x) , fn (x)j " P. W. (n N ).

pO\TOMU kfn , fk1 " (n > N ). iTAK, kfn , fk1 ! 0 (n ! 1): >

rASSMOTRIM KLASS L1 ( ), NAHODQ]IJSQ NA PROTIWOPOLOVNOM KONCE [KALY. iZ SWOJSTW INTEGRALA lEBEGA SLEDUET, ^TO L1( ) | WEKTORNOE

PROSTRANSTWO I kfk1

Z jfjd | NORMA NA L1 ( ). pRI DOKAZATELXSTWE

SLEDU@]IH NIVE UTWERVDENIJ PREDPOLAGAEM (RADI TEHNI^ESKOJ PROSTO-

TY), ^TO | KONE^NAQ MERA.

5. L1 ( ) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.

wOSPOLXZUEMSQ 148.4.

SHODITSQ ABSOL@TNO W L

( ),

pUSTX RQD n=1 fn

T. E. nP=1 Z jfnj d < +1. pO SLEDSTWI@ K TEOREME lEWI 208.5 RQD nP=1 jfnj

SHODITSQ P. W. K NEKOTOROJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII '(

0). oTS@DA P. W.

SHODITSQ RQD

pUSTX

EGO SUMMA

pOSKOLXKU

nP=1 fn .

f |

1 j nP=1 fnj '

), POLU^AEM, ^TO jfj ' P. W. I PO\TOMU f 2

( ). nAKONEC, RQD

SHODITSQ W

n=1 fn

L ( ) ( f ):

Z jf , n=1 fnj d = Z j n=k+1 fnjd n=k+1 Z jfnj d ! 0 (k ! +1): >

6. z A M E ^ A N I E. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX (fn)

SHODITSQ K f PO

NORME PROSTRANSTWA L1( ), TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ), SHODQ]AQSQ K f P. W.

pUSTX kfn ,fk1 ! 0 (n ! 1); " > 0 I Xn (") fx 2 E : jfn(x),f (x)j

"g. tOGDA IZ OCENKI

Xn (") = Z	1	Z	1
	d "		jfn , fj d "kfn , fk1
Xn(")	Xn(")

SLEDUET, ^TO fn ,! f . iZ 206.4 TEPERX SLEDUET TREBUEMOE. >

381

7. [iNTEGRALXNYE NERAWENSTWA gELXDERA• I mINKOWSKOGO].

(A) pUSTX f

2 Lp( ); g

2 Lq( ), PRI^•EM

= 1. tOGDA fg 2 L1( )

I kfgk1 kfkp kgkq .

2 Lp ( ), PRI^•EM

(B) pUSTX f; g 2 Lp( ). tOGDA f + g

kf + gkp

kfkp + kgkp.

Lp( );

Lq ( ) | PROSTYE

(A). pUSTX f

i Xi

g =

i Xi

FUNKCII

IZMERIMOE RAZLOVENIE

MOVNO S^ITATX

, p

+ q

= 1P(

PE =

O^EWIDNO, OB]IM DLQ OBEIH FUNKCIJ). tOGDA fg = P i i X

I, ISPOLXZUQ

NERAWENSTWO gELXDERA•

DLQ RQDOW (SM. 41.3), IMEEM P

i i

[

X1=p

X1=q]

j j p

1=pj

1=q

P j

Xi]

[

]

[

< + :

tAKIM OBRAZOM, fg

L ( ) I (a) SPRAWEDLIWO. w OB]EM SLU^AE RASSMOT-

RIM POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ

! f

L ( ); gn ! g

jfnj jfj;

L ( ) P. W.,

jgnj jgj. tOGDA fngn ! fg P. W. I IZ OCENKI

Z jfngnj d [Z

jfnjp d ]1=p

jgnjq d ]1=q

jfjp d ]1=p[Z

jgjqd ]1=q = kfkp kgkq

SLEDUET, ^TO fngn

L1 ( ). w SILU TEOREMY fATU 208.6 jfgj 2 L1 ( ) I

SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (A).

(B). dLQ FIKSIROWANNOGO x 2 E SPRAWEDLIWY NERAWENSTWA

jf(x) + g(x)jp [2 maxfjf (x)j; jg(x)jg]p 2pfjf(x)jp + jg(x)jpg;

IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO f + g

2 Lp ( )

DLQ f; g

Lp ( ). pOSKOLXKU

(p , 1)q = p DLQ q TAKOGO, ^TO

= 1, FUNKCIQ jf + gjp,1 PRINAD-

LEVIT KLASSU Lq( ). iSPOLXZUQ (A), IMEEM

kf + gkpp =

jf + gjp d = Z jf + gj jf + gjp,1 d

jfj jf + gjp,1 d + Z jgj jf + gjp,1 d

[

jfjp d ]1=p[

jf + gj(p,1)q d ]1=q

1=p

1)q

1=q

jgj

d ]

[p=qZ jf + gj

d ]p=q

= kfkpkf + gkp

+ kgkpkf + gkp

382

dELQ OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA NA kf +gkp=qp , POLU^AEM ISKOMOE NERAWENSTWO: kf + gkp kfkp + kgkp: >

8.nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO Lp( ) POLNO .

pUSTX (fn ) | FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W Lp( ). iZ NERA- WENSTWA gELXDERA•

kfn , fmk1 =	Z jfn , fmj d 1=q[Z jfn , fmjpd ]1=p[Z 1d ]1=q
=	kfn , fmkp( E)	! 0 (n; m ! 1):

tAKIM OBRAZOM, (fn ) FUNDAMENTALXNA W L1( ) I, SLEDOWATELXNO, OBLADAET PREDELOM f W L1( ). w SOOTWETSTWII S ZAME^ANIEM 6 SU]ESTWUET PODPO-

SLEDOWATELXNOSTX (f

) TAKAQ, ^TO f

f P. W. pOKAVEM,

^TO f

n !

PO NORME

TAKOE

^TO

)

L ( ).

dLQ

" > 0

SU]ESTWUET

n; nk > N

Z jfn , fnk jp d < ". pEREHODQ ZDESX K PREDELU PO k I PRIMENQQ TEORE-

L1( ), OTKUDA

j 2

Lp( ), I

MU fATU 208.6, POLU^AEM

ZNA^IT, f 2 L ( ); kfn , fkp ! 0 (n ! 1): >

9. z A M E ^ A N I E. dLQ KONE^NOJ MERY SPRAWEDLIWO WKL@^ENIE

Lp ( ) Lq( ) PRI 1 q < p 1.

u P R A V N E N I Q. 10. wWED•EM KLASSY SKALQRNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ f (fn) I ^ISLOWYH FUNKCIJ NA NIH:

ff = (f

< +1g;

) j n=1 jf

1=p P

n=1 j

]

` ); 1

[

p < + ;

n j

`1):

f = (f

) sup

< + ;

sup

pOKAVITE, ^TO \TI KLASSY QWLQ@TSQ WEKTORNYMI PROSTRANSTWAMI, A UKA- ZANNYE FUNKCII | NORMAMI. dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTW `p (1 p +1) A) NE SSYLAQSX NA REZULXTATY PP. 4 I 8, B) OPIRAQSX NA REZULXTATY PP. 4 I 8.

11. pOKAVITE, ^TO PROSTRANSTWO C00(R) NEPRERYWNYH FUNKCIJ S KOM- PAKTNYMI NOSITELQMI PLOTNO W PROSTRANSTWE L1(R) FUNKCIJ, INTEGRIRU- EMYH PO LINEJNOJ MERE lEBEGA. fuKAZANIQ. zAMETITX, ^TO C00 (R) PLOTNO (PO NORME k k1 ) W MNOVESTWE HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ MNOVESTW W R, PREDSTAWIMYH W WIDE KONE^NYH OB_EDINENIJ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ

383

E2 QWLQETSQ POLNYM OTNOSI-

SOBSTWENNYH PROMEVUTKOW hai; bii), I OTS@DA | W MNOVESTWE HARAKTE- RISTI^ESKIH FUNKCIJ OGRANI^ENNYH IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW W R. zATEM WYWESTI, ^TO C00 (R) PLOTNO W MNOVESTWE HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW KONE^NOJ MERY I, SLEDOWATELX- NO, W MNOVESTWE KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ W R. oSTAETSQ• WOS-

POLXZOWATXSQ 215.9.g

12. pOKAVITE, ^TO C00(R) PLOTNO W PROSTRANSTWE L2 (R). 13. dOKAVITE POLNOTU L2 ( ) DLQ -KONE^NOJ MERY .

x222. oPERACII NAD BANAHOWYMI PROSTRANSTWAMI

1. [pRQMAQ SUMMA BANAHOWYH PROSTRANSTW]. pUSTX (E1; k k1); (E2; k k2) | BANAHOWY PROSTRANSTWA. ~EREZ ff; gg(f 2 E1; g 2 E2 ) OBOZNA^IM \LE- MENTY DEKARTOWA PROIZWEDENIQ E1 E2. oPREDELIM W E1 E2 WEKTORNYE OPERACII RAWENSTWAMI:

ff1; g1g + ff2; g2g ff1 + f2; g1 + g2g;

ff; gg f f; gg (ff; gg 2 E1 E2): oPREDELIM DALEE NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E1 E2 NORMU

( ) kff; ggk kfk1 + kgk2 (ff; gg 2 E1 E2):

2. nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO E1 TELXNO NORMY ( ).

pUSTX (ffn; gng) | FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX W E1 E2. iZ RAWENSTW

kffm; gmg , ffn; gngk = kffm , fn; gm , gngk

= kfm , fnk1 + kgm , gnk2 ! 0 (m; n ! 1)

SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTI (fn ); (gn) QWLQ@TSQ FUNDAMENTALXNYMI W E1 I E2 SOOTWETSTWENNO, A ZNA^IT, ONI SHODQTSQ: fn ! f; gn ! g. nO TOGDA ffn; gng ! ff; gg W E1 E2: >

3. [fAKTOR-PROSTRANSTWO]. pUSTX L | ZAMKNUTYJ LINEAL W BANAHOWOM PROSTRANSTWE E (L | BANAHOWO PROSTRANSTWO W INDUCIROWANNOJ TOPOLO- GII). wWEDEM• W E OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI: f g, ESLI f , g 2 L.

384

|LEMENTY FAKTOR-MNOVESTWA E=L | SMEVNYE KLASSY; ESLI f 2 E, TO SMEVNYJ KLASS, KUDA WHODIT f, OBOZNA^IM ^EREZ [f ]. o^EWIDNO, [f] = ff + g j g 2 Lg f + L: E=L | WEKTORNOE PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO WEKTORNYH OPERACIJ

[f] + [g] [f + g]; [f ] [ f ] (f 2 E; 2 ): nULEWOJ \LEMENT | \TO [ ] = L. fUNKCIQ

k[f ]k inf kf + gk

g2L

| NORMA NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E=L (!!).

4. (E=L; k k ) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.

nUVNO LI[X USTANOWITX POLNOTU E=L. wOSPOLXZUEMSQ KRITERIEM 148.4.

pUSTX

k[fn ]k < +1 I gn 2

L TAKOWY, ^TO kfn + gnk 2k[fn ]k . tOG-

DA RQDP (fn + gn) SHODITSQ ABSOL@TNO W E I, TAK KAK E | BANAHOWO

PROSTRANSTWOP

, \TOT RQD SHODITSQ.

pUSTX g =

(fn + gn). pOKAVEM, ^TO

[g] =

[fn]. dEJSTWITELXNO,

k[g] ,

n=1

[fn ]k kg

n=1

(fn + gn)k ! 0 (k ! 1):

x223. lINEJNYE OPERATORY W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE

1. pUSTX E; F \| NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM (= C ILI
R); LINEJNYJ OPERATOR A : E ! F (SM. 71.1) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM,
ESLI 9C > 0	8f 2 E (kAfk Ckfk). ~EREZ L(E; F ) OBOZNA^IM MNOVESTWO
WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW IZ NORMIROWANNOGO PROSTRAN-
STWA E W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO F . wELI^INA
( )	kAk inffC > 0 : kAfk Ckfk (f 2 E)g

NAZYWAETSQ NORMOJ OGRANI^ENNOGO LINEJNOGO OPERATORA A.

2. z A M E ^ A N I E. eSLI A 2 L(E; F ), TO kAfk kAk kfk(f 2 E).

3. pUSTX A : E ! F | LINEJNYJ OPERATOR. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

(i) A OGRANI^EN,

385

(ii) A NEPRERYWEN,

(iii) A NEPRERYWEN W TO^KE .

(i) )

(ii). fn

! f (fn; f

2 E)

)

kAfn

, Afk =

kA(fn , f)k

kAk kfn

, fk ! 0

) Afn

! Af.

(ii) ) (iii) S O^EWIDNOSTX@.

(iii)

) (i). iZ USLOWIQ (iii) SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO

) k

< 1. pOLAGAQ C = 2= , IMEEM (PRI f = ):

kAfk =

kfk kA(2

)k < Ckfk:

kfk

kfk 1 k

kfk=1 k

4. dLQ

L(E; F ) :

sup

) k

kfk 1 k

oBOZNA^IM M = sup

; IMEEM:

C (kfk 1) ) M kAk; kAfk = kA(f=kfk)k Mkfk ) kAk M:

5. pUSTX E; F; G | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA I A 2 L(E; F ); B 2

L(F; G). tOGDA B A 2 L(E; G). pRI \TOM

kB Ak kBk kAk.

kfk 1 k

k k

k kfk 1 k

k k k

= sup

B(Af )

sup

A :

6. kLASS L(E; F ) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ NOR- MIROWANNOGO PROSTRANSTWA E W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO F S ES- TESTWENNYMI WEKTORNYMI OPERACIQMI I NORMOJ ( ) | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO. bOLEE TOGO, ESLI F | POLNOE PROSTRANSTWO, TO L(E; F ) | TAKVE POLNO.

fUNKCIQ ( ) NA SAMOM DELE QWLQETSQ NORMOJ:

kfk 1 k

k kfk 1 k

A + B

= sup

(A + B)f

sup [ Af

]

kfk 1 k

k k

sup

+ sup

pUSTX kAn , Amk ! 0 (n; m ! 1). tOGDA DLQ L@BOGO f

2 E POSLEDOWA-

TELXNOSTX (Anf) FUNDAMENTALXNA W F :

kAnf , Amfk = k(An , Am)fk kAn , Amk kfk ! 0 (n; m ! 1):

386

eSLI F | POLNO, TO SU]ESTWUET PREDEL Af lim Anf (f 2 E). tAKIM OBRAZOM OPREDEL•ENNOE OTOBRAVENIE A, O^EWIDNO, QWLQETSQ LINEJNYM OTO- BRAVENIEM IZ E W F . kROME TOGO, A OGRANI^ENO. dEJSTWITELXNO, PUSTX

C > 0 TAKOWO, ^TO kAnk C (n 2 N). tOGDA

k k

= lim

Anf

sup

Anf

sup

iTAK, A 2 L(E; F ). nAKONEC, An ! A PO NORME: PUSTX " > 0 PROIZWOLXNO

I N TAKOWO, ^TO kAn , Amk < " (n; m > N). tOGDA

Anf

= lim

Anf

Amf

(n > N);

TO ESTX 8n > N (kAn , Ak < ") ) kAn , Ak ! 0 (n ! 1): >

rASSMOTRIM NEKOTORYE SPECIALXNYE WIDY LINEJNYH OTOBRAVENIJ, S KOTORYMI NAM PRID•ETSQ IMETX DELO.

7.pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA I A : E ! F | LI- NEJNYJ OPERATOR. oN NAZYWAETSQ IZOMETRIEJ, ESLI kAfk = kfk (f 2 E ). o^EWIDNO, A 2 L(E; F ) I kAk = 1. iZOMETRIQ, QWLQ@]AQSQ S@R_EKCIEJ (NA F ), NAZYWAETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM. eSLI SU]ESTWUET

IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM A : E ! F , NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA E I F NAZYWA@TSQ IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYMI (OBOZNA^AETSQ: E ' F ). dWA IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA \TO (S TO^- KI ZRENIQ ALGEBRAI^ESKOJ I METRI^ESKOJ STRUKTUR) PO SU]ESTWU ODNO I TO VE PROSTRANSTWO.

8.oPERATOR A 2 L(E; F ) NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI A | S@R_EK- CIQ I SU]ESTWUET OBRATNYJ OPERATOR A,1 2 L(F; E ).

9.pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA. lINEJNOE OGRANI^EN-

NOE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE j : E ! F NAZYWAETSQ WLOVENIEM PRO- STRANSTWA E W PROSTRANSTWO F .

u P R A V N E N I Q. 10. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA

I E \| KONE^NOMERNO. tOGDA L@BOE LINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! F
NEPRERYWNO.
1	11. pUSTX E \| NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO C [0; 1], S NORMOJ kfk1
Z0	j		j		k		k 0 t 1 j			j
		f (t) dt, A F = C[0; 1] S NORMOJ				f		max	f (t)		. tOGDA OTOBRAVENIE
j : F			! E,	ZADANNOE RAWENSTWOM j(f )				f (f		2 F ), \| WLOVENIE, A

387

OTOBRAVENIE i : E ! F , ZADANNOE RAWENSTWOM i(f ) f (f 2 E), NE QWLQETSQ WLOVENIEM.

12. oPERATOR A 2 L(E; F ), QWLQ@]IJSQ S@R_EKCIEJ, OBRATIM TTOGDA

9C > 0 8f 2 E (kAfk Ckfk).

13. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, A E E SNABVENO NORMOJ kfu; vgk maxfkuk; kvkg. pOKAVITE, ^TO SOOTWETSTWIE A ! A#, GDE A#fu; vg (Au)v (u; v 2 E), OPREDELQET IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM MEVDU PROSTRANSTWAMI L(E; L(E; F )) I L(E E; F ).

14. pUSTX (E; A; ) | PROSTRANSTWO S POLNOJ KONE^NOJ MEROJ, N | MNOVESTWO WSEH ZARQDOW : A ! C ABSOL@TNO NEPRERYWNYH OTNOSITELXNO. eSTETSWENNYE WEKTORNYE OPERACII I NORMA k kv (SM. 211.8) OPREDE- LQ@T W N STRUKTURU NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA. pOKAVITE, ^TO N IZOMETRI^ESKI IZOMORFNO BANAHOWU PROSTRANSTWU L1( ). fuKAZANIE: WOS- POLXZUJTESX TEOREMOJ rADONA-nIKODIMA.g

x224. pOPOLNENIE NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA.

pROSTEJ[AQ TEOREMA WLOVENIQ

1. pUSTX (E; k k) | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO. nORMIROWANNOE

PROSTRANSTWO (E; k k )

NAZYWAETSQ

POPOLNENIEM

(E; k k),

ESLI 1)

k k

(E;

) | POLNOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, 2) SU]ESTWUET IZO-

METRI^ESKIJ IZOMORFIZM j : E

PRI^EM• j(E) PLOTNO W E.

2. kAVDOE NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO OBLADAET POPOLNENIEM, KO-

TOROE EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMETRI^ESKOGO IZOMORFIZMA.

w SILU 216.3 SU]ESTWUET POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; ) |

POPOLNENIE PROSTRANSTWA (E; d), GDE d OPREDELENA RAWENSTWOM d(ef; g)

, gk

(f; g

E). pUSTX j : E

E | SOOTWETSTWU@]AQ IZOMETRIQ.

oPREDELIM WEKTORNYE OPERACII W

pUSTX

; 2 E

(fn ); (gn)

POSLEDO

WATELXNOSTI W E TAKIE, ^TO j(fn) !e

; j(gn) ! POe METRIKE . pOLOVIM

+ lim j(fn + gn ); limj( fn ) ( 2 ):

wWED•ENNYE OPERACII OPREDELQ@T W E STRUKTURU WEKTORNOGO PROSTRANST-

k k

RAWENSTWOM:

WA (!!). oPREDELIM DALEE NA E NORMU

( ; )

( 2 E).

fpUSTX j(fn ) ! (fn e2 E). tOGDA

( ; ) = lim (j( fn); ) = lim d( fn; ) = lim

j n

j j

lim

lim (j(fn); ) =

388

oSTALXNYE AKSIOMY NORMY SLEDU@T IZ SOOTWETSTWU@]IH AKSIOM METRI- KI.g tAKIM OBRAZOM, (E; k k ) | ISKOMOE POPOLNENIE NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA (E; k k):e>

rASSMOTRIM PRILOVENIE PROCEDURY POPOLNENIQ NORMIROWANNOGO PRO- STRANSTWA K PROSTEJ[EJ TEOREME WLOVENIQ.

3. pUSTX C1 [a; b] | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO GLADKIH FUNKCIJ NA OTREZKE [a; b] S NORMOJ

b	b
kuk [Za	ju(x)j2 dx + Za	ju0(x)j2 dx]1=2:

|TO NE POLNOE PROSTRANSTWO. eGO POPOLNENIE OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM

H1[a; b] (ILI W21[a; b]).

4. pUSTX (un) C1 [a; b] | FUNDAMENTALXNAQ PO NORME H1 POSLEDO- WATELXNOSTX. tOGDA (un ) FUNDAMENTALXNA W PROSTRANSTWE L2[a; b] (T.K. k k2 k k) I, SLEDOWATELXNO, un SHODITSQ W L2[a; b] K NEKOTOROJ FUNKCII u. aNALOGI^NO u0n SHODITSQ PO NORME k k2 K NEKOTOROJ FUNKCII w 2 L2[a; b]; FUNKCIQ w NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ sOBOLEWA FUNKCII u.

5. z A M E ^ A N I E. pROIZWODNAQ sOBOLEWA OPREDELQETSQ GLOBALXNO | SRAZU NA WS•EM OTREZKE (W OTLI^IE OT LOKALXNOGO OPREDELENIQ OBY^NOJ PROIZWODNOJ).

6. sU]ESTWUET WLOVENIE PROSTRANSTWA H1 [a; b] W BANAHOWO PROSTRAN- STWO C[a; b] (S sup-NORMOJ).

	b	2	C1[a; b] PO TEOREME O SREDNEM 50.4 SU]EST-
	dLQ ZADANNOJ FUNKCII u		C1[a; b] PO TEOREME O SREDNEM 50.4 SU]EST-

WUET c 2 [a; b] TAKOE, ^TO Z u(s)ds = (b , a)u(c). tOGDA

)

( )

u(x) = Zcxxu0(s) ds + u(c) = Zcxbu0(s) ds +

Zabu(s)ds )

, a

ju(x)j jZ

u0(s)dsjx+

jZa u(s)dsj

b , a

pb , a [jZc ju0(s)j2

dsj]1=2 +

[Za ju(s)j2 ds]1=2

k k

1=2

a) ,

; (b

a),

K u

; GDE K = p2 max (b

kuk[a;b] max ju(x)j Kkuk:

x2[a;b]

389

nAPOMNIM, ^TO KAVDYJ \LEMENT 2 H1[a; b] | \TO KLASS \KWIWALENTNYH

k k-

(un) 2

k k-

FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ

pUSTX

FUN

DAMENTALXNA W C [a; b]. pOLOVIM

(j( ))(x)

limun

(x) (a

b):

k k

iZ OCENKI ( ) SLEDUET, ^TO (un ) |

[a;b]

-FUNDAMENTALXNA. pO\TOMU

j( )

C[a; b]. tAKIM OBRAZOM OPREDELENNOE•

OTOBRAVENIE j : H

C [a; b],

O^EWIDNO

LINEJNO

PRI^EM

kj( )k[a;b]

Kk k,

. j

2 L(H ; C [a; b]).

•

)

uBEDIMSQ, ^TO j | IN_EKCIQ. dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO j( ) =

= .

pUSTX

j( ) =

FUNDAMENTALXNA W

C [a; b].

( )

SLE

(un) 2 k k-

)

DUET

^TO

A ZNA^IT

0);

KROME

TOGO

(

k k2-FUNDAMENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET FUNKCIQ w 2 L [a; b]

k k2

TAKAQ, ^TO u0

w PO NORME

. mY USTANOWIM, ^TO = , ESLI POKAVEM,

^TO w = 0 P. W. dEJSTWITELXNO,

) k

)

! Za

[a; b]

(t)dt

w(t)dt

) Za

w(t) dt = lim

(t) dt = lim[un (x)

un(a)] = 0:

fUNKCIQ [a; x] Z xw(t)dt POROVDAET -ADDITIWNYJ ZARQD, ABSOL@TNO

NEPRERYWNYJ OTNOSITELXNO MERY lEBEGA. pO TEOREME rADONA-nIKODIMA w = 0 P. W. >

x225. sOPRQVENNOE• PROSTRANSTWO

1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM (= C ILI R).

PROSTRANSTWO L(E; ) (SM. 223.1) NAZYWAETSQ SOPRQV•ENNYM

K PROSTRAN-

STWU E I OBOZNA^AETSQ E . |LEMENTAMI E QWLQ@TSQ LINEJNYE OGRANI-

^ENNYE OTOBRAVENIQ ' : E

! , NAZYWAEMYE LINEJNYMI OGRANI^ENNYMI

FUNKCIONALAMI.

w SOOTWETSTWII S 223.4 NORMA FUNKCIONALA ' 2 E WY-

^ISLQETSQ PO FORMULAM:

kfk 1 j

k k

inf

C > 0 :

'(f )

E )

= sup

'(f )

sup

'(f)

kfk=1 j

390

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5139 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx