А.Н.Шерстнев - Математический анализ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1. eSLI f(x) (x 2 U (a)) n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO PRI

PODHODQ]EM WYBORE rn(x)

f (x) = f(a) + f0(a)(x , a) + : : : +

(a)(x , a)n,1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 517 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

eSLI f0 NEPRERYWNA NA (a; b), TO IZ 1-GO RAWENSTWA SLEDUET WTOROE, TAK KAK f0(x + h) = f0 (x) + o(1) (h ! 0). oDNAKO DLQ SPRAWEDLIWOSTI ( ) NE NEOBHODIMO, ^TOBY f0 BYLA NEPRERYWNOJ NA (a; b).

6. gEOMETRI^ESKIJ SMYSL FORMULY lAGRANVA: SU]ESTWUET WNUTREN- NQQ TO^KA OTREZKA, KASATELXNAQ W KOTOROJ PARALLELXNA STQGIWA@]EJ HOR- DE (SM. rIS. 10).

u P R A V N E N I Q. 7. sPRAWEDLIWA LI FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA DLQ FUNKCII

2 ,

nf g

f (x) =

x sin x

; ESLI x

;

0 ,

( 0;

ESLI x = h0?

8. pUSTX f : [a; b]

R OBLADAET SWOJSTWOM:

DLQ L@BYH x1; x2

[a; b] (x1 < x2 ) SU]ESTWUET y 2 (x1; x2) TAKOE, ^TO f(x2),f (x1 ) = f0 (y)(x2

x1). sLEDUET LI OTS@DA, ^TO f DIFFERENCIRUEMA NA (a; b)?

9.pUSTX f DIFFERENCIRUEMA DLQ WSEH x 2 RI f(x +h),f (x) = f0(x)h PRI WSEH x; h 2 R. pOKAVITE, ^TO TOGDA f(x) = ax + b (x 2 R).

10.pUSTX f NEPRERYWNA NA PROMEVUTKE [a; b), DIFFERENCIRUEMA NA

(a; b), PRI^•EM SU]ESTWUET lim f0(x). pOKAVITE, ^TO W TO^KE a OPREDELENA

x!a+

PRAWAQ PROIZWODNAQ I f0(a+) = lim f0(x).

x!a+

priloveniq ponqtiq proizwodnoj

x33. pRAWILO lOPITALQ

1. pUSTX a 2 R I f; g OPREDELENY I DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ-OKRESTNOSTI U TO^KI a, PRI^•EM g(x); g0(x) 6= 0 I WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ

(0=0)

(1=1)

lim f (x) = lim g(x) = 0;

x!a x!a

lim f(x) = lim g(x) = 1:

x!a x!a

tOGDA lim f(x) = lim

f0(x)

KOLX SKORO SU]ESTWUET PREDEL (BYTX MO-

x!a g(x)

x!a g0(x)

VET, NESOBSTWENNYJ) W PRAWOJ ^ASTI. pRAWILO WERNO TAKVE DLQ SLU-

^AEW

a = 1; 1; x ! a .

rAZBEREM• NESKOLXKO TIPI^NYH SLU^AEW.

10:

(0=0); U

= (a; ); x

! a+. oPREDELIM FUNKCII f I g W TO^KE

a : f (a) = g(a) = 0. tOGDA f I g NEPRERYWNY W a I PRIMENIMA TEOREMA

kO[I 32.2 K OTREZKU [a; x] (x < ). sLEDOWATELXNO,

f (x) = f (x) , f (a)

= f0(c)

(a < c < x; c = c(x));

g(x)

g(x) , g(a)

g0 (c)

TO ESTX

lim f(x)

lim

f0(c)

lim

f0 (c)

x a+ g(x)

a+ g0(c)

a+ g0

(c)

(0=0); U

= ( ; a); x

. rAZBIRAETSQ ANALOGI^NO. tEPERX IZ

1 I 2

UTWERVDENIE SLEDUET DLQ SLU^AQ

30: (0=0); U = (b; a) [ (a; c); x ! a.

4 :

(0=0); a = 1. pOLOVIM y = x

. fUNKCII F (y) f (y ); G(y)

g(y1) DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ -OKRESTNOSTI NULQ, PRI^<M G(y);

(y) = 0. tEPERX

lim F (y)

lim f (x) = 0;

y!0

x!1

f0(y1)(,

)

lim

f0(x)

lim

x!1 g0(x)

y!0 g0(

)(,

)

= lim f(x) x!1 g(x)

lim G(y) = lim g(x) = 0; y!0 x!1

= lim	F 0(y)	= lim	F (y)
	G0(y)		G(y)
y!0		y!0

(W PREDPOSLEDNEM RAWENSTWE MY WOSPOLXZOWALISX UVE RAZOBRANNYM SLU- ^AEM (0=0) DLQ SOBSTWENNOJ TO^KI a = 0).

50: (

); U = (a; );

a+.

pUSTX

lim f0

(x)

= . dLQ x,

1 1

x!a+ g0

(x)

DOSTATO^NO BLIZKIH K a, IMEEM (S U^ETOM•

TEOREMY kO[I DLQ OTREZKA

[x; ] (a; ))

f(x)

f (x)[g( )

g(x)]

f ( )

f (x)

f0(c)

g(x) =

g(x)[f( )

, f (x)]

g( )

, g(x)

= h( ; x) g0(c)

f ( )

g( )

GDE x < c < I h( ; x) = [1

f (x)

]

(1 , g(x)). pARAMETROM W PRAWOJ

^ASTI RAWENSTWA MY MOVEM RASPORQVATXSQ. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO

f0(y)

f0(x)

(" < 1) I TAKOWO, ^TO jg0(y)

, g0(x)j "=3 DLQ WSEH x; y 2 (a; ). w SILU

USLOWIQ (1=1) SU]ESTWUET N > 0 TAKOE, ^TO

f0(x)

jh( ; x) , 1j < "=3 (jxj > N):

jh( ; x)g0(x) , j < "=3;

tOGDA DLQ jxj > N

f (x)

= j(h( ; x) ,

f0(c)

f0 (x)

f0(c)

f0(x)

jg(x) , j

1)(g0(c) , g0(x) ) + (g0(c) , g0(x))

f0(x)

+ h( ; x)g0(x) , j < ";

TO ESTX lim f00(x) = : >

x!a+ g (x)

z A M E ^ A N I Q. 2. oBRATNOE UTWERVDENIE W PRAWILE lOPITALQ

x2 sin

(x2 sin

UVE NEWERNO. nAPRIMER, lim

= 0,

NO OTNO[ENIE

sin x

(sin x)0

2x sin x1

cos x1

x!0

cos x , cos x NIKUDA NE SHODITSQ PRI x ! 0:

10; 11 PRIWODQTSQ K TI-

3. tIPY NEOPREDELENNOSTEJ•

1,1; 0 1; 00;

PAM (0=0); (

). nAPRIMER

, DLQ

1,1

: f (x)

(x) =

1=g(x) , 1=f (x).

1 1

1=f (x)g(x)

dLQ RASKRYTIQ NEOPREDELENNOSTEJ•

POSLEDNIH TREH• TIPOW POLEZNO ISPOLX-

ZOWATX PREDSTAWLENIE f (x)g(x) = expfg(x) ln f (x)g.

p R I M E R Y. 4. lim x ln

= lim ln jxj = lim

1=x

= 0:

x!0

x!0 1=x

x!0

,1=x

lim

xne,x

lim

nxn,1

= : : : =

lim

= 0 (n

N).

x!+1

x!+1 e

x!+1

x!+1 e

6. lim (1 + xx)b ,

1 = lim b(1 + x)b,1 = b (b = 0).

x!0

x34. fORMULA tEJLORA

1.uRAWNENIE KASATELXNOJ (SM. 29.5) DOSTAWLQET LOKALXNU@ APPROK-

SIMACI@ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII LINEJNOJ FUNKCIEJ. nA FORMULU

lAGRANVA 32.5( ) MOVNO SMOTRETX KAK NA GLOBALXNU@ APPROKSIMACI@ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII LINEJNOJ FUNKCIEJ. eSTESTWENNO ZADUMATX- SQ NAD TEM, NELXZQ LI ULU^[ITX APPROKSIMACI@, RASSMOTREW WMESTO LI-

NEJNYH POLINOMIALXNYE FUNKCII. zDESX MY POLU^IM PODHODQ]EE OBOB-

]ENIE FORMULY lAGRANVA KONE^NYH PRIRA]ENIJ. w x35 BUDET POLU^ENO OBOB]ENIE NA POLINOMIALXNYJ SLU^AJ FORMULY PROIZWODNOJ 29.1( ).

2.[fORMULA tEJLORA]. pUSTX f : U ! R (U OTKRYTO) n , 1 RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA OTREZKE [a; x] U 2) I n RAZ DIFFE- RENCIRUEMA NA (a; x). tOGDA SU]ESTWUET c 2 (a; x) TAKOE, ^TO IMEET MESTO RAWENSTWO

(1)	f (x) =	f (a) + f0(a)(x , a) + : : : +		f(n,1) (a)			(x , a)n,1
(1)	f (x) =	f (a) + f0(a)(x , a) + : : : +		(n	,	1)!	(x , a)n,1
		f(n)(c)	n		,
	+	n!	(x , a) :

2TO ESTX f(n 1) OPREDELENA I NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE OTREZKA [a; x].

		1	(n)			n
wELI^INA rn (x) n!f				(c)(x	, a)		NAZYWAETSQ OSTATO^NYM ^LENOM W
FORME lAGRANVA.
pOLOVIM DLQ a z x
					n,1	1	(k)	k	n
(2)	g(z) = f (x) , [f (z) +				X	k!f (z)(x , z)			+ (x , z) ]
(2)	g(z) = f (x) , [f (z) +				k=1	k!f (z)(x , z)			+ (x , z) ]

I WYBEREM TAK, ^TOBY g(a) = 0. k FUNKCII g PRIMENIMA TEOREMA rOL- LQ 32.1 (g(x) = 0 PO POSTROENI@, TAK ^TO g(a) = g(x)). sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET c 2 (a; x) TAKOE, ^TO g0(c) = 0: pRQMOJ PODS^ET• DAET•

g0 (c) = ,

f(n)(c)(x

, c)n,1 + n (x , c)n,1;

(n , 1)!

OTKUDA =

f(n)(c). tAK KAK g(a) = 0; IZ (2) POLU^AEM (1).

dLQ POLINOMA p(x) = a0 + a1x + : : : + anxn IMEEM rn+1 (x) = 0, TAK

^TO p(x) = p(a) + p0 (a)(x, a) +: : : +

p(n) (a)(x , a)n. |TA FORMULA DAET• ,

W ^ASTNOSTI, RECEPT PREDSTAWLENIQ DANNOGO POLINOMA PO STEPENQM x , a.

p R I M E R Y (ISPOLXZUETSQ FORMULA (1) PRI a = 0).

xn,1

(x 2 R; = (x) 2 (0; 1)).

e = 1 + x +

+ : : : + (n

1)!

+ n!e

x2n,1

sin x = x ,

3! + 2n5!+1, : : : + (,1)

(2n , 1)!

2n + 1

(x 2 R; = (x) 2 (0; 1)).

+(2n + 1)! sin( x +

)

x2n,2

cos x = 1 ,

2! + 4!

, : : :2n+ (,1) ,

(2n , 2)!

(x 2 R; = (x) 2 (0; 1)).

+(2n)! cos( x + n )

ln(1 + x) = x

+ : : : + (

1)n

xn,1

(,1)n+1xnn

, 2

n(1 + x)

(x > ,1; = (x) 2 (0; 1)).

(1 + x)b = 1 + bx +

: : : +

b(b , 1) : : : (b , n + 2)xn,1

1)!

b(b ,

1) : : : (b , n + 1)xn (1 + x)b,n

(x > ,1; = (x) 2 (0; 1)).

x35. lOKALXNAQ FORMULA tEJLORA

1. eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO

f(x) = f (a) + f0(a)(x , a) + : : : + n1!f(n) (a)(x , a)n + o((x , a)n) (x ! a):

|TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO.

dOSTATO^NO DOKAZATX UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ, KOGDA
( )	f(a) = f0(a) = : : : = f(n)(a) = 0:

(eSLI ( ) NE IMEET MESTA, TO POLAGAQ
		n	1	f(k)(a)(x , a)k;
	h(x) = f(x) ,	X
	h(x) = f(x) ,	X	k!
		k=0

IMEEM h(a) = h0(a) = : : : = h(n)(a) = 0.) iTAK, PUSTX WYPOLNENO ( ). pRI

n = 1 : f (x) = f(a) + f0(a)(x , a) + o(x

, a) = o(x

, a) (x ! a), TO ESTX

UTWERVDENIE WERNO. pUSTX ONO WERNO DLQ WSEH k

1: pOLOVIM g(x) =

f0 (x). tOGDA g(a) = g0

(a) = : : : = g

(a) = 0, I PO PREDPOLOVENI@

INDUKCII g(x) = o((x

, a)n,1 ) (x ! a). iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ

33.1, IMEEM

lim

f(x)

= lim

f0(x)

= lim

g(x)

= 0:

(x , a)n

x!a

x!a n(x , a)n,1

2.rAZLOVENIE S OSTATKOM W FORME pEANO EDINSTWENNO.

pUSTX IMEET MESTO E]E• ODNO PREDSTAWLENIE

f (x) = a0 + a1 (x , a) + : : : + an (x , a)n + o((x , a)n) (x ! a): wY^ITAQ OTS@DA RAWENSTWO, DOKAZANNOE W P. 1, IMEEM

0 = c0 + c1(x , a) + : : : + cn(x , a)n + o((x , a)n) (x ! a);

1 (k)

GDE ck = ak , k!f (a); 0 k n. pEREHODQ ZDESX K PREDELU PRI x ! a,

POLU^AEM c0 = 0: tAKIM OBRAZOM,

0 = c1(x , a) + : : : + cn(x , a)n + o((x , a)n) (x ! a):

rAZDELIW OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x , a I PEREJDQ K PREDELU PRI x ! a, POLU^IM c1 = 0. aNALOGI^NO POLU^IM POSLEDOWATELXNO c2 = : : : = cn = 0: >

x36. rQD tEJLORA

dOPUSTIM TEPERX, ^TO f IMEET W TO^KE a PROIZWODNYE SKOLX UGODNO WY- SOKIH PORQDKOW. tOGDA RQD

1	1	f(n) (a)(x , a)n = f (a) + f0 (a)(x , a) +	1	f00(a)(x , a)2 + : : :
X
X	n!		2!
n=0

ESTESTWENNO NAZWATX RQDOM tEJLORA FUNKCII f PO STEPENQM x,a. wAVEN

SLU^AJ, KOGDA RQD tEJLORA SHODITSQ K f (x).

2. f (x) = 1

f(n)(a)(x

a)n

TTOGDA

rn (x)

0 (n

! 1

n=0

n,1

(k)

pUSTX sn (x) =

(a)(x

a) | ^ASTNYE SUMMY RQDA tEJLORA,

k=0

! 1

TAK ^TO f (x) = sn(x) + rn(x). eSLI rn(x)

0 (n

), TO lim sn (x) =

lim[f (x)

rn (x)] = f(x). oBRATNO, ESLI RQD tEJLORA SHODITSQ K f(x), TO

sn(x) ! f(x) (n ! 1), TAK ^TO rn (x) = f(x) , sn (x) ! 0 (n ! 1):

p R I M E R Y. 3: e

n=0

n!x

R).

x2nP+1

sin x =

(

(2n + 1)!

R).

n=0

cos x =

( 1)

(2n)!

R).

n=0

(,1 < x 1).

ln(1 + x) = n=1(,1)

7. (1 + x)b = 1 + bx + : : : +

b(b , 1): : : (b , n + 1)xn + : : :

(,1 < x < 1).

p.3. iZ 34.4 I 11.8 SLEDUET, ^TO rn(x) = n! e x ! 0 (n ! 1).

x2n+1

p.4. s U^•ETOM 34.5 jr2n+1(x)j j(2n + 1)!j ! 0 (n ! 1).

p.6,7. pOKA MY NE SMOVEM DOKAZATX \TI RAWENSTWA W UKAZANNYH OB- LASTQH, TAK KAK FORMA OSTATKA lAGRANVA NEDOSTATO^NO \FFEKTIWNA DLQ \TOGO. nAPRIMER, DLQ P. 6 (SM. 34.7)

	rn(x) =	1	jxjn	1	0	1	x	1 ;
						,2
j		n (1 + x)n n !
	j

I NELXZQ POLU^ITX PODOBNOGO REZULXTATA DLQ ,1 < x < , 12 (!!). pOZDNEE MY POLU^IM E]E• ODNU POLEZNU@ FORMU OSTATKA, S POMO]X@ KOTOROJ I USTRANIM OSTAW[IESQ PROBELY. >

x37. aNALITI^ESKIE FUNKCII

1. pUSTX E( R) OTKRYTO, FUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ ANALITI- ^ESKOJ W E, ESLI KAVDAQ TO^KA a 2 E OBLADAET OKRESTNOSTX@ U (a) E TAKOJ, ^TO RQD tEJLORA f PO STEPENQM x , a SHODITSQ DLQ WSEH x 2 U (a).

p R I M E R Y. 2. fUNKCII ex (x 2 R); sin x (x 2 R); cos x (x 2 R) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W R (SM. 36.3{36.5).

3. fUNKCIQ ln x (x > 0) ANALITI^ESKAQ. dEJSTWITELXNO, DLQ KAVDOGO

a > 0 FORMULA tEJLORA PO STEPENQM x , a DA•ET

ln x = ln a + n,1

(,1)k,1

(x a)k

+ rn (x); rn(x) =

(,1)n(x , a)n

kak

n[a + (x

a)]n

k=1

dLQ x

U (a) =

; 3a

MY IMEEM

a + (x

, TO ESTX

rn(x) <

! 0. pO\TOMU

ln x = ln a + x , a

(x , a)2

(x , a)3

: : : ( x

a):

1 a

2 a2

3 a3 ,

4. fUNKCIQ f(x),OPREDELENNAQ• W 30.12 OBLADAET PROIZWODNYMI L@BOGO PORQDKA W R, PRI^EM• f(n) (0) = 0; TAK ^TO RQD tEJLORA \TOJ FUNKCII PO STEPENQM x SHODITSQ K 0, A NE K f (x). iTAK, \TA FUNKCIQ NE ANALITI^ESKAQ.

u P R A V N E N I E. 5. dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ (1 + x)b(x > ,1) ANALITI^ESKAQ.

x38. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCIJ NA OTREZKE

1. pUSTX f : [a; b] ! RNEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA.tOGDA IMEET MESTO TABLICA

		f0		f NA OTREZKE [a; b]		f0
		> 0	)1	STROGO WOZRASTAET	)6	0
		0	)1		)6	0
		0	)2	NE UBYWAET	)7	0

		0	)3	KONSTANTA	)8	0

		0	)4	NE WOZRASTAET	)9	0

		< 0	)5	STROGO UBYWAET	)10	0
			)5		)10	0
iMPLIKACII ()1 ) { ()5 ) QWLQ@TSQ SLEDSTWIEM FORMULY lAGRANVA
( )	f (y) , f (x) = f0(z)(y , x) (a x < z < y b):

oTMETIM, ^TO IMPLIKACIQ ()3) UVE DOKAZANA RANEE (SM 32.4). iMPLI-

KACII ()6 ) { ()10 ) SLEDU@T IZ OPREDELENIQ PROIZWODNOJ. w ^ASTNOSTI,

()7 ) SLEDUET IZ NERAWENSTWA

f0(x) = f0(x+) = lim 1[f (x + h) , f (x)] 0;

h!0+ h

()6 ) SLEDUET IZ ()7 ). >

2. z A M E ^ A N I E. iZ STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f NA [a; b] NE SLEDUET, ^TO f0(x) > 0 DLQ WSEH x 2 (a; b). nAPRIMER, f(x) = x3 (x 2 R) STROGO WOZRASTAET, NO f0(0) = 0.

x39. lOKALXNYJ \KSTREMUM

1. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : E ! R (E R) OBLADAET LOKALXNYM MAK-
SIMUMOM (SOOTWETSTWENNO MINIMUMOM) W TO^KE a 2	E, ESLI SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX NULQ U (0) TAKAQ, ^TO f(a + h) , f (a)	0 (SOOTWETSTWENNO
f (a + h) , f(a) 0) DLQ WSEH h 2 U (0) \ fhj a + h 2 Eg. gOWORQT, ^TO

f OBLADAET W TO^KE a LOKALXNYM \KSTREMUMOM, ESLI f OBLADAET W \TOJ TO^KE LOKALXNYM MAKSIMUMOM ILI MINIMUMOM.

2. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a I OBLADAET W \TOJ TO^KE LOKALXNYM \KSTREMUMOM, TO f0 (a) = 0. bOLEE TOGO, ESLI f0(a) = 0 I f00(a) > 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA; ESLI f0 (a) = 0 I f00(a) < 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MAKSIMUMA.

1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ NERAWENSTW (SLU^AJ LOKALXNOGO MAKSIMUMA)

f0(a+) =

lim

[f (a + h)

f (a)]

0+ h

f0(a

) =

lim

[f (a + h)

f (a)]

pUSTX f0(a)

= 0; f00(a)

tOGDA SU]ESTWUET U (0) TAKAQ, ^TO

h [f0(a+h),f0

(a)] = hf0(a+h) > 0 (h 2 U (0)), TO ESTX ZNAK f0(a+h) SOWPA-

DAET SO ZNAKOM h (h 2 U (0)) I f (a +h),f (a) = f0 (a + h)h 0 (h 2 U (0)) (TAK KAK 0 < < 1). iTAK, a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA. >

3.z A M E ^ A N I E. nEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA W TO^KE a 2 (c; d): NESU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE a ILI OBRA]ENIE EE• W 0.

4.pRI ISSLEDOWANII NA \KSTREMUM POLEZNA TABLI^KA (SM. rIS. 11; PREDPOLAGAETSQ, ^TO f NEPRERYWNA NA (c; d); c < a < d).

5.p R I M E R. pRINCIP fERMA GLASIT, ^TO TRAEKTORIQ SWETA W FI- ZI^ESKOJ SREDE REALIZUET MINIMUM WREMENI, KOTOROE NEOBHODIMO LU^U, ^TOBY PROJTI RASSTOQNIE MEVDU ZADANNYMI TO^KAMI (W ODNORODNOJ SRE- DE SWET RASPROSTRANQETSQ PRQMOLINEJNO). pUSTX IME@TSQ DWE ODNOROD- NYE SREDY I ci | SKOROSTX SWETA W SREDE (i); i = 1; 2. tREBUETSQ NAJTI TRAEKTORI@ SWETA MEVDU TO^KAMI A1 I A2 (SM. rIS. 12). wREMQ, KOTOROE POTREBOWALOSX BY LU^U, ^TOBY PROJTI PUTX, MINUQ TO^KU x,

1		h12 + x2	1=2	1		h22 + (a , x)2	1=2
t(x) =				+				:
	c1				c2

nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA t0(x) = 0 DAET• : cc12 = sinsin 12 . oSTA•ETSQ ZAMETITX, ^TO SOOTWETSTWU@]AQ TO^KA DEJSTWITELXNO REALIZU- ET MINIMUM FUNKCII t(x).

	x40. wYPUKLYE FUNKCII
	1. fUNKCIQ f : (a; b) ! R NAZYWAETSQ WYPUKLOJ (ILI WYPUKLOJ WNIZ),
ESLI DLQ L@BYH x; y 2 (a; b) I L@BOGO 2 [0; 1] SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
( )	f( x + (1 , )y) f (x) + (1 , )f(y):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 517 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx