А.Н.Шерстнев - Математический анализ

mera lebega

pOLUKOLXCA MNOVESTW I IH SWOJSTWA (x191). mERA NA POLUKOLXCE (x192). kOLX- CA I ALGEBRY MNOVESTW. kOLXCO, POROVD•ENNOE SEMEJSTWOM MNOVESTW. bORE- LEWSKIE ALGEBRY (x193). pRODOLVENIE MERY S POLUKOLXCA NA POROVD•ENNOE IM KOLXCO. kRITERIJ -ADDITIWNOSTI KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY NA POLUKOLXCE (x194). wNE[NQQ MERA I E•E SWOJSTWA (x195). kLASS L(S; m) IZMERIMYH PO lE- BEGU MNOVESTW (SLU^AJ POLUKOLXCA S 1). tEOREMA O PRODOLVENII MERY S PO- LUKOLXCA c 1 NA KLASS IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW. mERA lEBEGA (x196). kONSTRUKCIQ L(S; m) DLQ POLUKOLXCA BEZ 1 (x197). sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI-KONE^NOJ MERY PO OTNO[ENI@ K MONOTONNYM POSLEDOWATELXNOSTQM MNOVESTW. mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX I IH SWOJSTWA. sWOJSTWO POLNOTY MERY lE- BEGA (x197). mERA lEBEGA-sTILTXESA. oPISANIE KONE^NYH MER NA BORELEWSKOJ ALGEBRE B(R) (x198). rAZLOVENIE MERY lEBEGA-sTILTXESA NA DISKRETNU@ I NE- PRERYWNU@ KOMPONENTY (x199). aBSOL@TNO NEPRERYWNYE I SINGULQRNYE MERY. kRITERIJ ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI MERY (x200).

izmerimye funkcii

pROOBRAZ KOLXCA OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ (x201). iZMERIMYE FUNKCII I IH SWOJSTWA. w-IZMERIMYE FUNKCII (x202,203). iZMERIMYE FUNKCII NA PROSTRAN- STWE S MEROJ (x204). sHODIMOSTX PO^TI WS@DU. tEOREMA eGOROWA (x205). sHO- DIMOSTX PO MERE. wZAIMOSWQZI MEVDU RAZLI^NYMI TIPAMI SHODIMOSTI (x206).

integral lebega

oPREDELENIE INTEGRALA lEBEGA. sWOJSTWA INTEGRALA (x207). pREDELXNYJ PE- REHOD POD ZNAKOM INTEGRALA (TEOREMY lEBEGA, lEWI, fATU) (x208). zAMENA PE- REMENNOJ W INTEGRALE lEBEGA (x209). sRAWNENIE INTEGRALA rIMANA I INTEGRA- LA lEBEGA (x210). nEOPREDELENNYJ INTEGRAL lEBEGA. zARQDY. sWOJSTWO OGRA- NI^ENNOSTI ZARQDA. tEOREMA hANA (x211). aBSOL@TNO NEPRERYWNYE FUNKCII MNOVESTWA. tEOREMA rADONA-nIKODIMA. aBSOL@TNO NEPRERYWNAQ I SINGULQR- NAQ KOMPONENTY MERY (x212). pROIZWEDENIE POLUKOLEC MNOVESTW. mERY W PRO- IZWEDENIQH MNOVESTW (x213). tEOREMA fUBINI (x214). iNTEGRAL PO -KONE^NOJ MERE (x215).

polnye metri~eskie prostranstwa

pOPOLNENIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. tEOREMA O SU]ESTWOWANII I EDIN- STWENNOSTI POPOLNENIQ (x216). tEOREMA O WLOVENNYH [ARAH. tEOREMA b\RA (x217). pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. oBOB]•ENNYJ PRINCIP SVIMA@- ]IH OTOBRAVENIJ. pRIMENENIQ K INTEGRALXNYM URAWNENIQM (x218). wPOLNE OGRANI^ENNYE MNOVESTWA W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE. kRITERIJ KOMPAKT- NOSTI METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. kRITERIJ PREDKOMPAKTNOSTI MNOVESTWA W PROSTRANSTWE NEPRERYWNYH FUNKCIJ (x219).

11

osnownye principy linejnogo analiza

kONE^NOMERNYE NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA (\KWIWALENTNOSTX NORM, POL- NOTA). sU]ESTWOWANIE \LEMENTA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO KO- NE^NOMERNOGO PODPROSTRANSTWA (x220). {KALA BANAHOWYH PROSTRANSTW Lp( ) (1 p 1) (x221). oPERACII NAD BANAHOWYMI PROSTRANSTWAMI (PRQMAQ SUM- MA, FAKTOR-PROSTRANSTWO) (x222). nORMIROWANNOE PROSTRANSTWO WSEH OGRANI- ^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW IZ ODNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA W DRU- GOE. iZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM NORMIROWANNYH PROSTRANSTW (x223). pOPOL- NENIE NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA. pROSTEJ[AQ TEOREMA WLOVENIQ (x224). sOPRQV•ENNOE PROSTRANSTWO (x225). pROSTRANSTWA Lp( ) (1 p < 1) (x226). pRODOLVENIE OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ PO NEPRERYWNOSTI (x227). tEOREMA hANA-bANAHA I EE• SLEDSTWIQ (x228). wTOROE SOPRQV•ENNOE PROSTRANST- WO (x229). pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI (TEOREMA bANAHA-{TEJNGAUZA) I E•E SLEDSTWIQ (x230). tEOREMA OB OTKRYTOM OTOBRAVENII I E•E SLEDSTWIQ (TEO- REMY OB OBRATNOM OPERATORE, OB \KWIWALENTNOSTI NORM, O ZAMKNUTOM GRAFIKE) (x231).

ograni~ennye linejnye operatory w gilxbertowom prostranstwe

sU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX \LEMENTA NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ OTNO- SITELXNO PODPROSTRANSTWA. tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII (x232). oR- TOGONALXNYE SUMMY GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x233). rAZMERNOSTX GILXBER- TOWA PROSTRANSTWA (x234). pROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA. sEPARABELXNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA (x235). iZOMORFNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA. uSLOWIQ IZOMORFIZMA GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x236). tEOREMA rISSA. sO- PRQV•ENNOE PROSTRANSTWO K PROSTRANSTWU gILXBERTA. pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI DLQ GILXBERTOWYH PROSTRANSTW (x237). bILINEJNYE FORMY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE I IH SWQZX S OPERATORAMI (x238). sOPRQV•ENNYJ OPERATOR K OGRANI^ENNOMU LINEJNOMU OPERATORU. sWOJSTWA SOPRQV•ENNOGO OPE- RATORA (x239). aLGEBRA B(H) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW W GILX- BERTOWOM PROSTRANSTWE (x240). oRTOPROEKTORY (x241). uNITARNYE OPERATORY. oPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ (x242). kONE^NOMERNYE OPERATORY I IH PRED- STAWLENIE (x243). kOMPAKTNYE OPERATORY. nEKOMPAKTNOSTX TOVDESTWENNOGO OPERATORA W BESKONE^NOMERNOM PROSTRANSTWE (x244). sWOJSTWA KOMPAKTNYH OPE- RATOROW W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE (OPERATOR, SOPRQVENNYJ• K KOMPAKTNO- MU; ZAMKNUTOSTX KLASSA KOMPAKTNYH OPERATOROW OTNOSITELXNO PREDELXNOGO PE- REHODA PO NORME; POLNOTA PROSTRANSTWA KOMPAKTNYH OPERATOROW; APPROKSIMA- CIQ KOMPAKTNYH OPERATOROW KONE^NOMERNYMI OPERATORAMI; ZAMKNUTOSTX LINE- ALA R(1,A) DLQ KOMPAKTNOGO OPERATORA A) (x245). iNTEGRALXNYE KOMPAKTNYE OPERATORY (x246).

12

|lementy teorii neograni~ennyh linejnyh operatorow

pLOTNO ZADANNYE (NEOGRANI^ENNYE) OPERATORY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE I OPERACII NAD NIMI. gRAFIK LINEJNOGO OPERATORA, RAS[IRENIE LINEJNO- GO OPERATORA. zAMKNUTYE I ZAMYKAEMYE OPERATORY I IH SWOJSTWA. zAMYKA- NIE OPERATORA (x247). sOPRQVENNYJ• OPERATOR K PLOTNO ZADANNOMU LINEJNOMU OPERATORU I EGO SWOJSTWA (x248). |RMITOWY I SAMOSOPRQV•ENNYE OPERATORY. uSLOWIE SAMOSOPRQV•ENNOSTI OPERATORA. oPERATORY UMNOVENIQ NA NEZAWISI- MU@ PEREMENNU@ I DIFFERENCIROWANIQ W L2(R) (x249). aNALITI^ESKIE WEKTOR- FUNKCII I IH SWOJSTWA (x250). rEZOLXWENTNOE MNOVESTWO I SPEKTR ZAMKNUTO- GO OPERATORA. sWOJSTWA REZOLXWENTNOGO MNOVESTWA I REZOLXWENTA ZAMKNUTOGO OPERATORA. sPEKTR SAMOSOPRQV•ENNOGO OGRANI^ENNOGO OPERATORA. sPEKTR UNI- TARNOGO OPERATORA (x251).

urawneniq s kompaktnymi operatorami

tEOREMA fREDGOLXMA (x251). tEOREMA rISSA-{AUDERA. tEOREMA gILXBERTA- {MIDTA (SPEKTRALXNAQ TEOREMA DLQ SAMOSOPRQVENNOGO• KOMPAKTNOGO OPERATO- RA). kANONI^ESKAQ FORMA KOMPAKTNOGO OPERATORA (x253). uRAWNENIQ fREDGOLX- MA 1-GO I 2-GO RODOW (INTEGRALXNAQ I OPERATORNAQ FORMY). tEOREMY fREDGOLX- MA (x254). sLU^AJ SIMMETRI^NYH I WYROVDENNYH QDER (x255).

|lementy nelinejnogo analiza w normirowannyh prostranstwah

pROIZWODNAQ fRE[E OTOBRAVENIQ I EE• SWOJSTWA (x256). lOKALXNYJ \KSTREMUM FUNKCIONALA. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA (x257). oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA (x258). iNTEGRAL OT WEKTOR-FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W BANA- HOWOM PROSTRANSTWE (x259). pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. fORMULA tEJLORA. dOSTATO^NOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCIONALA (x260).

13

ponqtie funkcii

x1. fUNKCIQ

1. pUSTX E I F | DWA MNOVESTWA I ZADANO PRAWILO f, KOTOROE KAV- DOMU \LEMENTU x 2 E SOPOSTAWLQET NEKOTORYJ \LEMENT f (x) 2 F . w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE E OPREDELENA FUNKCIQ f, PRI- NIMA@]AQ ZNA^ENIQ W MNOVESTWE F ; GOWORQT TAKVE, ^TO f | OTOBRA-

f

VENIE MNOVESTWA E W MNOVESTWO F I PI[UT f : E ! F ILI E ,! F . mNOVESTWO E NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f. dWE FUNK- CII f1 : E1 ! F; f2 : E2 ! F NAZYWA@TSQ RAWNYMI (f1 = f2 ), ESLI

E1 = E2; f1 (x) = f2(x) (x 2 E1). eSLI A E I f : E ! F | NEKOTORAQ

FUNKCIQ, TO ^EREZ f j A OBOZNA^A@T FUNKCI@ A ,!fjA F , DEJSTWU@]U@ PO PRAWILU (f j A)(x) = f (x) (x 2 A). fUNKCIQ f j A NAZYWAETSQ OGRANI^E- NIEM FUNKCII f NA MNOVESTWO A.

pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE MNOVESTWA E W MNOVESTWO F , A E; B F . mNOVESTWO f (A) ff (x) j x 2 Ag NAZYWAETSQ OB-

RAZOM MNOVESTWA A PRI OTOBRAVENII f | \TO ^ASTX MNOVESTWA F .

mNOVESTWO

f,1(B ) fx 2 E j f(x) 2 Bg

NAZYWAETSQ POLNYM PROOBRAZOM MNOVESTWA B PRI OTOBRAVENII f |

\TO ^ASTX MNOVESTWA E.

3.oTOBRAVENIE f : E ! F NAZYWAETSQ IN_EKCIEJ, ESLI x 6= y (x; y 2 E) ) f (x) 6= f (y); ONO NAZYWAETSQ S@R_EKCIEJ , ESLI f(E) = F . eSLI OTOBRAVENIE QWLQETSQ IN_EKCIEJ I S@R_EKCIEJ ODNOWREMENNO, TO ONO NA- ZYWAETSQ BIEKCIEJ . mNOVESTWA E I F NAZYWA@TSQ RAWNOMO]NYMI, ESLI

SU]ESTWUET BIEKCIQ f : E ! F . mNOVESTWO E NAZYWAETSQ S^•ETNYM, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ f : N ! E.

4.p R I M E R. mNOVESTWO Q WSEH RACIONALXNYH ^ISEL S^ETNO• . dEJ- STWITELXNO, EGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE TABLICY

14

iSKOMAQ BIEKCIQ MOVET BYTX OPREDELENA SLEDU@]IM OBRAZOM: f(1) = 0; f (2) = 1=1; f (3) = ,1=1; : : : ; f(10) = 3=1; : : : (WSTRE^AW[IESQ RANEE ^ISLA W DALXNEJ[EJ NUMERACII NE U^ASTWU@T).

5. mY BUDEM PERWOE WREMQ IMETX DELO W OSNOWNOM S ^ISLOWYMI FUNK- CIQMI: E R; F = R. w SWQZI S \TIM GOWORQT O DWUH ^ISLOWYH PEREMEN- NYH: NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x, \PROBEGA@]EJ" MNOVESTWO E; ZAWISIMOJ PEREMENNOJ y = f (x) | FUNKCII PEREMENNOJ x. oTS@DA TRADICIONNYE OBOZNA^ENIQ DLQ FUNKCII: y = f (x) (x 2 E) ILI f (x) (x 2 E ).

e]E• ODIN TIP FUNKCIJ, S KOTORYMI MY SKORO WSTRETIMSQ, | ^I- SLOWYE FUNKCII, ZADANNYE NA ^ISLOWOJ PLOSKOSTI, ILI FUNKCII DWUH PEREMENNYH f : E ! R (E R2). w \TOM SLU^AE KAVDOJ TO^KE MNOVES- TWA E, TO ESTX KAVDOJ UPORQDO^ENNOJ PARE ^ISEL (x; y) 2 E, STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ^ISLO f (x; y).

NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ MNOVESTWA A.

15

11. z A M E ^ A N I E. wPERWYE SOWREMENNOE OPREDELENIE FUNKCIONALX- NOJ ZAWISIMOSTI DANO WYDA@]IMSQ KAZANSKIM GEOMETROM n. i. lOBA^EW- SKIM: \mEVDU TEM OB[IRNYJ WZGLQD TEORII DOPUSKAET SU]ESTWOWANIE ZAWISIMOSTI TOLXKO W TOM SMYSLE, ^TOBY ^ISLA, ODNI S DRUGIMI W SWQZI, PRINIMATX KAK BY DANNYMI WMESTE" (u^. ZAP. iMPERATORSK. kAZANSKOGO UN-TA, 1834, S. 183).

x2. pOSLEDOWATELXNOSTX

1. pOSLEDOWATELXNOSTX@ W MNOVESTWE E NAZYWAETSQ FUNKCIQ x : N ! E. tRADICIONNYE OBOZNA^ENIQ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI:

x1; x2; : : : ; (xn)n2N; (xn ):

|LEMENTY xn NAZYWA@TSQ ^LENAMI POSLEDOWATELXNOSTI. pOSLEDOWATELX- NOSTX W MNOVESTWE R NAZYWAETSQ ^ISLOWOJ . ~ISLOWYE POSLEDOWATELXNOS- TI ^ASTO ZADA@TSQ FORMULAMI OB]EGO ^LENA ILI REKURRENTNYMI FORMU- LAMI.

,1)n (n 2 N).

3.xn+1 = xn,1 + xn; x1 = x2 = 1.

4.pOSLEDOWATELXNOSTX 3; 1; 4; 1; 5; : : : CIFR W DESQTI^NOJ ZAPISI ^ISLA

(NI ANALITI^ESKOJ, NI REKURRENTNOJ FORMUL NET).

x3. gRAFIK ^ISLOWOJ FUNKCII

1. gRAFIKOM FUNKCII f : E ! R NAZYWAETSQ MNOVESTWO

, = f(x; f(x)) 2 R2 j x 2 Eg R2:

pRIWED•EM PROSTOE NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE TOGO, ^TO KRI- WAQ QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII.

2. kRIWAQ NA PLOSKOSTI QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII f : E ! R (E R) TTOGDA KAVDAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OY, PERE- SEKAET NE BOLEE ^EM W ODNOJ TO^KE. w \TOM SLU^AE E =

fx 2 R j 9y 2 R ((x; y) 2 )g.

16

z A M E ^ A N I Q. 3. pUSTX , | GRAFIK FUNKCII y = f(x)(x 2 E) I

2,. tOGDA a = f (x).

4.sOOTWETSTWIE TIPA y = Arcsin x NAZYWAETSQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCI- EJ. |TO NE FUNKCIQ W SMYSLE NA[EGO OPREDELENIQ (SM. 1.1). w TAKOGO SORTA SOOTWETSTWIQH OBY^NO WYDELQ@T WETWI, GDE SOOTWETSTWIE ODNOZNA^NO (SM. rIS. 2).

5.nAM PRIDETSQ• TAKVE IMETX DELO S FUNKCIQMI, ZADANNYMI NEQWNO. pUSTX F : ! R ( R2 ) | FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH. rAWENSTWO

( ) F (x; y) = 0

WYDELQET ^ASTX MNOVESTWA : , = f(x; y) 2 j F (x; y) = 0g. pUSTX , NE PUSTO. s POMO]X@ KRITERIQ P. 2 MOVNO PROWERITX, OPREDELQET LI KRIWAQ , FUNKCI@ y = f (x). eSLI DA, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) OPREDELENA NEQWNO RAWENSTWOM ( ). ~TOBY NAJTI ZAWISIMOSTX y = f(x), NUVNO RAZRE[ITX URAWNENIE ( ) OTNOSITELXNO y.

6. dLQ ZADANIQ KRIWYH NA PLOSKOSTI ^ASTO POLEZNA POLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT. w \TOJ SISTEME KAVDAQ TO^KA A PLOSKOSTI HARAKTERIZUETSQ PAROJ (r; '), GDE r | RASSTOQNIE A DO OTME^ENNOJ TO^KI O, A ' | UGOL, POD KOTORYM OTREZOK OA NAKLONEN• K OTME^ENNOMU LU^U, WYHODQ]EMU IZ TO^KI O (LU^ ' = 0). pRI \TOM UGOL OTS^ITYWAETSQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI (rIS. 3). sOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI PLOSKOSTI I PARAMI (r; ') UVE NE QWLQETSQ BIEKTIWNYM: NAPRIMER, O = (0; ') PRI L@BOM '; (r; ') = (r; ' + 2 ) PRI L@BYH r I '.

x4. oBRATNAQ FUNKCIQ

1. pUSTX , | GRAFIK ^ISLOWOJ FUNKCII y = f (x) (x 2 E R), PRI^EM• KAVDAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OX , PERESEKAET , NE BOLEE ^EM W ODNOJ TO^KE. tOGDA KAVDOJ TO^KE y 2 f(E) SOOTWETSTWUET EDIN- STWENNAQ TO^KA g(y) 2 E TAKAQ, ^TO f (g(y)) = y. iTAK, NA MNOVESTWE F = f (E) OPREDELENA FUNKCIQ x = g(y) (y 2 F ); ONA NAZYWAETSQ OBRAT- NOJ K FUNKCII y = f (x) (x 2 E ); EE• UDOBNO ZAPISYWATX, POMENQW MESTAMI x I y : y = g(x) (x 2 F ). w \TOM SLU^AE GRAFIK ,0 OBRATNOJ FUNKCII NA PLOSKOSTI XOY POLU^AETSQ ZERKALXNYM OTRAVENIEM GRAFIKA , OTNOSI- TELXNO BISSEKTRISY 1-GO I 3-GO KOORDINATNYH UGLOW (rIS. 4). oTMETIM DOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ OBRATNOJ FUNKCII.

17

2. pUSTX f : E ! R STROGO WOZRASTAET (TO ESTX x < x0 (x; x0 2 E) ) f (x) < f (x0)) ILI STROGO UBYWAET (TO ESTX x < x0 ) f (x) > f (x0)). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R SU]ESTWUET I STROGO WOZ- RASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET).

pUSTX, NAPRIMER, f : E ! R STROGO WOZRASTAET, I , | E•E GRAFIK. dO- PUSTIM, ^TO NEKOTORAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OX , PERESEKAET , BOLEE

^EM W ODNOJ TO^KE: (x1; y); (x2; y) 2 ,; x1 < x2. tOGDA y = f (x1 ) = f (x2 ), ^TO PROTIWORE^IT STROGOMU WOZRASTANI@ f. iTAK, OBRATNAQ FUNKCIQ SU-

]ESTWUET; ONA STROGO WOZRASTAET (!!). >

8. pONQTIE OBRATNOJ FUNKCII MOVET BYTX OPREDELENO DLQ ABSTRAKT- NYH FUNKCIJ. pUSTX E; G | MNOVESTWA I FUNKCIQ f : E ! G TAKOWA, ^TO 8x; y (x 6= y ) f (x) 6= f (y)). pUSTX F = f(E). fUNKCIQ g : F ! E, OPREDELENNAQ• RAWENSTWOM g(f(x)) = x (x 2 E ), NAZYWAETSQ OBRATNOJ K FUNKCII f . pRI \TOM FUNKCIQ f W SWO@ O^EREDX QWLQETSQ OBRATNOJ K g, I GOWORQT, ^TO f I g WZAIMNO OBRATNY. iTAK, WZAIMNO OBRATNYE FUNKCII f : E ! G; g : F ! E (GDE F = f(E)) HARAKTERIZU@TSQ RAWENSTWAMI

g(f (x)) = x (x 2 E ); f (g(x)) = x (x 2 F ):

x5. oPERACII NAD FUNKCIQMI

1. aRIFMETI^ESKIE OPERACII. pUSTX FUNKCII f : E ! R; g : E ! R

ZADANY NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E. oPREDELIM NOWYE FUNKCII:

18

SUMMA (RAZNOSTX): (f g)(x) f (x) g(x) (x 2 E);

PROIZWEDENIE: (f g)(x) f (x)g(x) (x 2 E);

^ASTNOE: (f=g)(x) f (x)=g(x) (x 2 E0 = fx 2 E j g(x) 6= 0g.

2. sUPERPOZICIQ FUNKCIJ. pUSTX E; F; G | MNOVESTWA I OPREDELENY FUNKCII f : E ! F; g : F ! G. tOGDA RAWENSTWOM h(x) g(f (x)) (x 2 E) OPREDELQETSQ NOWAQ FUNKCIQ h : E ! G, KOTORAQ NAZYWAETSQ SUPERPOZI- CIEJ FUNKCIJ f I g I OBOZNA^AETSQ g f .

mOVNO OPREDELITX SUPERPOZICI@ TREH• I BOLEE FUNKCIJ. pUSTX, NA- PRIMER, ZADANY FUNKCII f : E ! F; g : F ! G; h : G ! H; SUPERPOZICIQ h g f : E ! H OPREDELQETSQ RAWENSTWOM (h g f )(x) h(g(f (x))) (x 2 E) fOBOZNA^ENIE KORREKTNO W SILU NEPOSREDSTWENNO PROWERQEMOGO RAWENSTWA h (g f ) = (h g) fg.

3. p R I M E R. pUSTX f (x) = x2 (x 2 R); g(x) = 1 , x (x 2 R). tOGDA

(g f )(x) = 1 , x2 (x 2 R); (f g)(x) = (1 , x)2(x 2 R).

19

dejstwitelxnye ~isla

x6. aKSIOMATI^ESKOE OPREDELENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL

1. mNOVESTWO R NAZYWAETSQ MNOVESTWOM DEJSTWITELXNYH (WE]EST-

WENNYH) ^ISEL, ESLI WYPOLNENY AKSIOMY (I) | (V):

(I) aKSIOMY PORQDKA. w R ZADANO OTNO[ENIE < (TO ESTX DLQ KAVDOJ PARY \LEMENTOW ; 2 R USTANOWLENO, WYPOLNQETSQ LI < ILI NET). pRI \TOM WYPOLNENY USLOWIQ:

(I2 ) \ < ; < " ) < ; (I3 ) < ) 9 ( < < ).

pO OPREDELENI@ ZAPISX > \KWIWALENTNA ZAPISI < .

(II) R| POLE (TO ESTX KOLXCO, NENULEWYE \LEMENTY KOTOROGO OBRAZU@T KOMMUTATIWNU@ GRUPPU PO UMNOVENI@).

nULX KOLXCA OBOZNA^AETSQ ^EREZ 0, EDINICA MULXTIPLIKATIWNOJ GRUP- PY OBOZNA^AETSQ ^EREZ 1. tAKIM OBRAZOM, WOZNIKAET NATURALXNYJ RQD N = f1; 2; 3; : : :g, GDE 2 1 + 1; 3 2 + 1; I T.D. oTMETIM W KA^ESTWE TEOREMY UTWERVDENIE: 2 2 = 4:

(III) sOGLASOWANNOSTX (I) I (II): (III1 ) < ) 8 ( + < + ), (III2 ) < ) 8 > 0 ( < ).

(IV) aKSIOMA aRHIMEDA. 8 > 0 9n 2 N ( < n).

~TOBY SFORMULIROWATX POSLEDN@@ AKSIOMU, WWEDEM• RQD PONQTIJ. mNO- VESTWO E( R) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI SU]ESTWUET 2 R TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO 2 E ( OZNA^AET, ^TO = ILI< ). ~ISLO W \TOM SLU^AE NAZYWAETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ MINORANTA OGRANI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA.

20