А.Н.Шерстнев - Математический анализ

(SM. 24.2(G)). pUSTX n | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ, ^TO

n ! ( n 2 F ) I cn 2 E TAKOWY, ^TO f (cn ) = n . pOKAVEM, ^TO cn ! c. eSLI cn NE SHODITSQ K c, TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (cnk ), ^TO cnk ! c0 6= c; f (c0) 6= f(c) (IZ STROGOJ MONOTONNOSTI f ). s DRUGOJ

STORONY, f (cnk ) = nk ! = f(c); f (cnk ) ! f (c0), ^TO NEWOZMOVNO. pO\TOMU g( n )= g(f (cn )) = cn !c = g(f (c)) =g( ). uTWERVDENIE DOKAZA-

NO (SM. POD^ERKNUTYJ• TEKST). >

p R I M E R Y. 2. fUNKCIQ f(x) = arcsin x (jxj 1) NEPRERYWNA. nEPRERYWNY I DRUGIE OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.

3. fUNKCIQ f(x) = xn (x 0) DLQ n 2 N NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET. pO\TOMU OBRATNAQ FUNKCIQ g : [0; +1) ! R NEPRERYWNA I STROGO WOZRASTAET. iTAK, DLQ KAVDOGO a 0 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE ^ISLO b 0 TAKOE, ^TO bn = a. |TO ^ISLO OBOZNA^AETSQ a1=n ILI pn a I NAZYWAETSQ ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-OJ STEPENI IZ ^ISLA a. tAKIM

OBRAZOM, DOKAZANY SU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX STEPENNOJ FUNKCII g(x) = x1=n (x 0) DLQ n 2 N.

u P R A V N E N I Q. 4. dOKAZATX TEOREMU P. 1 DLQ SLU^AEW E = (a; b); [a; b).

5. eSLI E | NE PROMEVUTOK, TO TEOREMA P. 1 NEWERNA. pOSTROJTE SOOTWETSTWU@]IE PRIMERY.

x27. wAVNEJ[IE \LEMENTARNYE FUNKCII

1. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ. pUSTX a > 0: pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax (x 2 R); a0 1, HARAKTERIZUETSQ SWOJSTWAMI:

(A) ax+y = ax ay,

(B) ONA STROGO WOZRASTAET (UBYWAET) PRI a > 1 (PRI a < 1), (W) ONA NEPRERYWNA,

(G) ap=q = (a1=q)p, GDE p 2 Z; q 2 N I a1=q OPREDELENO W 26.3.

dLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII S OSNOWANIEM e MY BUDEM INOGDA POLXZO- WATXSQ OBOZNA^ENIEM ex expfxg.

dOKAVEM SU]ESTWOWANIE POKAZATELXNOJ FUNKCII. w SILU 26.3 OPREDE- LENA FUNKCIQ f (p) = ap (p 2 Q). fUNKCIQ f OBLADAET SWOJSTWAMI (A)

51

I (B) (!!). pOKAVEM, ^TO f RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA KAVDOM OTREZKE

TRIGONOMETRI^ESKIH I OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ, A TAKVE FUNKCIJ, POLU^A@]IHSQ IZ PERE^ISLENNYH WY[E S POMO]X@ ARIFMETI- ^ESKIH OPERACIJ I OPERACII SUPERPOZICII, PRIMENENNYH• KONE^NOE ^ISLO RAZ. iZ 22.5, 22.6 SLEDUET, ^TO L@BAQ \LEMENTARNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA NA SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.

52

differencirowanie

x28. zADA^I, PRIWODQ]IE K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ

1. zADA^A OPREDELENIQ KASATELXNOJ K KRIWOJ. rASSMOTRIM GRAFIK FUNKCII y = f(x) (x 2 E). zAFIKSIRUEM TO^KU x0 I BUDEM PROWODITX ^EREZ TO^KU S KOORDINATAMI (x0; f (x0 )) PRQMYE S RAZLI^NYMI UGLOWYMI KO\FFICIENTAMI k = tg . mOVNO S^ITATX, ^TO W TO^KAH, BLIZKIH K x0, \TI PRQMYE APPROKSIMIRU@T NA[U KRIWU@. sOOTWETSTWU@]AQ POGRE[- NOSTX APPROKSIMACII W TO^KE x0 + h RAWNA (rIS. 8)

r(h) = f (x0 + h) , [f(x0) + kh]:

eSLI f NEPRERYWNA W x0 , TO r(h) = o(1) (h ! 0), TO ESTX POGRE[NOSTX STREMITSQ K NUL@ WMESTE S h . eSLI SREDI PRQMYH ESTX TAKAQ, DLQ KOTOROJ POGRE[NOSTX APPROKSIMACII IMEET WYS[IJ, PO SRAWNENI@ S h, PORQDOK MALOSTI, TO ESTX r(h) = o(h) (h ! 0), TO TAKAQ PRQMAQ EDINSTWENNA. oNA NAZYWAETSQ KASATELXNOJ K KRIWOJ y = f (x) W TO^KE x0.

x29. oPREDELENIE PROIZWODNOJ

1.fUNKCIQ f : E ! R(E R) NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE x 2 E , ESLI W E SODERVITSQ NEKOTORAQ OKRESTNOSTX TO^KI x I

53

~ISLO A, KOTOROE OBOZNA^AETSQ TAKVE f0(x), ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RA- WENSTWOMOBRAZOM, ( ) I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x. tAKIM

2.z A M E ^ A N I E. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO ONA NEPRERYWNA W x. |TO SLEDUET IZ ( ) S U^ETOM• 22.2.

3.eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO OPREDELENO OTOBRAVENIE Lx : R ! R; Lx(h) = f0(x)h (h 2 R), SWQZANNOE S TO^KOJ x I ZADANNOE NA SME]ENIQH h. |TO OTOBRAVENIE (ONO LINEJNO PO h) NAZYWAETSQ PROIZWOD-

NYM (KASATELXNYM) OTOBRAVENIEM K f W TO^KE x. zNA^ENIE PROIZWODNO-

GO OTOBRAVENIQ NA SME]ENII h NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM FUNKCII f W TO^KE x : Lx(h) = f0 (x)h. sME]ENIE h TRADICIONNO OBOZNA^A@T SIMWOLOM dx (NUVNO POMNITX, ^TO dx NE ZAWISIT OT x), A DIFFERENCIAL FUNKCII f W TO^KE x OBOZNA^A@T df(x). iTAK, df (x) = f0(x)dx.

4. eSLI f : E ! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E (\TO ZNA^IT, W ^ASTNOSTI, ^TO E | OTKRYTOE MNOVESTWO), TO OPREDELENA FUNKCIQ x ! f0(x) (x 2 E ), KOTORAQ NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f

I OBOZNA^AETSQ f0 ILI dxdf .

5. eSLI FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, TO URAWNENIE KASA- TELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 ZADAETSQ• URAWNENIEM

(SM. 28.1)

y , f(x0) = f0(x0)(x , x0):

nA rIS. 9 WIDEN GEOMETRI^ESKIJ SMYSL DIFFERENCIALA FUNKCII f :

54

11. ~ASTO PRIHODITSQ RASSMATRIWATX WIDOIZMENENIQ PONQTIQ PROIZ- WODNOJ. rASSMOTRIM ASIMPTOTI^ESKIE RAWENSTWA:

eSLI IMEET MESTO 1-E (SOOTWETSTWENNO 2-E) RAWENSTWO, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f OBLADAET PRAWOJ (SOOTWETSTWENNO LEWOJ) PROIZWODNOJ W TO^KE x. oBOZNA^ENIQ: A1 = f0(x+); A2 = f0(x,).

12.z A M E ^ A N I E. fUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x TTOGDA f0 (x+) = f0(x,).

13.u P R A V N E N I E. pUSTX f (x) = jxj (x 2 R). nAJTI f0 (x) PRI x 6= 0; NAJTI f0(0+); f0(0,).

x30. tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ

1. pUSTX f; g DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x. tOGDA W x DIFFERENCIRU-

55

fORMULY DLQ DIFFERENCIALOW QWLQ@TSQ O^EWIDNYM SLEDSTWIEM SOOT- WETSTWU@]IH FORMUL DLQ PROIZWODNYH. fORMULY DLQ PROIZWODNYH SLE- DU@T IZ WY^ISLENIJ:

2.[sLEDSTWIE]. (cf )0(x) = cf0 (x); c = const.

3.[dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII FUNKCIJ]. pUSTX f : E ! R; g : F ! R; f(E) F; f DIFFERENCIRUEMA W x 2 E, A g DIFFERENCIRUEMA W f (x). tOGDA g f DIFFERENCIRUEMA W x, PRI^•EM

(g f)0 (x) = g0(f (x))f0(x); d(g f )(x) = g0 (f(x))df (x):

tAK KAK o(f(x + h) , f (x)) = o(h) (h ! 0), IMEEM OTS@DA

g(f (x + h)) , g(f (x)) = g0(f (x))f0(x)h + o(h) (h ! 0): >

4. [dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII]. pUSTX f I g | WZAIMNO OBRATNYE FUNKCII. pUSTX g NEPRERYWNA W TO^KE x, A f DIFFERENCIRUE-

56

tAK KAK g NEPRERYWNA W x, WELI^INA g(x + h) , g(x) MALA, ESLI MALO SME]ENIE h. pO\TOMU SPRAWEDLIWA WYKLADKA

h= x + h , x = f (g(x + h)) , f(g(x))

=f (g(x) + g(x + h) , g(x)) , f(g(x))

=f0 (g(x))(g(x + h) , g(x)) + o(g(x + h) , g(x))

=(g(x + h) , g(x))(f0(g(x)) + o(1)) (h ! 0);

sLEDOWATELXNO,

5. [tABLICA PROIZWODNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ].~ASTX PRIWEDENNYH• NIVE FORMUL POLU^ENA RANEE. oSTALXNYE POLU^A@TSQ S POMO]X@ DOKA- ZANNYH WY[E UTWERVDENIJ (PP. 1 { 4). dADIM NESKOLXKO ILL@STRACIJ.

pOLOVIM f (x) = sin x (jxj < 2 ); g(x) = arcsin x (jxj < 1). tOGDA (P. 4)

(xb )0 = (1=x,b)0 = ,(x,b)0=x,2b = bxb,1 (x 6= 0):

eSLI, NAKONEC, b PROIZWOLXNO, TO FORMULA (xb)0 = bxb,1 (x > 0) ESTX SLEDSTWIE PREDSTAWLENIQ xb = eb ln x .

6. z A M E ^ A N I E. dLQ WY^ISLENIQ PROIZWODNYH FUNKCIJ WI-

DA f(x) = u(x)v(x) (u(x) > 0) SLEDUET WOSPOLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM

f (x) = ev(x) ln u(x).

57

u P R A V N E N I Q. nAJTI PROIZWODNYE FUNKCIJ:

7.ln(x + pa2 + x2 ),

f00(x) (f0)0(x) (x 2 E ), KOTORAQ NAZYWAETSQ 2-J PROIZWODNOJ FUNKCII f

58

I OBOZNA^AETSQ f00 ILI d2f . pO INDUKCII OPREDELQETSQ PROIZWODNAQ n-OGO dx2

PORQDKA W TO^KE x0 ; OBOZNA^ENIE f(n) (x0 ). eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO RAWENSTWOM dnf(x) f(n)(x)dxn OPREDELQETSQ DIFFERENCIAL n-OGO PORQDKA FUNKCII f W TO^KE x.

2. [fORMULA lEJBNICA]. pUSTX u; v | FUNKCII, n RAZ DIFFERENCIRU- EMYE W TO^KE x. tOGDA (S^ITAQ u(0) u) IMEEM

x32. oSNOWNYE TEOREMY

1. t E O R E M A [m. rOLLX]. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA, PRI^•EM f (a) = f(b). tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b) TAKOE, ^TO f0 (c) = 0:

tEOREMA O^EWIDNA, ESLI f POSTOQNNA NA [a; b]. pUSTX f 6= const I SU- ]ESTWUET x 2 (a; b) TAKOE, ^TO, NAPRIMER, f (x) > f(a). tOGDA (SM. 24.2(B))

59

NAJDETSQ• c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f (c) = sup f(x). pRI \TOM

x2[a;b]

USLOWIQM TEOREMY rOLLQ. pO\TOMU SU]ESTWUET c 2 (a; b) TAKOE, ^TO h0(c) = g0(c)[f (b) , f (a)] , f0(c)[g(b) , g(a)] = 0:

zAMETIM, ^TO g0 (c) 6= 0, IBO INA^E f0(c) = 0; ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLO- VENI@ TEOREMY. oTS@DA SLEDUET ISKOMOE RAWENSTWO. >

3.[fORMULA lAGRANVA (KONE^NYH PRIRA]ENIJ)]. pUSTX f : [a; b] ! R

NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA SU]ESTWUET c (a < c < b)

TAKOE, ^TO f (b) , f(a) = f0(c)(b , a).

pOLOVIM W TEOREME kO[I g(x) = x (a x b): >

4.s L E D S T W I E. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA, PRI^•EM f0(x) = 0 (a < x < b). tOGDA f = const.

dLQ L@BOGO x 2 (a; b] : f (x) , f (a) = f0(c)(x , a) = 0: >

|TO SOOTNO[ENIE POLEZNO SOPOSTAWITX S RAWENSTWOM

f (x + h) , f(x) = f0(x)h + o(h) (h ! 0):

60