№146.11.Барщевский

391

Приложение 10

Основные предпосылки применения динамического линейного программирования для описания процесса управления

Напомним, что ранее доказана правомерность применения динамического линейного программирования для процесса планирования в целенаправленных многоуровневых автоматизированных системах.

Полезно в связи с этим определить возможности использования аппарата динамического линейного программирования для исследования процесса управления в автоматизированных системах. Успех такого применения позволил бы сформировать универсальный однотипный математический аппарат для совместного изучения как процесса планирования, так и процесса управления.

Вместе с тем использование ДЛП для оценки и синтеза динамических свойств в организационно-экономических системах связано с серьезными сложностями.

Одной из них является противоречивость в условиях обеспечения экономических и динамических свойств системы.

Линейная целевая функция следящей системы хорошо учитывает экономическую составляющую. В то же время эта целевая функция плохо «работает» при колебательном переходном процессе. Замена в этом случае слагаемых критерия их абсолютными значениями резко усложняет вычисления, для которых к тому же отводится ограниченное количество времени. Кроме того, колебательный переходный процесс крайне нежелателен с позиций ЛПР.

Таким образом, при решении проблемы применения ДЛП возникают, как минимум, две задачи:

1)обеспечение неколебательного переходного процесса как для отдельных элементов, так и для системы в целом;

2)исследование динамических свойств для таких переходных процессов.

Для решения первой задачи заманчиво привлечь математический аппарат модального управления, который в [25] использован для управления по состоянию. Неоднозначность выбора параметров в модальном управлении создает предпосылки для последующей оптимизации при использовании линейного критерия.

В[25] управление модами (корнями характеристического управления замкнутой системы) осуществляется с помощью изменения коэффициента обратной связи при статическом регулировании.

Вто же время для изучаемой адаптивной автоматизированной системы следует рассматривать следящий (за планом) режим. В этом случае коэффициент обратной связи влияет на длительность переходного процесса, установившуюся величину выходной переменной и установившуюся ошибку слежения.

Иллюстрируем сказанное, не снижая общности, на примере одномерной системы (рис. П10.1), для чего используем передаточные функции. Чаще всего

392

объект управления в организационно-экономических системах описывается ка инерционный первого порядка.

kОС

Рис. П10.1. Статическое регулирование

Тогда

y(s)/p(s) = k1*(k/(Ts + 1))/{1 + [k1*(k/(Ts + 1))*kОС]} =

= k1*k/(Ts + 1 + k1*k*kОС),

где p, u, y, ε – переменные входа, управления, выхода и ошибки; k1, k, kОС – коэффициенты усиления управляющего устройства, объекта управления и обратной связи; T – постоянная времени; s – символ преобразования Лапласа.

В установившемся режиме при единичном входном сигнале (s = 0)

y(∞) = k1*k/(1 + k1*k*kОС) < 1

при значении kОС ≤ 1. Установившаяся ошибка

ε(∞) = 1/(1 + k1*k*kОС) ≠ 0.

Ктому же обеспечить высокие значения коэффициентов, как показывает имитационное моделирование, иногда трудно.

Таким образом, возможности статической системы ограничены.

Более перспективны в этом случае астатические системы, имеющие в своем составе хотя бы одно интегрирующее звено (рис. П10.2).

Вэтом случае

y(s)/p(s) = (1/Tиs)*(k/(Ts + 1))/{1 + [(1/Tиs)*(k/(Ts + 1))]} =

= k/(TTиs2 + Tиs + k),

где Tи – время интегрирования.

Рис. П10.2. Астатическое регулирование

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

TTиs2 + Tиs + k = 0

и корни

s = (– Tи ±[Tи2 – 4TиTk]1/2)/2TиT.

Здесь возможен колебательный процесс. Очевидно, что корни вещественны (переходный процесс без перерегулирования), если

Tи2 – 4TиTk ≥ 0

и при Tи ≠ 0

Tи ≥ 4Tk.

Чем больше Tи, тем меньше колебательность, однако и длительность переходного процесса увеличивается. Это подтверждается и числовыми экспериментами на ПК с имитационной моделью при использовании электронных таб-

лиц Excel (глава 13).

Отметим, что процессы в имитационной модели (глава 11) могут быть описаны в первом приближении и с помощью преобразования Лапласа.

Действительно

z(ti) = z(ti - 1) + [t]*(u[ti] – y[ti]), y[ti]) = z(ti - 1)/a2

или

a2y[ti + 1] = a2y[ti] + [t]*(u[ti] – y[ti]),

(a2{y[ti + 1] – a2y[ti]}/[t]) + y[ti] = u[ti].

При [t] Æ 0 получим

a2dy/dt + y(t) = u(t)

или

(a2s + 1)y(s) = u(s).

Аналогичный процесс имеет место при определении скользящих средних. В свою очередь

v3(ti) = v3(ti – 1) + [t]{p[ti] – y[ti]}

определяет интегрирующее звено

dv3/dt = p(t) – y(t) = ε(t), v3(s) = ε(s)/s.

394

395

396

397

Учебное издание

Барщевский Евгений Георгиевич Румянцева Галина Николаевна Чертовской Владимир Дмитриевич

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Учебное пособие

Печатается в авторской редакции

Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7

Отпечатано в типографии ФБОУ ВПО СПГУВК 198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2