№146.11.Барщевский

где y(t) = {zT(t), σT(t)}T, y(t) = {zT(t), σT(t)}T, σ = ∂z/∂β, σ = d/dt(∂z/∂β), δ(t) =

B = (BT(β) BβT)T, Bβ = ∂B/∂β, u(t) = – Lz(t), L = R - 1BT(β)K(t), K(t) – решение уравнения Риккати.

Последнее имеет вид

.

∂K/∂β + ∂K/∂β{A(β) – B(β)R - 1BT(β)K} + {A(β) – B(β)R - 1BT(β)K}∂K/∂β + [K∂A/∂β + (∂AT/∂β)K] – K[∂B/∂βR - 1BT(β) + B(β)R - 1(∂B/∂β)TK = 0,

где S, Q, Q2 – симметричные положительно определенные матрицы. Выбранное значение α сохраняется.

Заметим, что выбором в (11.13) значений матрицы весов Q1 чувствительность элемента может быть сделана достаточно малой, а элемент – грубым. За это приходится платить увеличением размерности элемента (8.31)–(8.32).

Таким образом, в состав векторного свойства входят: А. Качество функционирования;

Б. Устойчивость по Ляпунову; В. Управляемость (наблюдаемость);

Г. Ошибка (точность) слежения за входным сигналом (планом); Д. Определение чувствительности к параметрам.

Естественно, необходимо исследовать все составляющие векторного свойства, что и выполнено в работе [9], однако ограничимся более подробным рассмотрением свойства Г в силу следующих обстоятельств.

Степень устойчивости α в организационно-экономических системах редко используется в качестве корректирующей переменной при проектировании и скорее является теоретической возможностью. Чаще для целей повышения устойчивости используют коэффициенты обратной связи.

232

В работе [9] показано, что при использовании линейно-квадратичной оптимизации все элементы многоуровневой системы и система в целом устойчивы по Ляпунову. Одновременно такие систем управляемы.

Свойство Д определяется по закономерностям и включает в себя свойст-

во Г.

Возможны два варианта получения решений в процедуре управления:

1. структура описания совпадает со структурой решений (изучение цели-

ком);

2. структура решений имеет на один уровень больше, чем структура описания (изучение по частям, декомпозиция).

Иллюстрируем выработку решений в указанном порядке.

До сих пор векторное свойство элемента исследовалось целиком. Его возможно исследовать (при большой размерности элемента) с помощью декомпозиции.

При изучении свойств элементов системы с использованием декомпозиции его начальной процедурой является разделение элемента на связанные компоненты (классификация) с последующим расчетом.

11.4.Исследования на основе декомпозиции

Всилу использования в элементе (системе) управления принципа обратной связи структура управления (8.31), по сравнению со структурой планирования, приобретает новое свойство – сильную связность.

Всвязи с этим в классификации могут иметь место следующие процеду-

ры:

1)выделение максимально сильно связных или сильных компонент [9];

2)формирование сильно связных множеств, если выделенные компоненты еще имеют высокую размерность;

3)децентрализация по входам или по выходам.

Первая процедура предполагает формирование квазидиагональной (после перестановки строк и столбцов) матрицы

M = S ST = quasi diag{Mr, r = 1, R}, (11.14)

где ST – транспонированная матрица S; – операция поэлементного умножения матриц; R – число классов; S – матрица связей.

Блоки Мr , составленные из единиц и имеющие размерность mr mr при

n

Σ mr = n

i= 1

233

характеризуют максимально сильно связные компоненты. Сильно связные компоненты могут быть получены из сильных компонент с использованием функ- ционально-целевой информации.

Возможно использовать и алгоритм 11.1 приложения, базирующийся на работах Ф Харари.

Из (П.13) видно, что в управлении r-ой компонентной выделяются две составляющих: локальная, обусловленная только r-ой компонентой, и глобальная, вызванная влиянием остальных компонент элемента.

Наличие глобальной составляющей существенно усложняет управление из-за дополнительных информационно-обменных процессов, увеличивает длительность получения решений. В связи с этим целесообразна, если это возможно, полная децентрализация (по входам), когда управление r-ой компонентой осуществляется только локальной составляющей ur(t). Каждая компонента при этом рассчитывается относительно самостоятельно, упрощается и определение свойств элемента по свойствам отдельных компонент.

Описание объекта управления в (П.13) получает вид

zr(t) = Аrzr(t) + Brur(t) + ∑ Аrωzω(t) + Frwr(t), (11.15)

ω=1, ω≠r

где R - число классов (компонент).

Процедура преобразования (П.13) в (11.15) для случая R = m, где m - количество столбцов матрицы В (или Вr), предложена Д. Луенбергером, Д. Шилаком, М. Вукчевичем.

Отметим, что если n ≥ Rm или n ≥ m2, где R - число классов, n - размерность вектора состояния, то перед децентрализацией полезно путем классификации разделить элемент на большее количество компонент. В противном случае использование децентрализации невозможно.

Воспользуемся для децентрализации каноническим представлением элемента (1.18), при этом полагаем, что размерность вектора bir Br, i = 1, mr не

менее mr.

В предлагаемом к использованию алгоритме выделяются две стадии:

1)преобразование описания к канонической форме с помощью матрицы

Qr;

2) перестановка строк описания с использованием матрицы P.

Имеется модифицированный алгоритм этих преобразований, опирающийся на свойства определителя Грама и перестановочных матриц. В результате получим из уравнения (8.31) выражение (11.15).

Здесь рассмотрим элементы (8.31)–(8.32) уровня h = 1 с масштабом времени t. Отметим, что интересы компонент и элемента согласованы (скоординированы).

Полагаем, что осуществлено исследование и определены условия существования (путем введения дополнительных связей или корректировкой результатов классификации) свойства Г для отдельных компонент.

234

В силу иерархичности структуры и при декомпозиции векторное свойство в процессе синтеза, который начинается с нижнего уровня, трансформируется при переходе на более высокий уровень.

Точность слежения определяется решением задачи (П.13) или (11.15) оптимального слежения. Нетрудно видеть, что целевая функция декомпозированного элемента монотонно зависит от целевых функций компонент, т.е. целевые функции компонент и элемента согласованы. Наличие к тому же эквивалентности позволяет гарантировать сходимость итеративного процесса решения.

Декомпозиционное решение задачи оптимального слежения возможно использованием для одноуровневой структуры управления многоуровневой структуры решения для задач (11.15).

Многоуровневый процесс решения одноуровневых задач (уравнений) использует свойства монотонности и эквивалентности. Часть переменных фиксируется на нижнем уровне, а затем итеративно уточняется на верхнем уровне. В зависимости от того, какие переменные фиксируются, возможно использовать следующие известные методы:

1)прогнозирование взаимодействий (INPRE) модельная координация;

2)баланс взаимодействий (INBAL), целевая координация.

Определенное предпочтение следует отдать второму методу, где на нижнем уровне решения фиксируется двойственная переменная λr при уравнении связи компонент

R

{xr(t) – Σ Arωzω(t)}.

ω = 1, ω ≠ r

Значение λr итеративно определяется на верхнем уровне решения.

Учет векторного характера целевой функции (11.15) возможно осуществить, так. Первоначально для каждого r (r = 1, R) и каждого lr (lr = 1, Lr) находятся оптимальные решения url*(t) и координаты zrl*(t), yrl*(t), εrl*(t). Затем решается задача для объекта управления (11.15) и целевой функции

r = 1 l = 1 0

ur(t)]TRrl[url*(t) – ur(t)]}dt Æ min (11.16)

иопределяется компромиссное решение ur(t), координаты zr(t), yr(t), εr(t). Можно показать, что заданная степень устойчивости α при компромиссном решении сохраняется.

На этом процедура изучения свойств отдельных элементов уровней h = 1

иуровня h = 3 завершается и в соответствии с предлагаемой технологией расчета (рис. 3.1) далее исследуется взаимодействие элементов на одном уровне и уровней между собой.

235

При синтезе свойств уровня h = 2 возникает понятие «координация интересов (целевых функций)» элементов – горизонтальная координация.

Вертикальная координация («координация интересов» уровней) имеет место в двух случаях взаимодействия:

1)уровней h = 1 и h = 2;

2)уровней h = 2 и h = 3.

Назовем эти случаи соответственно первой и второй вертикальной координацией.

11.5. Координация работы элементов процесса управления

Рассмотрим первоначально процедуру горизонтальной координации. Этот процесс описан выражением (11.15) при B0k = 0. Он фактически представляет собой децентрализованное взаимодействие k-ых элементов.

Точность слежения существенно зависит от характера координации целевых функций k-ых элементов выражения (8.31), (8.32) и выражения (для k = fixe, k = 1, K)

zk(t) = Аkzk(t) + Bkuk(t) + ∑ Аkjzj(t) + wk(t),

j = 1, j ≠ k

zk(0) = zk0, yk(t) = Сkzk(t),

εk(t) = pk(t) - yk(t),

T

Jk =1/2εkт(T)Skεk(T) + 1/2∫{εkт(t)Qkεk(t) + ukт(t)Rkuk(t)}dt Æ min, k, j = 1, K, (11.17)

0

в котором учитывается воздействие остальных элементов.

Сумма в первом уравнении выражения (11.17) рассматривается как возмущение, действующее на k-ый элемент. Здесь по-прежнему возможны два случая:

1)целевые функции скоординированы;

2)необходима координация целевых функций.

Первый случай имеет место при соблюдении условия монотонности:

J(J1, …, Jk - 1, Jk, Jk + 1, …, JK) < J(J1, …, Jk - 1, Jk’, Jk + 1, …, JK),

если Jk < Jk’, где Jk (k = 1,К) – целевые функции отдельных элементов. Частным случаем этого условия является зависимость

K

J = Σ Jk(t).

k = 1

236

В случае монотонности точность слежения при скалярном и векторном критериях определяется способами, описанными в параграфе 3.2.

Во втором случае возникает задача децентрализованной координации (равноправных) элементов. Для этой цели удобно использовать игровой под- ход-равновесие по Нэшу, определяемое условием

Jk {u1*(t), …, uk - 1*(t), uk(t), uk + 1*(t), … uK*(t)} > Jk {u1*(t), …, uk - 1*(t), uk*(t),

uk + 1*(t), …, uK*(t)}.(11.18)

В реализации (11.18) вводится фиктивный элемент.

Процедура решения такой задачи – двухуровневая, итеративная, связанная с вопросом сходимости. К тому же для определения компромиссного решения на каждой итерации необходима информация и решения от других (К – 1) элементов. Такая информация избыточна для k-го элемента и часто не имеет места. В связи с этим предлагается следующая процедура.

1.Определяются решения uk*(t), координаты) для k = 1, К выражения

(8.31).

2.Находятся координированные решения uk(t) и координаты zk(t), yk(t), εk(t) из описания объекта управления (11.17) и целевой функции

K T

J = 1/2 Σ ∫{[yk*(t) – yk(t)]TQk[yk*(t) – yk(t)] + [uk*(t) –

k = 1 0

uk(t)]TRk[uk*(t) – uk(t)]}dt -Æ min,

где Qk, Rk – матрицы весовых коэффициентов.

Такой же прием возможно использовать при векторных критериях элементов, при этом uk(t) – оптимальные решения для k-го (многокритериального) элемента.

С окончанием исследования уровня h = 2 (горизонтальная координация) завершается изучение отдельных уровней и следует перейти к рассмотрению процедур межуровневого взаимодействия (вертикальной координации).

Первая вертикальная координация характеризуется межуровневым изменением масштабов по координатам. Оно описывается выражениями (11.17), (8.31), (8.32) при B0k = 0.

Надо отметить, что эквивалентность действия объектов управления двух уровней в сильной мере определяются горизонтальным взаимодействием.

Обсудим вопросы точности слежения, зависящие от координации целе-

вых функций (11.16), (8.31), (8.32) при B0k = 0.

Возможны два случая:

1)целевые функции скоординированы;

2)целевые функции требуется скоординировать. Первый случай имеет место при выполнении условия

237

K

J = Σ Jk

k =1

и монотонности критерия J.

Во втором, более общем случае применение для централизованного управления (с приоритетом уровня h = 2) децентрализованного игрового подхода (с ( К + 1)-м игроком) с равновесием по Нэшу проблематично.

В связи с этим предлагается алгоритм 11.2 приложения, аналогичный рассмотренному в процессе планирования.

Перейдем к обсуждению процесса второй вертикальной координации. Процесс взаимодействия уровней h = 2 и h = 3 описывается выражениями (1.18), (1.19), необходимо скоординировать целевые функции.

Удобно представить объект управления (8.31), (8.32) в векторной форме:

.

μz(T) = Аz(T) + Bu(T) + B’0U0(T),

y(T) = Сz(T), (11.19)

.

Z0(T) = А0Z0(T) + А’z(T) + B’0U0(T),

Y0(T) = С0Z0(T), (11.20)

где z(T) = {zkT(T), k = 1, K}T, B = quasi diag {Bk, k = 1, K}, B0’ = {B0kT, k = 1, K},

A = {AkjT, k, j 1, K}, A’ = {Ak0T, k = 1, K}T, C = quasi diag {Ck, k = 1, K}.

Заметим, что последние выражения описывают разномасштабную по времени (с быстрой и медленной составляющими) систему, имеющую связанные элементы на нижнем (h = 2) уровне. В силу разномасштабности полезно обратиться к аппарату описания сигнулярно возмущенных систем.

Для этого выделим в (11.19), (11.20) медленную и быструю составляющие Полагая в (11.21) μ =0 и det A ≠ 0, получим

z’(T) = - A - 1B’0U’(T) - A - 1Bu’(T) (11.21)

Подставляя (11.21) в (11.20), найдем

.

ZS(T) = А0ZS(T) + B1US(T) + B2uS(T),

YS(T) = С0ZS(T), (11.22)

где B1 = (B0 - A’A - 1B0), B2 = - A’A - 1B0, ZS(T) – медленная составляющая.

Быстрая составляющая определяется выражением

.

μzf(T) = Аzf(T) + Buf(T) + B’0Uf(T),

238

yf(T) = Сzf(T), (11.23)

Разделение процессов на медленную и быструю составляющие (11.22) и (11.23) позволяют анализировать последние порознь: первоначально быструю, а затем медленную.

Для изучения точности слежения используем выражения (8.31), (8.32) с записью объекта управления в виде (11.22), (11.23) и исследуем случай, когда необходима координация целевых функций при скалярных критериях уровней. Можно предложить алгоритм 11.3 приложения.

Получается, следовательно, координированное решение для специфической двухуровневой системы с разными масштабами процессов по времени и координатам.

Следует отметить, что такой же алгоритм может быть использован при векторных критериях в описании (8.31), (8.32).

Таким образом, линейно-квадратичная оптимизация хорошо учитывает динамические свойства автоматизированной системы, однако интерпретация экономических свойств проблематична даже при предположении, что минимизации квадрата затрат (потерь) соответствует минимизация первой степени затрат.

Вэтом отношении притягательным является применение для оценки динамических свойств аппарата динамического линейного программирования, с помощью которого легко учесть экономические интересы как структурных элементов, так и самой автоматизированной системы.

Вто же время при оценке динамических свойств имеются определенные осложнения, которые требуют более тщательной оценки возможностей ДЛП.

Некоторые особенности применения ДЛП освещены в приложении 10.

Контрольные вопросы

1)Приведите достоинства и недостатки метода моментов.

2)Дайте постановку задачи для динамического линейного программирования в статическом и динамическом случае.

3)Опишите динамический процесс в многоуровневой систем при изменении структурных связей.

4)Зачем нужно векторное свойство для динамических систем?

5)Каковы составляющие векторного свойства?

6)Назовите этапы технологии процесса управления.

7)Укажите последовательность решения с помощью декомпозиции.

8)Перечислите разновидности согласования интересов в системе, их особенности и способы достижения.

239

Глава 12. Процесс автоматизированного управления в производствах единичного типа

12.1. Требования к методам описания процессов и сравнительный анализ методов

С переходом к рыночным отношениям динамичность внешней среды резко возросла. Методы, использовавшиеся для плановой экономики, уже не в полной мере удовлетворяют новым требованиям.

Существующие новые разработки для динамичной внешней среды учитывают непосредственное влияние среды на предприятие. Оно сказывается на изменении таких параметров, как спрос, цена. Показано, что оперативная реакция на такие изменения наилучшим образом реализуется в производствах серийного типа.

Вто же время внешняя среда может влиять и опосредованно в виде ресурсного обеспечения. Даже в единичном типе производства в процессе разработки модификаций продукции и ее изготовлении возникают динамические возмущения, связанные с техническими, технологическими, экономическими и даже политическими факторами.

Сказанное относится и к процессу обслуживания произведенной продукции независимо от того, на производстве какого типа она изготовлена.

Вперечисленных условиях задача ставится следующим образом. Имеется потребность в ресурсах, поставка которых связана с жесткими сроками. Необходимо обеспечить производство при существенных ограничениях и/или при оптимизации экономических показателей.

Использование методов исследования серийного типа производства для единичного типа производств не представляется возможным.

Подтвердим сказанное анализом текущего состояния исследования процессов автоматизированного управления в условиях динамичной внешней среды.

Кметодам описания процесса автоматизированного управления следует предъявить такие требования:

А. Системность описания как для процесса проектирования, так и для процесса эксплуатации: составная модель из стыкующихся методов;

Б. Учет динамики внешней среды; В. Возможность исследования динамических свойств самой системы;

Г. Возможность работы в реальном масштабе времени; Д. Учет многомерности и многосвязности процессов в системе управле-

ния;

Е. Возможность описания как сложной структуры, так и функционирования системы управления;

Ж. Наглядность (иллюстративность) полученных результатов, что позволит улучшить понимание полученных результатов;