Matematika_Zaytsev_ch2

Приведём несколько достаточно очевидных и полезных на практике свойств б.м. и б.б. функций.

1)Произведение функций, б.б. при x → a, есть функция, б.б. при x → a.

Например, функция xn, n N – б.б. при x→ ∞.

2)Произведение функции, б.б. при x→ a, и функции, имеющей в точке конечный ненулевой предел, будет б.б. функцией при x→ a.

Например, функция x12 2x – б.б. при x→ 0.

3) Сумма ограниченной в некоторой окрестности U o( a ) точки a функции и б.б. функции при x→ a есть функция б.б. при x→ a.

Например, x + sinx, x + 1x – б.б. при x→ ∞.

4) Сумма двух функций, б.б. при x→ a, есть неопределённость вида (∞+∞). В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть различным.

При вычислении пределов таких функций при x→ a нужно применять специальные приёмы раскрытия таких неопределённостей. Об этом пойдёт речь позже.

2.2 Основные теоремы о пределах

Рассмотрим основные теоремы о пределах.

Теорема 7 (об единственности предела).

Если существует предел функции при х→ а, то он единственный.

Доказательство. Применим метод доказательства от противного. Допустим, что при х→ а функция f(x) имеет два предела b1 и b2, причем b1 ≠ b2. Тогда на основании теоремы 3 можем представить функцию f(x) в двух видах:

f(x) = b1 + α1(x) и f(x) = b2 + α2(x),

72

где α1(x) и α2(x) – б.м. функции при х→ а. Отсюда имеем b1 + α1(x) = b2 + α2(x) или α1(x) – α2(x) = b2 – b1. В левой части этого равенства – б.м. функция, а в правой – постоянная величина, не равная нулю. Мы пришли к противоречию, допустив наличие различных пределов у функции. Это доказывает теорему.

Теорема 8 (о пределе суммы, произведения и частного).

Если существуют конечные пределы функций f(x) и g(x) при х→ а, то существуют и пределы их суммы, произведения, частного и они равны соответственно сумме, произведению, частному пределов этих функций, т.е. справедливы ут-

β(x) – б.м. функции при х→ а. Проведем доказательство только утверждения (16), а (15) и (17) рекомендуем доказать читателю самостоятельно.

Имеем

f ( x )g( x ) = ( b1 +α( x ))( b2 + β( x )) = b1b2 +α( x )b2 + β( x )b1 +α( x )β( x ) .

Сумма последних трёх слагаемых в правой части этого равенства в силу теорем 4 и 5 является б.м. при х→ а, что, согласно теореме 3, означает справедливость (16).

Ясно, что (15) и (16) можно распространить на произвольное конечное число слагаемых и сомножителей.

Следствия.

1) При вычислении предела функции постоянный сомножитель С можно выносить за символ предела, т. е. lim ( C f ( x )) = C lim f ( x ) .

Теорема 9 (о переходе к пределу в неравенстве).

Если f(x) < g(x) при х→ а и существуют пределы этих функций, то

lim f ( x ) ≤ lim g( x ) .

x→a x→a

Если предположить, что b > 0, тогда |f(x) – g(x) – b| > b из-за того, что

f(x) – g(x)< 0. Но это противоречит условию |f(x) – g(x) – b| < ε, которое должно выполняться для любого сколь угодно малого ε > 0 согласно определению 2. Итак,

73

Следствие. Если при х→ а справедливо f(x) > 0 (соответственно f(x) < 0) и

lim f ( x ) = b , то b ≥ 0 (соответственно b ≤ 0).

x→a

Теорема 10 (“принцип двух милиционеров”).

Пусть f(x), g(x), h(x) - три функции такие, что f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) и пусть функции f(x) и h(x) имеют одинаковый конечный предел b при х→ а. Тогда функция g(x) имеет тот же предел при х→ а.

Доказательство. По условию теоремы с учётом определения предела существуют ε > 0 окрестности U1o( a ) и U2o ( a ) точки а, такие, что

| f ( x ) − b |< ε x U1o( a ) и | h( x ) − b |< ε x U2o( a ) .

Ясно, что x U1o( a ) IU2o ( a ) b −ε < f ( x ) < b + ε и b −ε < h( x ) < b + ε , или b −ε < f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ) < b + ε .

Отсюда следует |g(x) – b| < ε, что и доказывает теорему.

Теорема 11 (предел сложной функции).

Если функция y = f(x) имеет в точке а конечный предел b, причём f ( x ) ≠ b в

некоторой окрестности точки а, а функция g(y) имеет в точке b конечный предел с, то сложная функция g(f(x)) имеет предел в точке а и он равен с.

Доказательство. Из существования lim g( y ) = c следует, что

y→b

ε > 0 δ( ε ) > 0 : | g( y ) −c |<ε при |y – b| < δ.

Из существования lim f ( x ) = b следует, что для этого δ найдётся

x→a

δ1 > 0 : 0 < |x – a| < δ1 0 < |f(x) – b| < δ.

Следовательно, для таких x справедливо условие |g(f(x)) – с| < ε, а это означа-

ет, что lim g( f ( x )) = c .

x→a

Замечание. Эту теорему можно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменной при вычислении пределов сложных функций по формуле

lim g( f ( x )) = lim g( y ) ,

при выполнении условий теоремы 11. При этом говорят, что сделана замена

y = f(x). Теорема 11 и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек a, b, с будет соответствовать одной из бесконечно удалённых точек +∞ или –∞ (или их объединению ∞).

74

2.3 Два замечательных предела

Замечательными (из-за большого числа их приложений) называются пределы

Доказательство. Пусть х – центральный угол окружности единичного радиуса

определении 2 достаточно положить δ = ε для первого предела в (20) и δ = 2ε для второго. Вернёмся к двойному неравенству, которое можно записать в виде:

75

Таким образом, функция sinx x заключена между двумя функциями, имеющи-

ми при x→ 0 одинаковый предел, равный 1. Поэтому по теореме 10 получим (18).

Замечание. В силу теоремы 11 первый замечательный предел можно записать в более общей форме:

2. Выпишем второй замечательный предел

Число е является иррациональным числом. В курсе высшей математики важное значение имеют экспонента ех и натуральный логарифм ln x = loge x .

На первый взгляд результат в (21) довольно неожиданный: 1 + x → 1 при x→ 0, а единица в любой степени есть единица! Но из-за того, что показатель сте-

пени 1x при x→ 0 является б.б. функцией, а основание степени все же не единица,

хотя и отличается от нее при x→ 0 на б.м. функцию, предел не равен единице.

76

Доказательство (21) в данном пособии не приводится. Второй замечательный

предел позволяет, как говорят, «раскрыть» неопределённость типа (1∞). Используя теорему 11, предел можно записать в более общей форме:

α( x )→0

Второй замечательный предел имеет широкое применение. С его помощью находятся многие другие пределы.

3. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ

3.1 Определения непрерывности

Рассмотрим функцию f(x), определённую, по крайней мере, в некоторой окрестности U(a) точки a, так что в этой точке функция имеет определённое значение f(а). При введении понятия предела функции в точке а было подчеркнуто, что эта точка может и не принадлежать области определения функции, а если и принадлежит, то значение f(а) не играет никакой роли. При введении понятия непрерывности функции в точке её значение в этой точке играет решающую роль.

Определение 13. Функцию f(x) называют непрерывной в точке a, если в этой точке существует конечный предел функции и он совпадает с её значением f(а),

т.е. если

Замечание. Условие (23) можно еще записать следующим образом:

lim f ( x ) = f ( lim x ),

т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

77

Если раскрыть содержание этого определения на языке ε – δ, то можно сформулировать эквивалентное ему определение.

Определение14. Функцию f(x) называют непрерывной в точке a, если

Если сравнить условие (24) непрерывности функции в точке a с определением предела в этой точке, то видно, что различие состоит в замене значения b предела

на значение f(а) функции и в дополнении к проколотой δ – окрестности точки a самой этой точки.

Обратим внимание на существенную сторону определения непрерывности

функции на языке ε – δ. Это определение говорит о том, с какой точностью надо задавать значения аргумента функции для того, чтобы получить значения функции с заданной точностью. Именно эта практическая сущность данного определения

позволяет понять, почему так много внимания уделено изложению на языке ε – δ понятия предела и непрерывности.

Приведём еще одно определение непрерывности функции, которое по существу

является перефразировкой определения 13. Для этого lim f ( x ) = f ( a ) запи-

x→a

шем в равносильном виде lim ( f ( x ) − f ( a )) = 0 . Разность x – a называется

( x−a )→0

приращением аргумента x в точке a и

обозначается, как правило, ∆x , а раз-

ность f(x) – f(а) – приращением функ-

ции f(x) в точке a, вызванным приращением аргумента ∆x , и обозначается ∆y или ∆ f ( a ) . Таким образом,

∆x = x – a, ∆y = ∆ f ( a ) =

= f(x) – f(а) = f(a + ∆x ) – f(а).

Рисунок 8

Геометрический смысл приращений ясен из рисунка 8, на котором и ∆x и ∆y

положительны. В общем случае каждое из них может иметь любой знак. Используя новые обозначения, можно дать еще одно эквивалентное определе-

ние непрерывности функции.

Определение 15. Функцию f(x) называют непрерывной в точке a, если

∆x→0 ∆x→0

т.е. б.м. приращению аргумента должно соответствовать б.м. приращение функции.

Это определение для практического использования бывает иногда более удобным, и им будем также пользоваться.

78

Определение 16. Функцию f(x) называют непрерывной слева (справа) в точке а, если в этой точке существует конечный левосторонний (правосторонний) предел функции и он совпадает с её значением f(а).

Если функция определена на отрезке [a, b], то по отношению к граничным точкам a и b можно говорить лишь о непрерывности функции справа в точке a или слева в точке b. Непрерывность функции в любой внутренней точке промежутка равносильна непрерывности функции в такой точке справа и слева, так как существование предела в точке равносильно существованию и равенству односторонних пределов в этой точке (см. теорему 2).

Итак, в точке a непрерывности функции f(x) должны быть выполнены все следующие условия:

1)функция определена в точке a и в некоторой её окрестности;

2)существуют оба односторонних предела функции в точке а и они конечны;

3)оба односторонних предела функции в точке a совпадают, т.е.

f(a – 0) = f(a + 0);

4) совпадающие односторонние пределы функции в точке a равны значению функции в этой точке, т.е.

f(a – 0) = f(a + 0) = f(a).

3.2 Точки разрыва

Функцию, не являющуюся непрерывной в точке a, называют разрывной в этой точке, а саму точку a – точкой разрыва этой функции.

Таким образом, функция будет разрывной в точке a, или, говорят, функция терпит разрыв в точке a, если будет нарушено хотя бы одно из условий 1) – 4) непрерывности функции в точке.

Классификация точек разрыва дается в зависимости от того, какие условия будут нарушены.

Точкой разрыва первого рода называют такую точку разрыва функции, в которой существуют оба односторонних предела этой функции и они конечны, т.е. выполнено, по крайней мере, условие 2 непрерывности функции в точке.

79