Matematika_Zaytsev_ch2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f ( n ) ( x ) = cos x + n

, f ( n ) ( 0 ) = cos

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Найдём коэффициенты Ai (i = 0, 1, 2, ..., n) в этом многочлене. Для этого продифференцируем это равенство n раз подряд:

P / (x) = A1 + 2A2(x − a) + 3A3(x − a)2 +...+ nAn(x − a)n − 1 , P // (x) = 2 1 A2 + 3 2A3(x − a) +...+ n(n −1)An(x − a)n − 2 , P /// (x) = 3 2 1A3 +...+ n(n −1)(n−2)An(x – a)n − 3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P (n) (x) = n(n −1)(n −2) ... 2 1 An.

Дальнейшие производные равны нулю. Полагая в этих равенствах x = a, получим

P(a) = A0 ,

P /(a) = A1,

P //(a) = 2!A2 ,

P ///(a) = 3!A3, ...,

P(n)(a) = n!An,

отсюда

A0 = P(a), A

P′( a )

A =

P′′( a )

A =

P′′′( a )

, ... ,

A =

P( n )( a )

Таким образом, коэффициенты многочлена выражаются через значения многочлена и его производных в точке x = a. Подставим их выражения в P(x):


	′		′′		P	( n )	( a )
P( x ) = P( a ) +	P ( a )	( x − a ) +	P ( a )	( x − a )2 + ...+				( x − a )n . (3)
	1!		2!			n!

Полученное равенство называется формулой Тейлора для многочлена n-й степени.

Формула Тейлора даёт возможность многочлен P(x) по степеням x записать по степеням x− a. Этой формулой удобно пользоваться при вычислениях P(x) для значений аргумента, близких к а. В этом случае, начиная с некоторой степени x–a, слагаемыми из-за их малости можно пренебречь и, тем самым, упростить вычисление.

В частном случае при a = 0 формула Тейлора приобретает вид

P( x ) = P( 0 ) +

P′( 0 )

x +

P′′( 0 )

+ ...+

P( n ) ( 0 )

(4)

− формула Маклорена для многочлена.

Пример 7. Записать многочлен

P(x) = 8 − 4x + 3x2 − x3 по степеням x − 2.

• P / (x) = − 4 + 6x

− 3x2,

P // (x) = 6 − 6x,

P /// (x) = − 6.

P(2) = 4, P / (2)

= − 4,

P // (2) = − 6,

P /// (2) = − 6.

Поэтому, P(x) = 4 − 4(x − 2) − 3(x − 2)2 − ( x − 2)3 .

•

Переходим к рассмотрению произвольной функции y = f(x), которая имеет производные до n - го порядка включительно в некоторой окрестности точки x = a.

Составим многочлен

129

P( x ) = f ( a ) +	f ′( a )	( x − a ) +	f ′′( a )		( x − a )2 + ...+	f ( n ) ( a )		( x − a )n ,
	1!		2!			n!

который будем называть многочленом Тейлора n-й степени для функции f(x).

Легко убедиться, что этот многочлен и его производные (до n-го порядка включительно) в точке x = a имеют те же значения, что и функция f(x) и её производ-

ные, т.е.

f(a) = P(a) , f( i)(a) = P( i)(a) при i =1, 2, …, n.

Однако, если сама функция f(x) не является многочленом (этот случай был рассмотрен только что), то уже нельзя утверждать, что f(x) = P(x). Часто оказывается, что разность между f(x) и P(x) мала. В этом случае многочлен Тейлора оказывается хорошим приближённым выражением для f(x). А так как P(x) − обычный алгебраический многочлен, вычисление которого не вызывает никаких затрудне-

ний, то приближенное равенство f(x) ≈ P(x) даёт средство вычислять функцию

f(x) c помощью многочлена Тейлора.

В связи с этим, приобретает интерес оценка разности rn(x) = f(x) − P(x).

Равенство f(x) = P(x) + rn(x) или, в более подробной записи,

f ( x ) = f ( a )+	f ′( a )	( x −a )+	f ′′( a )	( x −a )2 + ...+		f ( n )( a )	( x −a )n +r ( x ) (5)

1!		2!				n!	n

называется формулой Тейлора для функции					f(x) по степеням x – a или в окре-
стности точки a, при этом функция rn(x)					называется остаточным членом
формулы Тейлора.

Остаточный член может быть записан в разных формах, получим две из них, наиболее часто встречающиеся.

Теорема 5. Если функция f(x) непрерывно дифференцируема n раз в окрестно-

сти точки x = a (т.е.

f(n)(x) − непрерывная функция), то

r ( x ) = o(( x − a )n )

т. е. при

x → a

функция rn(x) − бесконечно малая более высокого порядка, чем

(x – a)n

(остаточный член в форме Пеано ).

Доказательство. Вычислим lim

rn ( x )

, применяя правило Лопиталя для

x→a ( x − a )n

раскрытия неопределённости вида 0

(напомним, что r ( a ) = r( i ) ( a ) = 0 при

i = 1, 2, …, n ) :

f ′( x ) − P′( x )

lim

rn ( x )

= lim

f ( x ) − P( x )

= lim

( x − a )n

n( x

− a )n−1

x→a ( x − a )n

x→a

130

= lim	f ′′( x ) − P′′( x )	0	= ... = lim	f ( n ) ( x ) − P( n )	( x )		0	= 0 .
		=				=
				n( n − 1 ) ... 2	1		n!
x→a n( n − 1 )( x − a )n−2		0	x→a
Теорема доказана. Итак, формулу (5) теперь можно записать в виде:

′

′′

( n)

(a)

f( x)= f (a)+

f (a)

( x−a)+

(a)

( x−a)2 +...+

( x−a)n +o(( x−a)n ) (6)

− формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание.

При n = 1 формула Тейлора имеет вид

f ( x ) = f ( a ) + f ′( a )( x − a ) + o( x − a ) .

Так как x − a = ∆x – приращение аргумента,

∆ f = f ( x ) − f ( a ) −прираще-

ние функции, то получим известное ранее соотношение

∆ f = f ′( a )∆x + o( ∆x ) = df + o( ∆x ) .

Таким образом, от использования дифференциала (линейного приближения функции) с помощью формулы Тейлора можно перейти к более точному приближению функции многочленом n - й степени.

Пример 8. Записать для функции f(x) = lnx формулу Тейлора в окрестности точки x = 1 с остаточным членом в форме Пеано.

• Вычислим значения функции и её производных при x = 1:

f(x) = lnx , f(1) = ln1 = 0;

′

( 1 ) = 1 ;

= x ,

( x ) = (ln x )

′′

1 ′

−1 ′

−2

′′

( 1 )

= −1 ;

( x ) =

= ( x

) = −1

′′′

( x ) = ( −1 x

−2

′

−3

′′′

( 1 ) = 1 2 ;

) = 1 2 x

( 4 )

( x ) = ( 1 2

−3 ′

−4

( 4 )

( 1 ) = −1 2 3.

) = −1

Нетрудно заметить, что

f(n)(x) = (−1)n − 1(n−1)!x− n,

поэтому f(n)(1) = (−1)n − 1(n−1)!.

Напомним, что 0! = 1. Итак, согласно (6)

(при a = 1):

−1

1 2

−1 2 3

ln x =

0 +

( x − 1 ) + 2!

( x − 1 )

( x − 3 )

4 !

( x − 3 )

+K+

( −1 )n−1 ( n − 1 )!

( x − 1 )n + o(( x − 1 )n

) =

= x −1− 21( x −1)2 + 13( x −1)3 − 41( x −1)4 +...+(−1)n−1 n1( x −1)n +o(( x −1)n ).•

Теорема 6. Если функция f(x) непрерывно дифференцируема (n + 1) раз в окрестности точки x = a , то

131

r ( x ) =	f ( n+1 ) ( c )	( x − a )n+1	,

n	( n + 1 )!

где с − некоторая точка между а и x (остаточный член в форме Лагранжа).

Доказательство. Т.к. rn(x) = f(x) − P(x), то rn ( a ) = rn′( a ) = ... = rn( n ) ( a ) = 0.

Рассмотрим функцию g(x) = (x – a)n+1 . Эта функция обладает такими же свойствами: g(a) = g′(a) = ... = g(n)(a) = 0. В дальнейшем будем считать, что x > a (случай x < a аналогичен). Проведём преобразование:

rn ( x )

rn ( x ) − rn ( a )

= (применяем теорему Коши)

rn′( c1 )

( a, x ).

g( x )

g( x ) − g( a )

g′( c1 )

Повторим аналогичные преобразования:

rn( x )

′

′′

( n )

(a )

( n+1 )

(c )

rn(c1 )

(c1 )−rn(a )

rn(c2 )

...=

(cn )−rn

g( x ) g′(c1 ) g′(c1 )− g′(a ) g′′(c2 )

g( n )(c )− g( n )(a ) g( n+1 )(c )

где a < c < c n<

< c1 < x.

...

Заметим, чтоrn( n+1 ) ( c ) = f ( n+1 )( c ) − P( n+1 ) ( c ) = f ( n+1 ) ( c ) , а g(n+1)(c)=(n+1)!

r ( x )

f ( n+1 ) ( c )

n+1

Поэтому

отсюда r ( x ) =

( x − 1 )

, что и тре-

g( x )

( n + 1 )!

бовалось. В этом случае

′

′′

(n)

(a)

(n+1)

(c)

n+1

f (a)

f( x)= f(a)+

( x−a)+

( x−a)

+...+

( x−a) +

(x−a)

(7)

(n+1)!

–− формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Часто формула Тейлора применяется при a = 0 (т.е. в окрестности нуля). В этом частном случае её называют формулой Маклорена. Например, если остаточный член взять в форме Лагранжа, то формула Маклорена имеет вид:

′

′′

( n )

( 0 )

( n+1 )

( c )

n+1

f ( x ) = f ( 0 ) +

f ( 0 )

x +

f ( 0 )

+ ...+

, (8)

( n +

1 )!

где с − точка между нулём и x. Заметим, что такая промежуточная точка с обязательно существует, но нет способа её нахождения в общем случае.

Рассмотрим примеры разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Пример 9. Разложить функцию f(x) = ex в окрестности x = 0. С помощью полученного разложения вычислить e с точностью до 0,01.

• Так как (ex)(k) = ex , то f(0) = f(k)(0) = 1 k =1, 2, ... . Подставляем эти ре-

зультаты в формулу Маклорена (8):

132

e x = 1 +	x	+	x	2	+ ...+	xn	+	ec	xn+1 .	(9)
	1!			!		n!		( n + 1 )!
		2

Чтобы вычислить e = e 1, нужно применить полученную формулу при x = 1:

e = 1 +	1	+	1	+ ...+	1	+	ec	, где 0 < c < 1. Точное значение нет возмож-
	1!		2!		n!		( n + 1 )!

ности получить, т.к. в правой части присутствует неизвестное значение с. Если отбросить остаточный член, то получим приближённое равенство

e ≈ 1 +

+ ...+

и ошибка (погрешность) равна r ( 1 ) =

. Ясно,

( n + 1 )!

что rn → 0

при

n → ∞ .

Поэтому необходимо

определить

такое n, чтобы

r ≤ 0 ,01 . Т. к. 0 < c < 1, то 0 < ec < e < 3, а, значит, r <

. Итак, должно

( n + 1 )!

< 0,01 ( n + 1 )! > 300 .

( n + 1 )!

При n = 5 требуемое неравенство выполняется, поэтому с заданной точностью

e ≈1+

= 1+1+

326

= 2,71(6 ) ≈ 2,72 .•

120

Пример 10.

Разложить функции cos x и sin x в окрестности x = 0.

• Вычислим вначале для функции f(x) = cos x:

f ( 0 ) = cos 0 = 1;

f ′( x ) = − sin x

= cos

f ′( 0 ) = 0 ;

x +

f ′′( 0 ) = −1;

f ′′( x ) = −cos x = cos x +

x + 3

f ′′′( 0 ) = 0 ;

f ′′′( x ) = sin x = cos

f ( 4 ) ( 0 )

= 1;

f ( 4 ) ( x ) = cos x = cos x +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заметим, что f (2k−1) (0) = 0, а f (2k) (0) = (−1)k.

Итак, формула Маклорена для функции cos x:

	x2		x4		x6	k	x2k
cos x = 1 −		+		−		+ ...+ ( −1 )		+ r	+1	( x ).	(10)
cos x = 1 −		+		−		+ ...+ ( −1 )		+ r		( x ).	(10)
	2!		4!		6!		( 2k )!	2k
	2!		4!		6!		( 2k )!
						133

Приведём вид остаточного члена: r2k+1(x) = o(x2k+1) (в форме Пеано);

			cos( c +( 2k + 2 )		π )		k+1	cosc
r	+1	( x ) =			2	x2k+2 =	( −1)	cosc	x2k	+2 (в форме Лагранжа).
r		( x ) =				x2k+2 =			x2k	+2 (в форме Лагранжа).
2k			( 2k	+ 2 )!			( 2k + 2 )!
			( 2k	+ 2 )!			( 2k + 2 )!

134

Легко увидеть, что

( x )

≤

x2k +2

x .

2k +1

( 2k

+ 2 )!

Например, для формулы cos x ≈ 1 −

погрешность

r ( x )

≤

Аналогично, для функции

f(x) = sin x имеем (рекомендуем читателю само-

стоятельно получить результат):

sin x = x −

−

+ ...+ ( −1 )k −1

x2k −1

+ r

( x ) ,

(11)

7 !

( 2k − 1 )!

где остаточный член r2k(x) = o(x2k) (в форме Пеано);

sin( c + ( 2k + 1 )π

)

( x ) =

x2k +1

( −1 ) cos c

x2k +1

(в форме Лагранжа).

( 2k + 1 )!

Также, легко получить оценку для остаточного члена:

( x )

≤

2k +1

x .

( 2k + 1 )!

Например, формула sin x ≈ x −

имеет погрешность

r ( x )

≤

. •

5 !

Пример 11. Разложить функцию f(x) = (1+x)a, a R в окрестности точки x = 0.

• Вычислим

	f ( 0 ) = ( 1 + 0 )a = 1;
f ′( x ) = (( 1 + x )a )/ = a( 1 + x )a−1 ,	f ′( 0 ) = a;
f ′′( x ) = a( a − 1 )( 1 + x )a−2 ,	f ′′( 0 ) = a( a − 1 );
f ′′′( x ) = a( a − 1 )( a − 2 )( 1 + x )a−3 ,	f ′′′( 0 ) = a( a − 1 )( a − 2 );

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ( n )( x ) = a( a − 1 )( a − 2 )...( a − n + 1 )( 1 + x )a−n ,

f ( n )( 0 ) = a( a − 1 )( a − 2 )...( a − n + 1 )

Итак,

a( a −1 )

a( a −1 )...( a − n + 1 )

( 1 + x )

= 1 +

x +

+ ...+

+ r ( x ) , (12)

где остаточный член имеет вид:

a( a − 1 )...( a − n )

rn(x) = o(x n )

или r ( x ) =

( 1 + c )a−( n+1 ) xn+1 .

( n + 1 )!

134

В частности, например, при n = 2 и a =

имеем

1 + x = 1 +

−

+ o( x2 ) .

•

Пример 12.

Разложить функцию f(x) = ln(1+x) в окрестности точки x = 0.

• Имеем:

f ( 0 ) = ln( 1 + 0 ) = 0;

′

−1

′

( x ) = 1

+ x

= ( 1 + x )

( 0 ) = 1;

f ′′( x ) = −1( 1 + x )−2 ,

f ′′( 0 ) = −1 = −1!

′′′

−3

′′′

2 = 2!;

f ( x ) = (

−1 )( −2 )( 1 + x )

f ( 0 ) = 1

f ( 4 )( x ) = ( −1 )( −2 )( −3 )( 1 + x )−4 ,

f ( 4 )( 0 ) = −1 2 3 = −3!;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ( n )( x ) = ( −1 )( −2 )( −3 )...( −n + 1 )( 1 + x )−n , f ( n )( 0 ) = ( −1 )n−1 ( n − 1 )! .

Итак,

ln( 1 +

где rn(x) = о(xn )

	x2		x3		x4	n−1	xn
x ) = x −		+		−		+ ...+ ( −1 )		+ r ( x ) ,	(13)
x ) = x −		+		−		+ ...+ ( −1 )		+ r ( x ) ,	(13)
	2		3		4		n	n
	2		3		4		n


или r ( x ) =	( −1 )n		xn+1	. •

n	( 1	+ c )n+1 n + 1

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано является эффективным

Допустим, что функции f(x) и g(x) таковы, что их можно разложить по формуле Тейлора в точке x = a. Сделаем это, ограничиваясь в разложении лишь первым ненулевым членом:

f(x) = A(x − a)m + о((x − a)m),	A≠0,
g(x) = B(x − a)k + о((x − a)k),	B≠0.

Члены A(x − a)m и B(x − a)k называются главными частями функций f(x) и g(x)

при x→ a. Нетрудно убедиться, что

lim	f ( x )	= lim	A( x − a )m + o(( x − a )m )	= lim	A( x − a )m	,
			B( x − a )k + o(( x − a )k )
x→a g( x )		x→a		x→a B( x − a )k

т. е. предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их главных частей.

135

Это правило можно применять при вычислении пределов, если использовать известные разложения элементарных функций и их простейших комбинаций.

Пример 13. Вычислить предел lim

x − sin x

x→0 e x − 1 − x − 0.5 x2

• Разложим функции x − sinx и

ex − 1 − x − 0,5x2 по формуле Маклорена при

n = 3, используя известные разложения для sinx и ex

(см. (9) и (11)):

x − sin x = x − x

−

+ o( x3 )

+ o( x3

e x − 1 − x − 0 ,5 x2 = 1 +

+ o( x3 ) − 1 − x − 0 ,5 x2 =

+ o( x3

Итак, lim

x − sin x

= lim

x3 / 6

= 1. •

x3 / 6

x→0 e x − 1 − x − 0 ,5 x2

x→0

1 + x +

ln( 1

− x ) − 1

Пример 14. Вычислить предел lim

• Имеем

x→0

1 1

−

1 + x = ( 1 + x )

= 1 +

x +

2 2

+ o( x2 ) = 1 +

−

+ o( x2

ln( 1 − x ) = ln( 1 + ( −x )) = −x −

+ o( x2

1 + x

ln( 1

− x ) −

1 +

−

−x −

−1

Поэтому lim

= lim

= −

•

x→0

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

2.1 Признаки возрастания и убывания функции

Вначале напомним определения. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и x1, x2 – любые две точки этого отрезка, для которых выполнено условие x1 < x2. Функцию f(x) называют на [a, b]

1)возрастающей, если f(x1) < f(x2);

2)неубывающей, если f(x1) ≤ f(x2);

3)убывающей, если f(x1) > f(x2);

4)невозрастающей, если f(x1) ≥ f(x2).

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на [a,b], причем в

136

случаях 1) и 3) говорят, что функция строго монотонная, а в случаях 2) и 4) – просто монотонной.

Замечание. Для возрастающей функции приращение аргумента ∆x и соответ-

ствующее приращение функции ∆ f = f ( x + ∆x ) − f ( x )					имеют	одинаковый
знак, поэтому			∆ f	> 0. Для убывающей функции ∆x и ∆ f	имеют разные знаки,

	∆ f		∆x
поэтому		< 0.

	∆x
Теорема 7 (признак монотонности функции).						′
Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке					[a,b] и
						f ( x ) ≥0

( f ′( x ) ≤ 0 ) x [ a ,b ] . Тогда функция f(x) – неубывающая (невозрастающая) на отрезке [a, b].

Доказательство проведём, например, для случая f ′( x ) ≥ 0 . Возьмём любые два числа x1, x2 [a, b]: x1 < x2 . Для дифференцируемой функции f(x) на [x1, x2]

можно записать	формулу		Лагранжа: f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′( c )( x2 − x1 ) ,				где
c ( x1 , x2 ).	Так	как	x2 − x1 > 0,	f ′( c ) ≥ 0	(по	условию),	то
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≥ 0		или	f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , т.е функция не убывает. Доказатель-
ство для случая	f ′( x ) ≤ 0 аналогично.
Замечание.	Аналогично предыдущему			доказывается,	что	′
						если f ( x)>0

( f ′( x ) < 0 ) x [ a,b ] , то функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке [a, b].

Сформулируем правило исследования на возрастание и убывание функции,

дифференцируемой всюду в её области определения, за исключением, быть может, конечного числа точек:

1) Находим точки из области определения функции f(x), в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими точками 1-го рода, они разбивают область определения функции f(x) на интервалы монотонности (так как на каждом из них производная f ′( x ) сохраняет знак).

		2) Исследуем знак f ′( x ) на каждом из этих интервалов. Если на рассматри-
ваемом интервале f ′( x ) > 0 , то это интервал возрастания, если же							f ′( x ) < 0 , то
это интервал убывания.								1
		Пример 15. Найти интервалы монотонности функции f ( x ) = x +							.

					определения функции: ( −∞, 0 ) U ( 0 , +∞ ) . Её			x
		•	Область					производная
	′			1		существует в области определения функции f(x)	и f			′	( x ) = 0
f		( x ) = 1 − x2

при			x = ±1 . Точки (−1); 0; 1 разделяют область определения функции на интер-
					137

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20151.73 Mб316matem-up1.pdf
#
14.02.201554.78 Кб17Matematika-i-statistika-12-RiSO-B.doc
#
14.02.2015543.23 Кб30matematika_ekzamen - .doc
#
14.02.20152.69 Mб320matematika_metod_posobie.docx
#
14.02.20151.69 Mб232Matematika_ryad.doc
#
14.02.20152.17 Mб54Matematika_Zaytsev_ch2.pdf
#
14.02.20158.95 Mб92matematike_fepo_s_otvetami.doc
#
24.08.20193.22 Mб24materialoved.doc
#
14.02.2015899.5 Кб40mcad_pract.pdf
#
14.02.2015203.78 Кб25mech.doc
#
15.11.2019323.76 Кб7Meeting clients.docx