Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_Zaytsev_ch2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Так как на границе области функция u = 0 и u > 0 внутри области, то в найденной точке M достигается для функции наибольшее значение.

Итак, наибольшее значение u = c4, если x = y = z = t = c.

Отметим, что результат будет аналогичным для любого числа сомножителей. •

21. Среди всех треугольников данного периметра 2p найти тот, площадь которого S наибольшая.

• Пусть x, y, z означают стороны треугольника. По теореме Герона имеем

S = p( p − x )( p − y )( p − z ) .

Задача сводится к нахождению наибольшего значения для произведения положительных чисел u = (p – x)(p – y)(p – z) при условии, что их сумма постоянна:

(p – x) + (p – y) + (p – z) = 3p – 2p = p.

Как следует из решения предыдущей задачи, для этого все множители должны

быть равны, так что

x = y = z =

2 p

Итак,

треугольник

должен быть равносторонний и его площадь

2 p 3

S =

p p −

− наибольшая среди всех треугольников с заданным

периметром 2p.

•

4.2 Задачи для самостоятельного решения

1. Найти и изобразить область определения следующих функций:

1) z = ln(− x − y);			2)	z =	x2 − y2 ;
3) z = arcsin	y	;	4)	u =	x + y − z	.
	x2				4 − x2 − y2 − z2

2. Выразить площадь S треугольника как функцию длин двух его сторон x и y, если его периметр равен 2p. Найти область определения этой функции.

3. Вычислить пределы:

lim

sin( xy )

;

lim

sin( xy )

;

x→0

y→0

lim ( x2 + y2 )tg

;

lim

ln( 1 + 2xy )

;

x2 + y2

x→∞

x→1

x2 y

y→∞

y→0

x2 − y2

lim

;

lim ( 1 + xy )x

+xy .

x2 + 2 x − xy −

x→2

2 y

x→0

y→2

207

4. Показать, что функция

f ( x , y ) =

2 x − y

не имеет предела в точке (0; 0).

x + 2 y

5. Найти точки разрыва следующих функций:

1) z =

5 x

;

2) z =

x − y

;

( x −

− y

1 ) + y

z =

;

4) u =

x2 + y2

− z2

6. Найти частные производные функций:

z =

;

z =

;

x − y

x2 + y2

−xy

z =

cos y2

3) z = xe

;

z = ln(

x −

y ) ;

z =

arcsin

;

7) u = sin2(3x + 2y − z);

u =

;

x − y

u =

−

;

10)

u =

z − t

7. Найти:

′′

2x + 3y − 1;

fxx +

fxy

+ f yy

в точке M(3; 2), если f(x, y) = x

y + xy –

′′′

в точке

M(0; 1), если

f ( x, y ) = e

x2 y

;

fxxx ,

fxxy , fxyy ,

f yyy

∂ 4 f

∂

4 f

в точке M(1; 0), если f(x,

y) = ln(x − y);

∂ x4

∂ y4

′′′

xyz

fxyz ( 1; 1; 1 ) , если f(x, y, z) = e .

8. Вычислить приближённо (с точностью до 0,01):

( 1,02 )3 + ( 1,97 )3

;

2) ( 2,01 )3,03 .

9. Вычислить:

, если u =

, где x = e ,

y = lnt,

z = t

– 1;

∂ z

, если z = ln(e + e ), где

y =

+ x ;

∂ x

208

∂ z

, если z = u

lnv, где u

v = x

+ y ;

∂ x

∂ y

du, если u = xy + yz + xz, где x = s + t, y = s − t, z = − s.

10. Найти указанные производные функций, заданных неявно:

, если x2 + 2xy + y2 − 4x + 2y − 2 = 0;

y=1

x=1

, если x + y = ex − y − 1;

y=0

x=0

∂ z

в точке (1; −2; 2), если z −

4xz + y = 4;

∂ x

∂ y

в точке (0; 1; 2), если

y ln( x + y ) −

= 0 .

∂ x

∂ z

11.Разложить по формуле Маклорена, взяв n = 2, следующие функции:

1)f(x, y) = exsiny; 2) f(x, y) = cos(x–y2).

12.Найти производную функции z = x2 – xy – 2y2 в точке M0(1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 600.

13. Найти производную функции z = ln x2 + y2 в точке M0(1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.

14.Найти производную функции u = xy + yz + zx в точке M0(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке M1(5; 5; 15).

15.Найти градиенты и их модули для указанных функций в точке M0:

1) z = x3 + y3 – 3xy, M0(2; 1);	2) z = x2 − y2 ,	M0(5; 3);
3) u = xyz, M0(1; 2; 3);	4) u = x2 + y2 + z2,	M0(2; 0; –1).

16. Каково направление наибольшего изменения значений функции

u = xsinz – ycosz в начале координат? Какая скорость изменения значений функции в этом направлении и в этой точке?

			1		r		16	r
17.	Найти точку, в которой градиент функции	z = ln x +		равен	i	−		j .
							9
			y

18. Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей P и

нормалей N в указанных точках:
1) z = xy, M0(1; 1; 1);	2)	z =	x2 + y2 , M0(3; 4; 5);
3)x3+y3+z3+xyz = 6, M0(1; 2; –1);	4)	4 +	x2 + y2 +z2 = x + y +z , M0(2;3; 6).
	209

19.В каких точках эллипсоида x2 + 2y2 + z2 = 1 касательная плоскость параллельна плоскости x – y – 2z = 0?

20.Исследовать на экстремум следующие функции:

1) z = x2 + xy + y2 – 3x – 6y;	2) z = y2 – x2 + xy – 2x – 6y;
3) z = y x − y2 − x + 6 y ;	4)	z = ex 2 ( x + y2 ) ;
5) z = 2xy – 4x – 2y;	6)	z = ( 2 x2 + y2 )e−( x2 + y2 ) .

21. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции z = f(x, y) в

замкнутой области G:
1)	f(x, y) = x2 + y2 – xy – x – y,	G:	x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3;
2)	f(x, y) = x2 + 2xy – 4x + 8y,	G:	0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2;
3)	f(x, y) = xy, G: x2+y2 ≤ 1.

22.Определить размеры цилиндра наибольшего объёма при условии, что его полная поверхность равна S = 6π.

23.На плоскости OXY найти точку M(x, y), сумма квадратов расстояний которой от трёх прямых: x = 0, y = 0, x – y + 1 = 0 была бы наименьшей.

24.Из всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найти треугольник наибольшего периметра.

25.Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между x и y в виде линейной функции y = ax + b, если:

X	− 1	0	1	2
Y	− 3	− 2,5	− 2	0

X	− 2	0	1	2	3
Y	5	2	− 2	− 3	− 5

210

ОТВЕТЫ к задачам для самостоятельного решения

Глава 1

1. A1 = {x : x = 2n – 1 n N }; A2 = {x : x = 7n n N }; A3 = ;

A4={1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80; 160};		А5 ={−			3 ;	3} ; A6={\|y\|i: y R}.
1			1		3		1		3

2. A = {1; 2; 3; 4}; В = {1 }; C =	; D	= −		+ i		; −		− i		.
			2		2		2		2
2

3. A = {(2n – 1)2, n N}; В = {n(n + 1) , n N};

D ={( −1 )n−1 n2 , n N} ;

C =

, n N

;

( 4n

− 3 )( 4n

+ 1 )

n 2n

+ 1

4. а) 2,(3); б) 0,7(6);

в) 0,(428571).

E = ( −1 )

, n N .

−1

5. а)

;

б)

; в)

2113

6. 22. 7. n(A) = 1,

n(B) = 0, n(C) = 5.

990

АU B = {–4; –3; 0; 1; 2; 5; 8}; АI B = {1; 2;};

А \ B = {–4; –3; 0};

B \ A = {5; 8}.

9. АU B = [–3; 3); АI B = (–2; 2]; А \ B = (2; 3);

B \ A = [–3; –2].

10. X1 I X2 = X2 ;

X1 U X2 = X1 ;

X1 I X3

– множе-

ство прямоугольных равнобедренных треугольников;

X2 \ X1 = ;

X3 \ X2 = X3 ; X2 I X3 = . 11. АU B ={−5; − 3; 4} ; АI B ={4} ;

А \ B = {–5}, B \ A = {–3}. 12. а) (0; 1); б)

; 1

; в)

; 1

;

13. а) A U B ={1;2;3;4;5;6;12};

B IC ={5} ;

г)

U{1}.

( A U B ) IC ={3; 5} ;

A I B IC = ; б) A U B ={1; 2; 3; 4; 6;7 ; 8; 21} ;

B IC ={3;7} ; ( A U B ) IC ={3;7} ;

A I B IC = . 14. а) A U B = [0; 5 );

A I B = [1; 3 ];

A IC ={0} ; B UC = ( −2; 0 ] U( 1; 5 ); A I B IC = ;

( A U B ) IC ={0} ; б) A U B = ( −∞, + ∞ ); A I B ={1} ; A IC ={0; 1} ;

B UC = ( 0, + ∞ ); A I B IC = ; ( A U B ) IC = ( 0; 1 ). 15. а) 3 – 2i ;

37 – 9i ; 1 + 12i ; −

i ; б) 2

2 ; 5; − 2

3i; −

−

i .

211

16.

а)

i ;

б)

–117 + 44i .

17. а)

i ; −

−

i ;

−

2π

8π

14π

б)

cos

+ i sin

; 2 cos

+ i sin

; 2

cos

+ i sin

18.

|A| = И,

|B| = Л,

|C| = И,

|D| = Л,

|E| = И, |F| = И,

|G| = Л.

19. а) И; б) Л; в) Л; г) И.

Глава 2

S =

tgα

2. V = 12 – 0,7t.

3. а) x = 2;

б)

−

+ nπ ;

+ nπ

, n Z ;

в)

(1, +∞);

г) [–1; 1];

д) (–∞; 0) (3; +∞);

е) [0; 1].

а) [0; 4];

б) [1; 5];

в) (–∞; 0);

г) (0; 0,5].

5. 1;

;

1 + x2 ;

1 + x2

;

| x |

1 + x2

6. π ; π ; 0 .

а)

f −1( x ) =

10x , x R ; б)

f −1( x ) =2log

x, x (0, +∞);

в)

f −1 ( x ) = f ( x ) =

1 − x

, x

≠ −1 ; г)

f −1 ( x ) =

arcsin

, x [ −2; 2 ] ;

1 + x

−1

( x ) = cos

, x [0; 2π ] .

д)

а)

( 10

1 )

, D( y ) = R ;

б) y = |sin(1+x)|,

D(y) = R; в)

y = arctg3 (lg( x −1 )), D( y ) = ( 1, + ∞ ) .

а) y = u1 2 , u = sinv , v = w2 , w = lg x ;

б) y = 10u ,

u = v2, v = arcsin w,

w = x2;

в) y = tgu , u = v 1 3 , v = w−1 , w = 1 + 2x .

10.

а) f(f(x))= 22x

, x R;

f ( g( x )) = 2x2 , x R ;

g(f(x)) = 4 x ,

x R;

g(g(x)) = x4 ,

x R;

б)

f(f(x))=

9 x ,

x R; f ( g( x )) = 3 lg x , x ( 0; + ∞ ) ;

g(f(x)) =

lg x ,

x (0; +∞);

g(g(x)) = lg lgx,

x (1; +∞).

11. а) −

;

б) 0;

в) sin12;

г) –sin2xcos22x; д) x9 – 3x7 +3x5 – 2x3 + x;

е) 0.

12. (x+2)2.

13.

а)

1 +

1 + x2

;

б) x2 – 5x + 6.

14. 1; 2; 4.

15.

а) T =

2π

;

б) T = π;

212

в) T = π; г) непериодическая;

д) T = 2π.

16.

f ( x ) = −

x +

10000

17. а) y =

−1 ;

б)

y = 3 1 − x3

;

в)

y = log2(x3 – 7) – log2(x2 – 2) – x;

г)

y = arccos

1 + x

Глава 3

а) −

;

б)

в) –7;

г) 1.

1) –0,5;

2) –1/12; 3)

e1,5;

4) e4/3;

1/12; 6) 7/π; 7)

8) –1/16;

–π/ln4; 10) 1,5; 11) 0,2 lge; 12) 3π;

13) e2; 14) 2π;

15) –π.

3. 1) x = – 1 – точка разрыва 2-го рода,

f(–1 ± 0) = – ∞;

2) x = 0 – точка разрыва 2-го рода, f(0 – 0) = 0,

f(0 + 0) = + ∞;

3) x = –1 – точка разрыва 1-го рода,

f(–1 – 0) = 1,

f(–1 + 0) = f(–1) = –1;

4) x = 0 и x = 2 – точки разрыва 1-го рода, f(0 – 0) = f(0) = 0, f(0 + 0) = 1,

f(2 – 0) = e2,

f(2 + 0) = f(2) = 5; 5) x = 0 – точка разрыва 2-го рода,

f(0 ± 0) = ±∞, x =1

– точка разрыва 1-го рода,

f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = 0;

6) x = 1 и x = 3 – точки разрыва 1-го рода,

f(1 – 0) = 1,

f(1 + 0) = f(1) = –1,

f(3 – 0) = –1,

f(3 + 0) = 1.

Глава 4

1) 20 x + 1 ;

−

;

2 cos 2x ;

1) 1;

2) –1.

+ 2x

3. 1) 10 x − 3x2 − 3 ; 2)

+ 6 x2 +

; 3)

− 2x ln 2 −

;

3 3

x ln 2

1 − x2

5 cos x + x +

tgx

arctgx

ln x

+ 1

−

;

1 + x2

+ x2

cos2

3 x2

; 8)

−

sin x + 3cos x

− 2 x lg x

− x lg e ;

2 x − 1

;

x )2

x ( 5 −

e x

4 x2 − x x

10)

9cos2 (1 − x3 )sin(1 − x3 ) x2 ;

11) 101−x sin 3x( 6 cos 3x − ln10 sin 3x ) ;

5 x

(5 x

− x + 20)

2x ln 2 + 2 x

ln x

− 1

12)

; 13)

;

14) e ln x

;

( x2 + 4)

lg (2

+ x

)(2

+ x

)ln10

ln2 x

213

15)

−1

; 16)

; 17)

cos 2x

;

x x2 +1 + x2 +1

1 + x2 (2

+ x2 )arctg

1 + x2

(1 − sin2x)sin2x

3 x

18)

xe x

ctg 3 x

2ctg3 x −

;

19)

;

20)

4. 1) 3 2 ;

sin2

3 x

e2 x + 1

2(1 + x2 )

, x ≤ 0

2) –30; 3) –2;

4) –0,5.

;

−

2 x

, x > 0

− 1

6.					1 + 3 x2						− 2 x4								11x5 −7 x4 − 58 x3 + 48 x2
6.			1)													;	2)																								;
								(1 − x2 )3											4 x − 1 ( x + 2)3 4 ( x − 2)5
							1		3																																									1
	ln x ex tg								3	2x				1				1						12							1												1 −ln x lnln x							1
3)	ln x ex tg									2x				1			−	1		+				12		+					1						; 4)						1 −ln x lnln x						(ln x )			x	;
3)																	−			+		sin4x				+		3 x (1−2 x )									; 4)								x2 ln x				(ln x )			x	;
			3	1−2 x								xln x						x2				sin4x																							x2 ln x
				1−2 x
					x									3x											3 x		x						ln2 x						2							lncos x
5)			3				ln 3 ln x +										+ ln 2 ( x )									2			; 6)																−			+		xtgx				.
5)			3				ln 3 ln x +										+ ln 2 ( x )									2			; 6)							x									−			+		xtgx				.
														x																	(cos x)					x										2	x
														x																	(cos x)							x ln x								2	x
7.		1) 0,75 ; 2) –0,5;												3) 1;				4)			2 +				3 .					8. 1)			4	;	2)			−		1		;	3) 0,8;				4) 0.
7.		1) 0,75 ; 2) –0,5;												3) 1;				4)			2 +				3 .					8. 1)		3		;	2)			−				;	3) 0,8;				4) 0.
														1																		3								e										1
9.		1) 0,5;						2) 1;			3)			1	;		4) 2.				10.				1) 12;					2) 2;		3) 0,5;							4) 2;						5) – 4; 6)				−	1	.
9.		1) 0,5;						2) 1;			3)			3	;		4) 2.				10.				1) 12;					2) 2;		3) 0,5;							4) 2;						5) – 4; 6)				−	16	.
														3																																				16
11. x = ±								2	3		. 12. 1) y − 5 = 0 , x + 2 = 0 ; 2) 2 x − y + 3 = 0 , x + 2 y − 1 = 0 .
									3																		π dx ;					2) π dx .
13.			1) 21;					2) 0; 4;						8;			3) 32.					14.			1)		π dx ;					2) π dx .
																											2					3
15.			1)				4 ln x − 4 − ln3 x											(dx)2 ;							2)	−4 sin 2 x (dx)3 ;													3)				−		6	(dx)5 .
15.			1)			x2 (ln2 x − 4)3												(dx)2 ;							2)	−4 sin 2 x (dx)3 ;													3)				−	x4		(dx)5 .
						x2 (ln2 x − 4)3																																						x4
		Глава 5
1.		1) 0,5;						2) 2/3;					3) – ∞; 4) 0;											5) 10;						6) 0;		7)			– 0,125;								8) e0,2;				9) 1;		10) e4.
2.		1) с = e − 1;									2)		c =				π	2 − 4					.		3.	1)				с = π/4;					2) c = 1/2 и с = 5/3.
2.		1) с = e − 1;									2)		c =					π					.		3.	1)				с = π/4;					2) c = 1/2 и с = 5/3.
																		π

4. 1) x3 = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1)2 + (x − 1)3; 2) x2 + x + 1 = 3− 3(x + 2) + (x + 2)2.

214

−x

2x−x2

1) e

=1− x+

+ o( x

); 2) e

2x + x

−

+o( x );

3) ln(cos x ) = −

−

+ o( x5 );

sin(sin x ) = x −

+ o( x3 ).

x − 1

= 1 −

( x − 1 )2 −

( x − 1 )3 +

35( x − 1 )

7. 1) 0,842;

128( 1 + c )

2) 1,648;

3) 0,049;

4) 2,012.

8. 1) 1;

2) 0,5;

3) 0,5;

4) 1/3.

9. 1) (–∞, 1) и (4,+∞) – убывает, (1; 4) – возрастает;

2) (–∞, 2) и (2,+∞) – убыва-

ет;

3) всюду возрастает; 4) (–∞, 0) и (2, +∞) – убывает,

(0, 2) – возрастает.

10. 1) x = −

ln 2

2 ; 2) x = e – точка миниму-

– точка минимума, f

−

= 2

ма, f(e) = e;

3) x = 1 – точка минимума, f(1) = 1; 4) x = – 0,5 – точка максимума,

f ( −0,5 ) =

π − 2

; x = 0,5 – точка минимума, f ( 0,5 ) =

2 −π

11. 1) P1(–1; 0)

иP2(1; 0) – точки перегиба, (–∞, –1) и (1, +∞) – вогнутость, (–1; 1) – выпуклость;

2)P 2, – точка перегиба, (–∞, 2) – выпуклость; (2, +∞) – вогнутость;

3)P1(–1; 0) и P2(1; 0) – точки перегиба, (–∞, –1) и (1, +∞) – выпуклость, (–1; 1)

		−	3	3				−	3

			2						2
– вогнутость; 4) P				,− 2e		– точка перегиба,	0 ,e			– выпуклость,
	e				3

	−	3			12. 1) x = 0,5 и
	−
		2	,+∞	– вогнутость.		y = x + 0,5; 2) x = − 2 и y =2x− 4;
e			,+∞	– вогнутость.		y = x + 0,5; 2) x = − 2 и y =2x− 4;

3) y = 1 при x→+∞ и y = πx +1 при x→ −∞; 4) y = x при x→+∞ и y = − x при x→ −∞. 13. 1) x = − 1 – точка минимума, x = 1 – точка максимума;

			3 3											3		3
P	−	3 ,−		, P2(0, 0),					P			3 ,					– точки перегиба; y = 0 – асимптота;
P	−	3 ,−		, P2(0, 0),					P			3 ,					– точки перегиба; y = 0 – асимптота;
1			4						3						4
			4												4
2) x = 0 – точка минимума; P										1		,−	8			– точка перегиба; x =1 и y = 0 – асим-
									−
									−	2			9
										2			9
птоты;		3) x = 0 – точка максимума; x = − 1, x = 1, y = 1 – асимптоты; 4) x = e2 –
						8		8 −	4
						3			3		– точка перегиба; x = 0 и y = 0– асимптоты;
точка максимума; P						3	, 3 e		3
точка максимума; P					e		, 3 e

5) x = − 1 – точка максимума; x =1 – точка минимума; P(0, π) – точка перегиба;

215

y = x и y = x + 2π – асимптоты; 6) x = 0 – точка минимума; x

– точка макси-

мума;

P(2; 0) – точка перегиба;

y = −x +

– асимптота.

14. 1) M = f(2) = 10;

m = f(0) = −10;

2) M = f(4) = 6; m = f(0) = 0;

3) M = f

− 1 ;

= π

m =

−

= −π − 1 ;

4) M = f(1) = e2 −e−2; m = f(−2)=e− 4− e4.

15. 60˚.

16.

; 0 .

17.

18.

Глава 6

1. 1) x + y < 0; 2) y ≤ x ; 3) y ≤ x2, x ≠ 0;

4) x2 + y2 + z2 < 4.

2. S = p( p − x )( p − y )( x + y − p ), 0 < x < p, 0 < y < p, x + y > p .

1) 1;

2) 0;

3) 1;

4) 2;

5) 1;

6) e2.

5. 1) точка (1; 0); 2) линия разрыва y = x;

3) точки прямой y = 0 (оси OX);

точки конической поверхности x2 + y2 = z2.

6. 1) z′x = −

, z′y

; 2)

z′x =−

, z′y =

;

( x

− y )2

( x − y )2

( x2 + y2 )32

z′x =( 1 − xy )e−xy ,

z′y = −x2e−xy ;

z′x = −

cos y2

z′y

= −

2 y sin y2

;

0 ,5

5) z′x

, z′y =

;

x −

−

z′x

z′y =

xy − 2

1 − xy arcsin xy

;

xy( 1 − xy )

2 y2

1 − xy

′

= 2 sin2( 3x + 2 y − z ),

′

= −sin2( 3x + 2 y − z ) ;

= 3sin2( 3x + 2 y − z ), uy

z−1

8) u′x

, u′y = −

, uz′

;

′

2 x

′

2 x2

′

2 x2

9) u

= 2

−

, u

= −

−

, u = −

−

;

10) u′

u′

= −

, u′

y − x

u′ =

x − y

. 7. 1) 73;

2) 0; 2; 0; 0;

z −t

( z −t )2

216

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20151.73 Mб316matem-up1.pdf
#
14.02.201554.78 Кб17Matematika-i-statistika-12-RiSO-B.doc
#
14.02.2015543.23 Кб30matematika_ekzamen - .doc
#
14.02.20152.69 Mб320matematika_metod_posobie.docx
#
14.02.20151.69 Mб232Matematika_ryad.doc
#
14.02.20152.17 Mб54Matematika_Zaytsev_ch2.pdf
#
14.02.20158.95 Mб92matematike_fepo_s_otvetami.doc
#
24.08.20193.22 Mб24materialoved.doc
#
14.02.2015899.5 Кб40mcad_pract.pdf
#
14.02.2015203.78 Кб25mech.doc
#
15.11.2019323.76 Кб7Meeting clients.docx