Matematika_Zaytsev_ch2

Если, например, наибольшее значение функции достигается во внутренней точке [ a ,b ] , то оно совпадает, очевидно, с одним из локальных максимумов (самым

большим из них). Возможен и другой случай – одно из значений функции в граничных точках [ a ,b ] является наибольшим. Аналогичное положение и с наи-

меньшим значением функции на отрезке. На рисунке 18 приведены некоторые возможные случаи.

Из сказанного следует, что наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке [ a ,b ] может оказаться значение функции в одной из критических точек

1-го рода этого промежутка или значение функции на концах [ a ,b ] .

Итак, правило отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [ a ,b ] :

1)найти критические точки 1-го рода x = xi (a, b);

2)вычислить значения f(xi ), f(a), f(b);

3)выбрать из полученных чисел самое большое (малое), это и будет наиболь-

шее M (наименьшее m) значение функции. При этом будет ясно, при каком значении аргумента x [a, b] будет достигнуто M и m.

Пример 23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2x3−3x2+1 на отрезке [−1; 2].

● 1) Ищем критические точки 1-го рода заданной непрерывной функции:

f ′( x ) = 6x2− 6x; f ′( x ) = 0 6x2− 6x = 0 x(x−1) = 0 x1 = 0, x2 = 1

–критические точки, обе внутри отрезка [−1; 2].

2)Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

f(−1) = − 4; f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5.

3) Так как самое большое из этих чисел равно 5, а самое малое равно (− 4), поэтому наибольшее значение M = f(2) = 5 (достигается при x = 2, т.е. на правом

конце отрезка), наименьшее значение m = f(− 1) = − 4 (достигается при x = − 1, т.е. на левом конце отрезка). ●

Замечания.

1. Если непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] возрастает (убывает), то m = f(a), M = f(b) (m = f(b), M = f(a)).

151

2. Пусть непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] имеет только один экстремум f(x0), x0 (a,b). Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что M = f(x0) (m = f(x0)). Важно подчеркнуть, что сказанное справедливо и в случае, если функция задана на открытом промежутке (a,b), или на бесконечном промежутке.

К задачам рассмотренного типа приводятся многие практические задачи. Особенностью таких задач является то, что не задана функция, подлежащая исследованию. Поэтому вначале следует, исходя из условий задачи, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную (т.е. задать функцию аналитически). При этом промежуток изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным (т.е. область определения функции), также следует определить из условия задачи.

AC = a2 + x2 , DB = b2 + ( c − x )2 .

Итак, исследуемая функция

L = L( x ) = a2 + x2 + h + b2 + ( c − x )2 ,

где x [0, c], что очевидно. Требуется найти наименьшее значение этой непрерывной функции на отрезке [0, c].

т.к. x [0, c]. Поэтому, x = x0 = aac+ b – единственная критическая точка 1-го рода

152

внутри [0, c], так как x0 = a +a b c < c , а других критических точек нет.

Рассматриваемая функция L(x) при x = x0 имеет минимум, потому что

меньшее значение.

Итак, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая, следует строить мост в том месте, где расстоя-

ние A1C = aac+ b . При этом, длина дороги

Заметим, что при a = b мост нужно строить на расстоянии A1C = 2c . ●

3.ЗАДАЧИ

3.1Задачи с решениями

1. Проверить, что функция f(x) = 8x – x2 удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [2; 6] и найти значение x = c, при котором f /(c) = 0.

• Функция f(x) непрерывна и дифференцируема x R а, значит, и на [2; 6].

значение c.

Так как f /(x) = 8 − 2x, то видно, что при x = 4 производная обращается в нуль.

Поэтому, c = 4 (2; 6). •

2. На параболе y = f(x) = x2 даны точки A(−1; 1) и B(2; 4). Требуется на дуге AB найти точку C, в которой касательная параллельна хорде AB.

• Функция f(x) = x2 на отрезке [−1; 2] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. По формуле Лагранжа имеем f(b) − f(a) = f /(c)(b − a) По условию зада-

чи имеем a = − 1, b = 2, f(a) = 1, f(b) = 4. Поэтому, 4 − 1 = f /(c)(2 − (−1))f /(c) = 1, где −1 < c < 2. Так как f /(x) = 2x, то f /(c) = 2c = 1, поэтому

c = 0,5. Итак, в точке C(0,5; 0,5) касательная параллельна хорде AB. •

3. Написать формулу Коши для функций f(x) = x3 и g(x) = x2 и определить значение c на отрезке [1; 3].

153

• Рассматриваемые функции f(x) и g(x) на [1; 3] удовлетворяют всем условиям теоремы Кoши, поэтому можно записать формулу Коши:

g(x) = 2x, значит, f /(c) = 3с2, g /(с) = 2с. Следовательно, подставляя в формулу

• 1) Подстановка предельного значения аргумента x = 1 приводит к неопреде-

Неопределенность пока осталась, но степень в числителе уменьшилась на единицу. Поэтому после нескольких применений правила Лопиталя неопределенность будет раскрыта:

После восьми применений правила Лопиталя неопределённости уже нет: числитель − число 8!, а знаменатель по-прежнему стремится к +∞ . Значит,

154

т. е. показательная функция ax имеет более высокий порядок роста, чем степенная xn, при x → +∞ .

3)При x→1 получаем неопределённость вида (∞ – ∞), так как дроби ln1x и

1стремятся к бесконечности одного знака при любом способе x→1.

x− 1

Преобразуем разность, представив её в виде дроби: