Matematika_Zaytsev_ch2

1.3 Непрерывность и дифференцируемость функции

Рассмотренный пример 3 показывает, что непрерывная функция может не иметь производной в некоторой точке. Однако из существования производной вытекает непрерывность функции.

Теорема 1. Если функция f ( x ) имеет в точке x производную, то эта функция непрерывна в этой точке.

Доказательство. По условию рассматриваемой теоремы существует конечный

Следовательно, ∆ f ( x ) бесконечно малая величина при ∆x → 0 . Это и означает,

что функция непрерывна в точке x.

Таким образом, непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке, но не достаточным!

Функция y = f ( x )называется дифференцируемой в точке x, если существует её конечная производная в этой точке. В этом случае верно равенство (5).

При этом, слагаемое f ′( x )∆x , линейное относительно ∆x, называется главной

частью приращения функции, так как другое слагаемое α∆x есть б.м. большего порядка, чем ∆x (почему?).

2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Дифференцирование функции (отыскание производных) непосредственно на основе определения производной по формуле (1) оказывается практически неудобной процедурой. Нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.

2.1 Производная постоянной, суммы, произведения и частного

1. Производная постоянной.

Рассмотрим функцию y = C , где C - постоянная величина. Запишем прираще-

т.е. производная постоянной величины равна нулю. 100

т.е. производная суммы функций (имеющих производные) равна сумме производных этих функций.

Этот результат легко может быть распространён на любое число слагаемых,

Применяя теоремы о пределе суммы и произведения, будем иметь:

Формула дифференцирования произведения может быть обобщена на случай любого фиксированного числа сомножителей. Например,

101

(uvw)′=[(uv )w]′ =(uv )′w+(uv )w′=(u′v +uv′)w+uvw′= u′vw +uv′w +uvw′,

т.е. производная произведения функций (имеющих производные) равняется сумме произведений производной каждой из функций на все остальные функции.

Отсюда, в частности, получим ( Cu )′ = C′u + Cu′ = Cu′, т.к. (C )′ = 0 . Итак,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

4. Производная частного.

Если функции u = u( x ) , v = v( x ) удовлетворяют прежним предположениям и, кроме того, v( x ) ≠ 0 , то докажем, что функция y = u(v( xx )) также имеет произ-

водную и найдём её.

Доказательство. При тех же рассуждениях, что и выше, получим y +∆y = uv ++∆∆vu . Отсюда

Применяя теорему о пределах частного, суммы и произведения и учитывая непрерывность функции v(x) в точке x, убеждаемся в существовании производной

функции y = uv и получаем формулу :

Следовательно, производная частного или дроби (при условии, что числитель и знаменатель дроби имеют производные и знаменатель в нуль не обращается) равняется разности произведений производной числителя на её знаменатель и производной знаменателя на числитель, делённой на квадрат знаменателя.

2.2 Производная сложной функции

Пусть y = f(u), u = u(x), причём область значений второй функции входит в область определения первой. Тогда y является сложной функцией независимой переменной (аргумента) x, а u – промежуточной переменной: y = f(u(x)). Предположим, что функция u(x) имеет производную в точке x, а функция f(u), рассматриваемая как функция независимой переменной u, имеет производную в точке u, соответствующей точке x (т.е. между x и u должна быть связь u = u(x)). Докажем, что сложная функция y = f (u( x )) также будет иметь производную по x и най-

дём её.

102

Доказательство. Придадим x произвольное приращение ∆x. Пусть ∆u – соответствующее приращение функции u = u(x), а ∆y – приращение функции y = f(u), вызванное приращением ∆u. Воспользуемся соотношением (5), которое, заменяя x на u, запишем в виде:

∆y = fu / ∆u +α ∆u .

Здесь буквой «u» внизу отмечено, по какой переменной вычисляется производная. Величина α → 0 при ∆u → 0 . Разделив последнее равенство почленно на ∆x, получим

т.е. производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой.

Указанное правило было получено в случае одной промежуточной переменной. Однако это правило распространяется на случай сложных функций с большим числом промежуточных переменных. Так, например, при наличии двух промежуточных переменных u и v ( сложная функция имеет вид y = y( u( v( x ))) ) получим

yx/ = yu/ ux/ = yu/ ( uv/ vx/ ) = yu/ uv/ vx/ .

Отметим, что дифференцирование сложной функции занимает центральное место в технике дифференцирования, так как сложная функция (т.е. суперпозиция функций) – один из путей получения любой элементарной функции из простейших элементарных функций.

2.3 Производная обратной функции

Пусть у дифференцируемой функции y = f(x), f ′( x ) ≠ 0 существует обратная функция x = f −1 ( y ) . Докажем, что для обратной функции в соответствующей точке y : y = f ( x ) также существует производная и найдём её.

Доказательство. Придадим значению y произвольное приращение ∆y, тогда функция x = f −1 ( y ) получит соответствующее приращение ∆x. Заметим, что при ∆y ≠ 0 , ввиду однозначности самой функции y = f(x), будет и ∆x ≠ 0 . За-

103

функция была задана параметрически, то её производная тоже будет задана параметрически:

x = x( t )

2.5 Дифференцирование функции, заданной неявно

Рассмотрим случай неявно заданной функции, т.е. когда функция y = y( x ) задаётся равенством вида F ( x , y ) = 0 . Если в это равенство подставить числовое

значение x и решить полученное уравнение относительно y, то при определённых условиях можно получить явное значение функции y = y( x ) . Например, равенст-

во 2 x − y + 1 = 0 определяет явно заданную функцию y = 2 x + 1 . Ясно, что не всегда удаётся однозначно выразить y из равенства F ( x , y ) = 0 . Так, например,

y2 = − 1 − x2 . Во многих случаях бывает трудно аналитически (в виде формулы)

выразить явно y, а иногда и невозможно (например, в случае e y + xy2 = e ). Чтобы найти производную функции, заданной таким образом, нужно продиф-

ференцировать равенство F ( x, y ) = 0 по x, считая при этом величину y функцией

x2 + y2 = 1 ( y ≥ 0 ). Вычислить y′(0,5 ). 105

● Дифференцируем данное равенство по x, считая y функцией от x:

3. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Найдём производные степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Значение производной в первых двух случаях получается из (14) при x = 0 .

При x = 0 и a < 0 степенная функция разрывная и, следовательно, в этом случае производной не имеет.

106

3. Рассмотрим логарифмическую функцию y = logax , x > 0 .

Используя правило дифференцирования обратной функции и формулу (15),

Пример 7. Вычислить производную функции y = ln x .

лучено на основании дифференцирования сложной функции), то получим

(ln x )′ = 1x x ≠ 0 . ●

Замечание.

Отметим один приём, часто облегчающий дифференцирование. Это приём ло-

гарифмического дифференцирования, который состоит в следующем:

(ln f ( x ) )′ = f (1x ) f ′( x ) f ′( x ) = f ( x ) (ln f ( x ) )′,

т.е. производную функции можно представить в виде произведения самой функции и производной логарифма модуля функции. Полученное соотношение следует из рассмотренного примера 7 и правила дифференцирования сложной функции. Для упрощения записи условимся при логарифмическом дифференцировании знак модуля у f ( x ) опускать. Рассмотрим пример.

● Так как функция представляет собою произведение пяти сомножителей, то находить производную этой функции трудно. Предварительно прологарифмируем эту функцию:

ln f ( x ) = 10 ln x + 0 ,5 ln( x + 1 ) + x − ln( 2 x + 1 ) − 2 ln( x + 2 ) .