Matematika_Zaytsev_ch2

Глава 2. ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1Определение функции

Важную роль в математике играет понятие функции.

Если для каждого элемента x X по определённому правилу однозначно выбран элемент y Y, то говорят, что задана функция f множества X во множество Y, при этом пишут f: X → Y.

Отметим, что множества X и Y при этом могут быть и не числовыми.

В дальнейшем будем рассматривать частный случай понятия функции, а имен-

но такие функции, когда множества X, Y R , т. е. являются подмножествами множества действительных чисел.

Действительной функцией действительного аргумента (далее просто функцией), определенной на множестве X, называют соответствие или правило, которое каждому числу x X соотносит некоторое единственное число y R.

При этом множество X называют областью определения (или областью существования) функции f и обозначают D(f), точку x X – аргументом функции,

точку y R, соответствующую x, – значением функции в точке x и обозначают f(x).

Множество E(f) = {y R: y = f(x), x X} называют областью значений функции f.

Пример 1. Найти область определения и область значений функции

Замечание. Разумеется, вместо букв x, f, y можно взять другие буквы; например, функция может быть записана в виде z = ϕ(t).

Если число a D(f), то говорят, что функция f определена в точке a. Для того, чтобы указать значение функции в фиксированной точке a, используются такие

33

1.2 График функции

Множество точек G = {(x, f(x)), x X} координатной плоскости ОХY называют графиком функции f, определённой на множестве X R.

Например, графиком функции y = xk при k = 0 и k = 1 будет прямая, при k = 2

– парабола, при k = –1 – гипербола (рисунок 1).

Рисунок 1

Отметим, что не для всякой функции график будет линией в обычном представлении. Характерным примером является функция Дириxле, которая равна единице, если аргументом является рациональное число, и нулю – в противном случае, т.е.

Напомним, что при построении графиков функций часто используются следующие геометрические рассуждения. Если G – график функции y = f(x), то график функции:

1)y1 = – f(x) есть зеркальное отражение графика G относительно оси ОХ;

2)y2 = f(–x) – зеркальное отражение G относительно ОY;

3)y3 = f(x – a) – сдвиг G вдоль оси ОХ на величину a (вправо, если a > 0; вле-

во, если a < 0);

4) y4 = f(x) + b – сдвиг G вдоль оси ОY на величину b (вверх, если b > 0; вниз, если b < 0);

34

5)y5 = f(αx), α > 0 – сжатие G в α раз при α > 1 или растяжение Г в 1/α раз при α < 1 вдоль оси ОХ;

6)y6 = βf(x), β > 0 – растяжение G в β раз при β > 1 или сжатие Г в 1/β раз

при β < 1 вдоль оси ОY.

Таким образом, путём простых преобразований графика G исходной функции f(x) можно построить график функции вида βf(αx – a) + b, где α, β, а, b R.

Пример 3. Построить график функции y = 0,5cos(2x – 1) + 0,5.

• График этой функции можно построить путём последовательных преобразований графика G функции y = cosx:

y1 = cos2x, y2 = cos(2x – 1) = cos2(x – 0,5), y3 = 0,5cos2(x – 0,5), y4 = 0,5cos2(x – 0,5) + 0,5.

Геометрически это приводит к следующим построениям.

1)Строим одну волну косинусоиды y = cosx (рисунок 2).

2)Отметим на графике функции y = cosx несколько точек и уменьшаем в 2 раза их абсциссы, сохраняя их ординаты неизменными. Соединив полученные точки

плавной линией, получим график функции y1 = cos2x, являющийся результатом сжатия графика функции y = cosx в 2 раза вдоль оси ОХ.

3)Переносим точки, полученные в предыдущем пункте, на величину 0,5 вправо вдоль оси ОХ. Соединив полученные точки плавной линией, получим график

функции y2 = cos2(x – 0,5), являющийся результатом сдвига графика функции y1 = cos2x на величину 0,5 вдоль оси ОХ.

4)Уменьшаем ординаты точек, полученных в предыдущем пункте, в 2 раза, сохраняя их абсциссы. Соединив полученные точки плавной линией, получим гра-

фик функции y3 = 0,5cos2(x – 0,5).

5)Сдвигая график функции y3 вдоль оси ОY вверх на величину 0,5, получим график заданной функции (рисунок 2).

Рисунок 2

35

X будем всегда подразумевать множество значений аргумента x, при которых дан-

ная формула имеет смысл (естественная область определения).

Например, для функции y = x3 + x – 1 областью определения будет множество X = R = (–∞, +∞), а для функции y = lg(4 – x2) областью определения будет множество значений x, удовлетворяющих неравенству 4 – x2 > 0, т.е. X = (–2; 2).

Если зависимость y от x не задана непосредственно, а дано соотношение

связывающее значения функции y и аргумента x, то говорят, что функция задана неявным аналитическим способом.

Отметим, что если (4) удается однозначно разрешить относительно y = f(x), то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так,

уравнение 2x – y3 + 1 = 0 и равенство y = 3 2x + 1 определяют одну и ту же функцию.

Когда зависимость y от x не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обеих переменных y и x от некоторой третьей вспомогательной переменной t в виде:

то это – параметрический способ задания функции, а переменную t называют параметром. Если из (5) удаётся исключить параметр t, то придём к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью y от x.

чим явно заданную функцию y = 0,5(x + 5).

Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость y от x задают линией на плоскости OXY. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближённо. В дальнейшем графику функции отведём роль только иллюстрации поведения функции и, поэтому, будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Функцию можно задать алгоритмическим (программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

37

1.4 Сложные и взаимно обратные функции

Нередко возникает необходимость в рассмотрении сложной функции, т.е. «функции от функции», или, как говорят, суперпозиции функций. В этом случае аргумент u функции y = f(u) не является независимой переменной, а сам зависит от другого аргумента, например, от аргумента x в виде зависимости u = g(x). То-

гда для задания зависимости y от x нужно вместо промежуточной переменной u подставить ее выражение через x, записав y = f(g(x)) = F(x).

При вычислении значения сложной функции сначала по значению x вычисляют значение промежуточной переменной u, а лишь затем – её значение y.

Функции y = f(u) и u = g(x) могут образовывать суперпозицию y = f(g(x)), если только пересечение области определения первой из них с областью значений

второй не является пустым множеством, т.е. D( f ) I E( g ) ≠ . Так функции f ( u ) = u − 5 и u = g(x) = cosx не определяют сложную функцию f(g(x)), так как D(f) = [5, +∞), E(g) = [–1; 1], D( f ) I E( g ) = .

Областью определения D(f(g(x))) сложной функции является вся область определения функции g(x), либо та её часть, для которой значения u = g(x) не выходят за пределы области определения функции f(u), т.е.

D( f ( g( x ))) ={x : x D( g ) u = g( x ) D( f )}.

Пример 4. Найти область определения суперпозиции функций f и g, если f ( u ) = u , g( x ) = sin2 x − 1 .

• D(g) = R, E(g) = [–1; 0], D(f) = [0, +∞). Имеем D( f ) I E( g ) ={0}.

Поэтому

D( f ( g( x ))) ={x R : g( x ) =0} ={x : sin2 x −1 =0} ={x =( 2k +1 )π / 2 : k Z}. •

Сложная функция может быть суперпозицией более чем двух функций.

Пусть функция y = f(x) такая, что различным значениям аргумента x из области определения D(f) соответствуют различные значения функции f(x) в области значений E(f).

38

Тогда для любого числа y E(f) можно указать единственное число x X, что y = f(х), т.е. на множестве E(f) можно определить новую функцию, называемую

обратной к функции (или обратной для функции) f и обозначаемую символом f −1 . Функции f и f −1 называют взаимно обратными.

Из определения обратной функции следует, что

x D( f ) ( f −1 )−1 = f , f −1 ( f ( x )) = x ,y E( f ) f ( f −1 ( y )) = y .

Пример 6. Найти обратную функцию для функции y = x2 , x [0, +∞).

• Для нахождения обратной функции выразим x через y: x = y .

Обратная функция f −1 ( y) = y определена на множестве Y ={y R : y ≥ 0}. Заметим, что для функции y = x2, x (–∞, 0] обратной функцией является

функция f −1 ( y) = − y . А для функции y = x2, x R обратная функция не

определена, так как в этом случае f(x) = f(–x), т.е. разным значениям аргумента x соответствуют одинаковые значения функции. •

Если функция x = f −1 ( y) является обратной к функции y = f(x), то множест-

во точек плоскости, определяющих график той и другой функции, одно и то же, т.е. графики обеих функций совпадают.

Но если потребовать, чтобы аргумент обратной функции был также обозначен буквой x, то надо вместо функции x = f −1 ( y) рассматривать функцию

y = f −1 ( x) . В этом случае графики взаимно обратных функций будут различны-

ми (один будет зеркальным отражением другого относительно биссектрисы 1-й и 3-й четверти координатной плоскости).

Графики взаимно обратных функций, рассмотренных в примере 6, изображены на рисунке 5.

Рисунок 5

39

2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

2.1 Периодические функции

Периодом функции f(x), определённой на множестве X R, называют действительное число T > 0, такое, что при любом x Х числа x + T и x – T также принадлежат множеству Х и справедливо равенство f(x + T) = f(x – T) = f(x).

Функцию, имеющую период, называют периодической.

Замечание. Числа nT n N также будут периодом этой функции, так как f(x + nT) = f(x +(n – 1)T + T) = f(x+(n–1)T) = f(x + (n–2)T + T) =

=f(x + (n–2)T) = ... = f(x) x X.

Вдальнейшем под периодом функции будем понимать наименьший из её периодов.

Пример 7. Пусть функция y = f(x) имеет период T. Найти период функции g(x) = f(ax + b), где a и b – постоянные и a > 0.

поэтому период функции g(x) равен Ta . •

Очевидно, что для построения графика функции f(x) с периодом T, определённой на множестве X R, достаточно построить её график на любом отрезке

[a, a + T] X, где а Х – некоторое число, а затем продолжить его вдоль коор-

динатной оси OX на отрезки [a+Т, a +2T], [a+2Т, a +3T], … .

2.2 Монотонные функции

Пусть функция f(x) определена на множестве X R и x1, x2 – любые две точки этого множества, для которых выполнено условие x1 < x2.

Функцию f(x) называют на этом множестве

1)возрастающей, если f(x1) < f(x2);

2)неубывающей, если f(x1) ≤ f(x2);

3)убывающей, если f(x1) > f(x2);

4)невозрастающей, если f(x1) ≥ f(x2).

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на множестве X, причём в случаях 1) и 3) говорят, что функция строго монотонна, а в случаях 2) и 4) – просто монотонна.

Очевидно, что для строго монотонной функции различным значениям аргумента обязательно будут соответствовать различные значения функции, поэтому будет существовать обратная к ней функция, тоже строго монотонная.

Пример 8. Определить интервалы монотонности следующих функций:

40