Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matematika_Zaytsev_ch2

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
14.02.2015
Размер:
2.17 Mб
Скачать

3.6 Метод наименьших квадратов

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами x и y. Например, между временем движения и расстоянием, температурой и удлинением металлического стержня и т. д. По результатам измерения составлена таблица:

x

x1

x2

. . .

xi

. . .

xn

y

y1

y2

. . .

yi

. . .

yn

Y

 

y=ax+b

yn

 

 

yi

y1

• • •

 

 

 

 

 

x1

xi

 

xn

 

Рисунок 9

Установим вид функции y = f(x) по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть, например, точки, взятые из таблицы, расположены так, как показано на рисунке 9. В данном случае можно предположить, что между x и y существует линейная зави-

Xсимость, выражающаяся формулой y = ax + b (ограничимся только ли-

нейной зависимостью).

Так как точки (xi, yi) не лежат точно на прямой, то, в общем случае, yi – (axi + b) = δi 0, i = 1, …, n (числа δi называются погрешностями).

Поставим задачу: подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей

n

n

S( a ,b ) = [ yi ( axi + b )]2 = δi2

i =1

i =1

была наименьшей (метод наименьших квадратов). Здесь xi, yi – заданные числа, а коэффициенты a и b – неизвестные числа, подлежащие определению, исходя из условия минимума S(a, b) функции двух переменных a и b.

Таким образом, задача свелась к нахождению значений a и b, при которых функция S(a, b) имеет наименьшее значение.

Решаем эту задачу. Имеем

S

n

S

n

= −2[ yi axi b ] xi ,

= −2[ yi axi b ] .

a

i =1

b

i =1

Приравнивая эти частные производные нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

 

n

n

n

 

 

 

a xi2 + b xi = xi yi

.

(21)

 

i =1

i =1

i =

1

 

n

 

n

 

 

 

a xi

+ b n = yi

 

 

 

 

i =1

 

i =1

 

 

 

 

 

197

 

 

 

 

Система (21) называется нормальной системой метода наименьших квадратов.

Из этой системы легко определить числа a и b, а, значит, и уравнение y = ax + b исходной прямой.

Покажем, что функция S(a, b) в найденной точке M(a, b) имеет единственный экстремум (минимум), т. е. наименьшее значение.

 

2

S2

n

 

 

2

S

n

2

S2 = 2n , поэто-

Действительно, A =

 

= 2xi2 , B =

 

= 2xi , C =

 

 

 

ab

 

 

 

a

i =1

 

 

i =1

b

 

 

 

 

n

 

n

2

 

 

n n

 

 

 

му, D = A C B2 = 4nxi2 4

 

xi

 

= 2∑∑( xi x j

)2 > 0 (последнее

 

 

 

 

i =1

i =1

 

 

 

i =1 j=1

 

 

 

равенство советуем читателю доказать самостоятельно, используя, например, метод математической индукции по n). Так как A > 0, то в точке M(a, b), где (a, b) – решение системы (21), функция имеет наименьшее значение.

Пример 22. Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции y при пяти значениях аргумента x:

x

–2

0

1

2

4

y

0,5

1

1,5

2

3

Найти функциональную зависимость между x и y в виде линейной функции

y= ax + b.

Вначале вычислим

5

 

 

5

 

 

xi = −2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 5 , yi = 0 ,5 + 1 + 1,5 + 2 + 3 = 8 ,

i =1

 

 

i =1

 

5

 

5

 

 

 

xi2 =(2)2 +02 +12 +22 +42 =25 ,

xi yi =(2) 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5.

i=1

 

i=1

 

 

 

Система (21) принимает вид:

 

 

 

 

 

25a + 5b = 16 ,5

 

a = 0,425

 

+ 5b

= 8

 

 

5a

 

 

b = 1,175.

Следовательно, y = 0,425x + 1,175 – уравнение искомой прямой.

4.ЗАДАЧИ

4.1Задачи с решениями

1. Найти области определения следующих функций: 1) z = arcsin(x + y); 2) u = ln(1xy z).

1) Область определения функции z двух независимых переменных x и y есть

совокупность значений x и y, удовлетворяющих неравенству: 1 x + y 1. На плоскости OXY эта область представляет полосу, ограниченную прямыми

x + y = 1 и x + y = 1.

198

2) Функция u трёх независимых переменных x, y, z определена при

1x y z > 0, т. е. при x + y + z < 1. Следовательно, областью определения функции u является та часть пространства, которая содержит точки, лежащие по одну сторону от плоскости x + y + z = 1 (там, где находится начало координат

O(0; 0; 0)).

2. Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию длин её сторон (x и y – длины оснований, z – длина боковой стороны). Найти область определения этой функции.

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Как

известно,

площадь трапеции

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

 

 

 

 

 

 

h , где h – высота трапеции. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = BC, y = AD и x < y (рисунок 10).

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для равнобочной трапеции ND =

.

 

A

M

 

 

N

yx

D

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

По теореме Пифагора

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CN = CD2 ND2

h =

 

z2

( y x )2

1

 

4z2 ( y x )2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

Итак, функция

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

4z2

( y x )2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Область определения этой функции определяется условиями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

4z2(y x)2 > 0, x > 0, y > x, z > 0.

 

 

 

 

 

 

Отсюда, z >

 

, x > 0,

y > x, z > 0 – область определения функции S.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Построить линии уровня функции z =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

уровня

 

 

данной

 

функции

 

определяются

уравнением

 

= C , C R y = Cx,

x 0

– множество «проколотых» в точке О(0; 0)

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямых, проходящих через точку O(0; 0). Давая C различные числовые значения,

можно построить ряд таких линий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 x

2 + y2

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) lim

 

 

 

 

 

;

2) lim ( 1 + x

+ y

)

 

 

 

 

;

3)

lim

 

 

.

 

 

 

 

3 xy

+ 9

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

x0

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

 

 

 

 

 

 

1) lim

 

xy

= 0

= lim

 

xy( 3 +

 

 

xy +9 )

= − lim( 3 +

xy +9 ) = −6.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 3 xy +9

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 ( 3 )

( xy +9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

199

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

2)

lim( 1 + x

+ y

)

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t0 =

 

 

 

 

=( 1 ) =

Замена: x +y = t; при x0, y0

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim( 1 + t )

 

 

 

= e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

lim

 

 

=

 

= lim

 

 

x

 

 

= Рассмотрим изменение x и y вдоль,

x2

+

y2

 

0

 

 

 

y 2

 

 

x0

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

например, прямой y = kx

= lim

1 k 2

 

=

 

1 k 2

.

 

1

+ k 2

 

1 + k 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного k, поэтому рассмотренный предел не существует.

5. Найти точки разрыва функций:

 

 

 

 

 

 

1)

z =

xy + 1

;

2)

z =

x2

+ y2

 

;

x2

+ y2

( x + y )( y2

 

 

 

 

 

 

x )

 

 

 

1

 

 

 

 

 

sin

 

 

, ( x, y ) ( 0; 0 )

3

x y, ( x,

y ) ( 1; 2 )

 

x2

+ y2

.

3) z =

 

 

; 4) z =

1 , x =

1, y = 2

 

1

,

 

x = 0, y = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Функция определена на плоскости OXY во всех точках, кроме точки O(0; 0), поэтому в этой точке функция разрывная. Во всех других точках функция непрерывная.

2) Функция не определена в тех точках плоскости OXY, где x + y = 0 или y2x = 0. В первом случае точки разрыва лежат на прямой y = x, во втором случае – на параболе y2 = x.

3)Функция разрывная в точке O(0; 0), так как она определена в окрестности этой точки и в самой точке, но не имеет предела при M(x, y)O(0; 0). Во всех других точках функция непрерывная.

4)Функция разрывная в точке M1(1; 2), так как она определена вблизи точки и

всамой точке, но её предел при M(x, y)M1 не совпадает со значением функции

в точке M1:

lim z = 0 z( M1 ) = 1 .

 

M M1

 

6. Найти частные производные 1-го порядка функций:

1)

z = x2 xy +

y

+ y2 1 ;

2) u = x y z .

 

 

 

x

 

 

 

 

 

200

1) Считая z функцией только одного аргумента x (если y фиксировать),

находим zx = 2x y xy2 .

Аналогично, считая z функцией только y (если x – постоянная величина), по-

лучим

zy = −x +

1

+ 2 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Считая u функцией только x, затем только y , затем только z, получим

 

y z 1

 

y z

 

y z

 

 

1

 

 

 

ux = y z x

 

, uy = x

 

ln x

z , uz = x

 

ln x y

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

7. Вычислить значения частных производных 1-го порядка функции z = ln(x2 y2) при x = 1, y = 0.

Вначале находим частные производные, а затем вычисляем их значения при

указанных x и y:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx =

 

 

 

2 x

 

 

 

 

, zy =

 

 

 

2 y

 

 

 

 

zx ( 1; 0 ) = 2,

 

 

 

zy ( 1; 0 ) = 0.

x2 y2

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка функции z = arctg

 

y

.

 

 

x

 

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

zx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

zy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

x

 

 

x2

+

y2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируем вторично:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z′′xx =

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − y

 

 

+

y

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

x

2

+

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

( x

2

+

 

y

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z′′xy =

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1 ( x2 + y2 ) y 2 y

=

 

 

 

y2 x2

 

 

 

= z′′yx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+

 

y

2

 

 

 

 

 

( x

2

+

y

2 2

 

 

 

 

 

( x

2

+

y

2

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z′′yy =

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

( x

2

 

 

 

 

 

2

)

1

 

 

 

 

 

 

 

2 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

+

y

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

( x

2

+

y

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Проверить, что функция z = e

x

 

удовлетворяет уравнению zx zy + yz′′xy =0.

y

 

Вычислим требуемые производные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx = e y

 

 

 

,zy = e y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

201

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

x

 

1

 

 

x

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

y

y

 

 

 

z′′xy = e

 

y

 

 

= e

 

 

 

 

 

 

 

+ e

 

 

 

 

= e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

.

 

 

y

2

 

y

 

y

2

 

y

2

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем и преобразуем выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

zx zy + yz′′xy =e y

 

e y

 

+ y e y

 

x

 

+1

=e y

 

1

+

1

=0,

 

2

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

что и требовалось.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции z = 2x2y3.

 

 

 

 

Так как zx = 4 xy3 ,

zy = 6 x2 y2 , то dz = zxdx + zydy = 4 xy3dx + 6 x2 y2dy .

Имеем z′′xx = 4 y3 ,

 

z′′xy = z′′yx = 12 xy2 ,

 

 

 

z′′yy = 12 x2 y , поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 z = z′′xx ( dx )2 + 2z′′xydxdy + z′′yy ( dy )2 = 4 y3 ( dx )2 + 24xy2dxdy + 12x2 y( dy )2 .

11. Найти приближенное значение 1,942 e0,12, исходя из значений функции f(x, y) = x2ey в точке M0(2; 0) и заменяя её полное приращение полным дифференциалом (вычисления выполнять с точностью до 0,01).

Рассмотрим точку M(1,94; 0,12), в которой нужно вычислить значение функ-

ции. Тогда x = 1,94 2 = 0,06; y = 0,12 0 = 0,12; f(M0) = 22 e0 = 4;

fx( M0

) = 2 xe y

M0

= 2 2 e0 = 4 ;

f y( M0 ) = x2e y

= 22 e0 = 4 .

 

 

 

 

 

M0

Используя формулу (7), получим

 

 

 

 

 

1,942e0,12 4 + 4 (0,06) + 4 0,12 = 4,24.

12. Найти производные сложных функций:

 

1)

z = x sin

x

,

x = 1 + 3t , y =

1 + t2 ;

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

2)

z = x sinucos v, u = ln( x2 + 1 ), v = − 1 x2

;

3)

z = x2 y2 , x = u + 2v , y =

u

;

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

4) u = xy 2x + y + z2 1, x = 2t1 , y = t1 t2 , z = t22 1 .

1) Функция z – сложная функция одной независимой переменной t, а x и y – промежуточные переменные. Поэтому

dz

 

z

 

dx

 

z

 

dy

 

1

sin

x

+ x cos

x

 

1

 

3

+ xcos

x

 

 

x

 

 

=

 

+

 

=

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

y

y

 

y

2

 

x dt

y dt

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

2) Функция z – сложная функция одной независимой переменной x,

t

.

1 + t2

содержит

три промежуточные переменные: x, u, v (первая промежуточная переменная совпадает с независимой переменной). Имеем

202

dz

=

z

 

dx

+ z

 

du

+

z

 

dv

=

 

 

 

 

 

 

dx

x

dx

dx

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

= sin u cos v 1 + x cos u cos v

 

 

 

 

2 x

 

x sin u sin v

 

x

=

 

 

x 2 +

1

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= sin u cos v + cos u cos v

 

2 x 2

 

 

 

sin u sin v

x 2

 

.

 

x 2 +

 

1

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Функция z – сложная функция двух независимых переменных u, v, а x и y – две промежуточные переменные. Найдём

z

=

z

 

x

+

z

 

y

= 2 xy2

1 + 2 x2 y

1

,

 

 

u

x

u

y

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

x

 

z

 

y

 

2

 

2

 

 

 

u

 

=

 

 

 

+

 

 

 

= 2 xy

 

2 + 2 x

 

y

 

 

.

v

x

v

y

v

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Функция u – сложная функция двух независимых переменных t1, t2, а x, y, z – три промежуточные переменные. Вычислим:

u

=

u

x

+u

y

 

+u

z

 

=( y2) 2+( x+1) 1+2z 0 = x+2y3,

 

 

t

t

t

t

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

u

=u

x

+u

y

+u

 

z

 

 

 

 

=( y2) 0+( x+1) (1)+2z 2t

=−x+4zt

2

1.

 

 

 

 

t2

 

 

x t2 y t2 z t2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Найти указанные производные неявных функций:

1) x + y = a ,

 

dy

;

2) eu

= cos v cos t ,

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Преобразовав данное уравнение к виду x +

 

y

вую часть этого уравнения через F(x, y), имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx

 

1

 

 

 

 

 

dy

= −

 

= −

2

x

= −

y

.

 

dx

 

Fy

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ut , uv .

a = 0 и обозначив ле-

2) Запишем уравнение в виде eu cosv cost = 0. Обозначим

F(u, v, t)= eu cosv cost. Тогда

 

 

 

u

= −

Ft

= −

cosv( sint )

= −cosv sint

eu ,

t

Fu

eu

 

 

 

 

u

= −

Fv

= −

( sinv )cos t

= − sinv cos t

eu .

v

Fu

eu

 

 

 

 

Производные можно преобразовать, учитывая, что eu = cosv cost: 203

u

= −tgt ,

u

= −tgv .

t

 

v

 

14. Представить функцию f(x,y)=ln(1+3x+2y) по формуле Маклорена при

n=2.

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем f(0, 0)= 0, df =

 

x +

 

 

y , df(0, 0) = 3x+2y,

1+ 3x + 2y

1+ 3x + 2 y

d2 f = −

 

9

 

( x )2

12

 

xy

4

 

( y )2

;

(1

 

2

(1 + 3x +

2

(1 + 3x +

2

 

+ 3x + 2y )

2 y )

 

2 y )

 

d2f(0, 0) = –9(x)2 – 12xy – 4(y)2.

 

 

 

 

 

Заменяя x на x и y на y, по формуле (15/) получаем

 

 

 

 

 

 

ln( 1 + 3x + 2 y ) = 3x + 2 y

1

( 9 x2 + 12xy + 4 y2 ) + r

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Найти производную функции u = x2 – 3yz + 5 в точке M0(1; 2; –1) в направлении, составляющем одинаковые острые углы со всеми координатными осями.

Для направляющих косинусов любого направления выполняется равенство

cos2α + cos2β + cos2γ = 1. Так как α = β = γ

0 ;

π

, то 3cos2α = 1. Отсюда

 

 

 

 

2

 

следует cosα = cos β = cosγ =

1

. Имеем

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

ux = 2 x, uy = −3z, uz′ = −3 y, ux ( M0 ) = 2, uy ( M0 ) = 3, uz( M0 ) = −6.

Согласно формуле (16/), получим:

u

 

 

= 2

1

+ 3

1

6

1

= −

1

.

 

s

 

M0

3

3

3

3

Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении убывает.

16. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + y2 + z2 = 9 в точке

M0(2; –2; 1).

Как было показано, градиент функции u = x2 + y2 + z2 является вектором нормали к поверхности x2 + y2 + z2 = 9 в точке M0, так как эта поверхность является поверхностью уровня u = 9 функции u, проходящей через точку M0.

Так как ux =2x, uy =2y, uz′ =2z , то ux ( M0 ) = 4, uy ( M0 ) = −4, uz( M0 ) = 2 .

Поэтому grad u(M0) = {4; –4; 2} = 2{2; –2; 1},

grad u(M0) = 6.

 

 

Итак, единичный вектор нормали имеет вид:

 

 

 

 

 

 

n = ±

1

 

grad u( M0 ) = ±

1

2{2;2;1} = ±

2

;

2

;

grad u( M0 )

 

 

3

3

 

6

 

 

 

 

1

3 .

Получено два вектора нормали: внешней и внутренней, т. е. один направлен вне сферы x2 + y2 + z2 = 9, другой – внутрь.

204

17. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 3xyz – z3 = a3 в точке, для которой x = 0, y = a.

Найдём аппликату точки касания, подставив x = 0, y = a в уравнение поверхности: – z3 = a3, отсюда z = – a. Таким образом, M0(0, a, –a) – точка касания. Обозначим F(x, y, z)=3xyz – z3– a3 и найдём производные и их значения в точке

M0:

Fx′ =3yz, Fy′ =3xz, Fz′=3xy 3z2 , Fx( M0 )=−3a2 , Fy( M0 )=0, Fz( M0 )=−3a2 .

Применяя формулу (19), получим уравнение касательной плоскости:

– 3a2(x – 0) + 0(y – a) – 3a2(z + a) = 0 или x + z + a = 0.

Согласно формуле (20), получим уравнения нормали:

x 0

=

y a

=

z + a

или

x

=

y a

=

z + a

.

3a2

0

3a2

1

0

 

 

 

 

 

1

 

18. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 15x – 12y.

Найдём частные производные первого порядка:

zx = 3x2 + 3 y2 15, zy = 6 xy 12 .

Ищем критические точки, приравнивая эти производные нулю:

 

3x

2

+ 3 y

2

15 = 0

M1 ( 1;2 ),

M2 ( 2;1 ),

M3 ( 1;2 ), M4 ( 2;1 )

 

 

 

6 xy 12 = 0

 

 

 

 

критические точки.

 

 

 

 

 

Найдём частные производные второго порядка:

 

 

 

 

 

 

 

′′

′′

′′

= 6 x .

 

 

 

 

 

 

zxx = 6 x, zxy = 6 y, zyy

Воспользуемся критерием Сильвестра в каждой критической точке.

1)

 

 

 

′′

) =6 ,

′′

= 12 ,

′′

) =6 ,

Точка M1(1; 2): A1 = zxx ( M1

B1 = zxy ( M1 )

C1 = zyy ( M1

D = A C B2

= −108 <0 . Значит, в точке M1 экстремума нет.

 

 

 

1

1

1

1

′′

 

′′

) = 6 ,

′′

 

) =12 ,

2)

 

 

 

) = 12

 

Точка M2(2; 1): A2 = zxx ( M2

, B2 = zxy ( M2

C2 = zyy ( M2

D2 = A2C2 B22 = 108 > 0 . В точке M2 функция имеет экстремум – минимум, так как A2 > 0. Минимум равен z(M2)= –28.

3)Точка M3(–1; –2): A3= – 6, B3= –12, C3= – 6, D3= – 108 < 0. Экстремума

нет.

4)Точка M4(–2; –1): A4= –12, B4= –6, C4= –12, D4 = 108 > 0. Функция в

точке M4 имеет экстремум – максимум (так как A4 < 0), равный z(M4) = 28.

19. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x2 – y2 + 2 в круге x2 + y2 1.

1) Найдём критические точки функции, лежащие внутри круга, и вычислим её значения в этих точках:

205

z

= 2 x = 0

 

O( 0;0 ) – критическая точка внутри

zx = 2 x , zy = −2 y x

= −2 y =

0

zy

 

 

 

 

 

круга, z(O)=2.

2) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции на границе L заданной области – на окружности x2 + y2 = 1. Так как из уравнения окружности следует

y2 = 1x2, x [–1; 1], то функция z на границе L становится функцией одной пе-

ременной x: z = x2 – (1 – x2) + 2 = 2x2+ 1, x [–1; 1].

Наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [–1; 1] и будут искомыми наименьшим и наибольшим значениями функции z(x, y) на границе L.

Так как dxdz = 4 x , то dxdz = 0 при x = 0. Эта единственная критическая точка

лежит внутри данного отрезка. Значение z(0) = 1. Вычислим значение z(x) на кон-

цах отрезка: z(–1) = z(1) = 3.

Итак, наименьшее значение функции z(x) на отрезке [–1; 1] равно 1 при x = 0, а наибольшее значение z(x) на [–1;1] равно 3 при x = ±1 (или, что тоже, наименьшее значение функции z(x,y) на границе L равно 1 в точках M1(0;–1), M2(0;1), а наибольшее значение функции z(x, y) на границе L равно 3 в точках M3(–1; 0),

M4(1; 0)).

3) Сравнивая значение z во внутренней критической точке O(0; 0) с ее наименьшим и наибольшим значениями на окружности, заключаем: наименьшее и наибольшее значения функция принимает на границе (соответствующие значения уже указаны).

20. Найти наибольшее значение для произведения u = xyzt неотрицательных чисел x, y, z, t при условии, что сумма их сохраняет постоянную величину:

x + y + z + t = 4c.

Выразим t из данного условия: t = 4c – x – y – z и подставим в выражение для u: u = xyz(4c – x – y – z).

Имеем функцию u от трёх независимых переменных x, y, z в трёхмерной области, определенной системой неравенств:

x 0, y 0, z 0, x + y + z 4c.

Геометрически эта область представляется в виде треугольной пирамиды, огра-

ниченной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4c.

Вычисляем частные производные функции u и приравниваем их нулю:

ux = yz( 4c 2 x y z ) = 0uy = zx( 4c x 2 y z ) = 0uz′ = xy( 4c x y 2z ) = 0.

Советуем убедиться, что эта система внутри рассматриваемой области имеет только одно решение x = y = z = c, а, значит, t = c. Поэтому у функции u имеется только одна внутренняя критическая точка M(c, c, c).

206

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]