Matematika_Zaytsev_ch2
.pdfСистема (21) называется нормальной системой метода наименьших квадратов.
Из этой системы легко определить числа a и b, а, значит, и уравнение y = ax + b исходной прямой.
Покажем, что функция S(a, b) в найденной точке M(a, b) имеет единственный экстремум (минимум), т. е. наименьшее значение.
|
∂ |
2 |
S2 |
n |
|
|
∂ |
2 |
S |
n |
∂ |
2 |
S2 = 2n , поэто- |
Действительно, A = |
|
= 2∑xi2 , B = |
|
= 2∑xi , C = |
|
||||||||
|
|
∂a∂b |
|
|
|||||||||
|
∂a |
i =1 |
|
|
i =1 |
∂b |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
n n |
|
|
|
му, D = A C − B2 = 4n∑xi2 − 4 |
|
∑xi |
|
= 2∑∑( xi − x j |
)2 > 0 (последнее |
||||||||
|
|
|
|
i =1 |
i =1 |
|
|
|
i =1 j=1 |
|
|
|
равенство советуем читателю доказать самостоятельно, используя, например, метод математической индукции по n). Так как A > 0, то в точке M(a, b), где (a, b) – решение системы (21), функция имеет наименьшее значение.
Пример 22. Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции y при пяти значениях аргумента x:
x |
–2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
y |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
Найти функциональную зависимость между x и y в виде линейной функции
y= ax + b.
•Вначале вычислим
5 |
|
|
5 |
|
|
∑xi = −2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 5 , ∑yi = 0 ,5 + 1 + 1,5 + 2 + 3 = 8 , |
|||||
i =1 |
|
|
i =1 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
∑xi2 =(−2)2 +02 +12 +22 +42 =25 , |
∑xi yi =(−2) 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5. |
||||
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
Система (21) принимает вид: |
|
|
|
|
|
25a + 5b = 16 ,5 |
|
a = 0,425 |
|||
|
+ 5b |
= 8 |
|
|
|
5a |
|
|
b = 1,175. |
Следовательно, y = 0,425x + 1,175 – уравнение искомой прямой. •
4.ЗАДАЧИ
4.1Задачи с решениями
1. Найти области определения следующих функций: 1) z = arcsin(x + y); 2) u = ln(1− x− y − z).
• 1) Область определения функции z двух независимых переменных x и y есть
совокупность значений x и y, удовлетворяющих неравенству: −1 ≤ x + y ≤ 1. На плоскости OXY эта область представляет полосу, ограниченную прямыми
x + y = − 1 и x + y = 1.
198
2) Функция u трёх независимых переменных x, y, z определена при
1− x − y − z > 0, т. е. при x + y + z < 1. Следовательно, областью определения функции u является та часть пространства, которая содержит точки, лежащие по одну сторону от плоскости x + y + z = 1 (там, где находится начало координат
O(0; 0; 0)). •
2. Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию длин её сторон (x и y – длины оснований, z – длина боковой стороны). Найти область определения этой функции.
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
• |
|
|
|
Как |
известно, |
площадь трапеции |
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
|
|
|
|
|
h , где h – высота трапеции. Пусть |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = BC, y = AD и x < y (рисунок 10). |
y − x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для равнобочной трапеции ND = |
. |
||||||||||||||||||||
|
A |
M |
|
|
N |
y−x |
D |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
По теореме Пифагора |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Рисунок 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
CN = CD2 − ND2 |
h = |
|
z2 − |
( y − x )2 |
1 |
|
4z2 − ( y − x )2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, функция |
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
4z2 |
− ( y − x )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения этой функции определяется условиями: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y − x |
4z2− (y − x)2 > 0, x > 0, y > x, z > 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Отсюда, z > |
|
, x > 0, |
y > x, z > 0 – область определения функции S. • |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3. Построить линии уровня функции z = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
•Линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
уровня |
|
|
данной |
|
функции |
|
определяются |
уравнением |
||||||||||||||||||||||||
|
= C , C R y = Cx, |
x ≠ 0 |
– множество «проколотых» в точке О(0; 0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых, проходящих через точку O(0; 0). Давая C различные числовые значения, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно построить ряд таких линий. • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4. Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 x |
2 + y2 |
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) lim |
|
|
|
|
|
; |
2) lim ( 1 + x |
+ y |
) |
|
|
|
|
; |
3) |
lim |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 − xy |
+ 9 |
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
||||||||||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
→0 |
|
|
|
|
||||
|
|
•1) lim |
|
xy |
= 0 |
= lim |
|
xy( 3 + |
|
|
xy +9 ) |
= − lim( 3 + |
xy +9 ) = −6. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y→0 3 − xy +9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y→0 ( 3 ) |
−( xy +9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||
2) |
lim( 1 + x |
+ y |
) |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→ 0 = |
||||||||||||
|
|
|
|
=( 1 ) = |
Замена: x +y = t; при x→ 0, y→ 0 |
||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim( 1 + t ) |
|
|
|
= e. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
|
x |
|
|
= Рассмотрим изменение x и y вдоль, |
|||||||||||||||
x2 |
+ |
y2 |
|
0 |
|
|
|
y 2 |
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
например, прямой y = kx |
= lim |
1 − k 2 |
|
= |
|
1 − k 2 |
. |
|
|||||||||||||||||||
1 |
+ k 2 |
|
1 + k 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного k, поэтому рассмотренный предел не существует. •
5. Найти точки разрыва функций: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
z = |
xy + 1 |
; |
2) |
z = |
x2 |
+ y2 |
|
; |
|
x2 |
+ y2 |
( x + y )( y2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
− x ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
, ( x, y ) ≠ ( 0; 0 ) |
3 |
− x − y, ( x, |
y ) ≠ ( 1; 2 ) |
|
||
x2 |
+ y2 |
. |
|||||||
3) z = |
|
|
; 4) z = |
1 , x = |
1, y = 2 |
||||
|
1 |
, |
|
x = 0, y = 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
• 1) Функция определена на плоскости OXY во всех точках, кроме точки O(0; 0), поэтому в этой точке функция разрывная. Во всех других точках функция непрерывная.
2) Функция не определена в тех точках плоскости OXY, где x + y = 0 или y2− x = 0. В первом случае точки разрыва лежат на прямой y = − x, во втором случае – на параболе y2 = x.
3)Функция разрывная в точке O(0; 0), так как она определена в окрестности этой точки и в самой точке, но не имеет предела при M(x, y)→ O(0; 0). Во всех других точках функция непрерывная.
4)Функция разрывная в точке M1(1; 2), так как она определена вблизи точки и
всамой точке, но её предел при M(x, y)→ M1 не совпадает со значением функции
в точке M1: |
lim z = 0 ≠ z( M1 ) = 1 . |
• |
||
|
M →M1 |
|
||
6. Найти частные производные 1-го порядка функций: |
||||
1) |
z = x2 − xy + |
y |
+ y2 − 1 ; |
2) u = x y z . |
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
200 |
•1) Считая z функцией только одного аргумента x (если y фиксировать),
находим z′x = 2x − y − xy2 .
Аналогично, считая z функцией только y (если x – постоянная величина), по-
лучим |
z′y = −x + |
1 |
+ 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Считая u функцией только x, затем только y , затем только z, получим |
|||||||||||||
|
′ |
y z −1 |
|
′ |
y z |
|
′ |
y z |
|
|
1 |
|
|
|
|
ux = y z x |
|
, uy = x |
|
ln x |
z , uz = x |
|
ln x y |
|
|
|
. • |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
7. Вычислить значения частных производных 1-го порядка функции z = ln(x2 – y2) при x = 1, y = 0.
• Вначале находим частные производные, а затем вычисляем их значения при
указанных x и y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z′x = |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
, z′y = |
|
|
|
−2 y |
|
|
|
|
z′x ( 1; 0 ) = 2, |
|
|
|
z′y ( 1; 0 ) = 0.• |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 − y2 |
|
x2 − y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка функции z = arctg |
|
y |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
•Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
z′x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
z′y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
x |
|
|
x2 |
+ |
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Дифференцируем вторично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
z′′xx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
−1 ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − y |
|
|
+ |
y |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
|
y |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z′′xy = |
|
|
− |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 ( x2 + y2 ) − y 2 y |
= |
|
|
|
y2 − x2 |
|
|
|
= z′′yx , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
y |
2 2 |
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
y |
2 |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
z′′yy = |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
( x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
) |
−1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
+ |
y |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.• |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
+ |
y |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. Проверить, что функция z = e |
x |
|
удовлетворяет уравнению z′x −z′y + yz′′xy =0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
• Вычислим требуемые производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z′x = e y |
|
|
|
,z′y = e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 3xyz – z3 = a3 в точке, для которой x = 0, y = a.
• Найдём аппликату точки касания, подставив x = 0, y = a в уравнение поверхности: – z3 = a3, отсюда z = – a. Таким образом, M0(0, a, –a) – точка касания. Обозначим F(x, y, z)=3xyz – z3– a3 и найдём производные и их значения в точке
M0:
Fx′ =3yz, Fy′ =3xz, Fz′=3xy −3z2 , Fx′( M0 )=−3a2 , Fy′( M0 )=0, Fz′( M0 )=−3a2 .
Применяя формулу (19), получим уравнение касательной плоскости:
– 3a2(x – 0) + 0(y – a) – 3a2(z + a) = 0 или x + z + a = 0.
Согласно формуле (20), получим уравнения нормали:
x − 0 |
= |
y − a |
= |
z + a |
или |
x |
= |
y − a |
= |
z + a |
. • |
−3a2 |
0 |
−3a2 |
1 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
18. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 15x – 12y.
• Найдём частные производные первого порядка:
z′x = 3x2 + 3 y2 − 15, z′y = 6 xy − 12 .
Ищем критические точки, приравнивая эти производные нулю:
|
3x |
2 |
+ 3 y |
2 |
− 15 = 0 |
M1 ( 1;2 ), |
M2 ( 2;1 ), |
M3 ( −1;−2 ), M4 ( −2;−1 ) – |
|
|
|
|
|||||||
6 xy − 12 = 0 |
|
|
|
|
|||||
критические точки. |
|
|
|
|
|||||
|
Найдём частные производные второго порядка: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
′′ |
′′ |
′′ |
= 6 x . |
|
|
|
|
|
|
zxx = 6 x, zxy = 6 y, zyy |
Воспользуемся критерием Сильвестра в каждой критической точке.
1) |
|
|
|
′′ |
) =6 , |
′′ |
= 12 , |
′′ |
) =6 , |
|
Точка M1(1; 2): A1 = zxx ( M1 |
B1 = zxy ( M1 ) |
C1 = zyy ( M1 |
||||||||
D = A C − B2 |
= −108 <0 . Значит, в точке M1 экстремума нет. |
|
|
|
||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
′′ |
|
′′ |
) = 6 , |
′′ |
|
) =12 , |
2) |
|
|
|
) = 12 |
|
|||||
Точка M2(2; 1): A2 = zxx ( M2 |
, B2 = zxy ( M2 |
C2 = zyy ( M2 |
D2 = A2C2 − B22 = 108 > 0 . В точке M2 функция имеет экстремум – минимум, так как A2 > 0. Минимум равен z(M2)= –28.
3)Точка M3(–1; –2): A3= – 6, B3= –12, C3= – 6, D3= – 108 < 0. Экстремума
нет.
4)Точка M4(–2; –1): A4= –12, B4= –6, C4= –12, D4 = 108 > 0. Функция в
точке M4 имеет экстремум – максимум (так как A4 < 0), равный z(M4) = 28. •
19. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x2 – y2 + 2 в круге x2 + y2 ≤ 1.
• 1) Найдём критические точки функции, лежащие внутри круга, и вычислим её значения в этих точках:
205
z′ |
= 2 x = 0 |
|
O( 0;0 ) – критическая точка внутри |
z′x = 2 x , z′y = −2 y x |
= −2 y = |
0 |
|
z′y |
|
||
|
|
|
|
круга, z(O)=2.
2) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции на границе L заданной области – на окружности x2 + y2 = 1. Так как из уравнения окружности следует
y2 = 1– x2, x [–1; 1], то функция z на границе L становится функцией одной пе-
ременной x: z = x2 – (1 – x2) + 2 = 2x2+ 1, x [–1; 1].
Наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [–1; 1] и будут искомыми наименьшим и наибольшим значениями функции z(x, y) на границе L.
Так как dxdz = 4 x , то dxdz = 0 при x = 0. Эта единственная критическая точка
лежит внутри данного отрезка. Значение z(0) = 1. Вычислим значение z(x) на кон-
цах отрезка: z(–1) = z(1) = 3.
Итак, наименьшее значение функции z(x) на отрезке [–1; 1] равно 1 при x = 0, а наибольшее значение z(x) на [–1;1] равно 3 при x = ±1 (или, что тоже, наименьшее значение функции z(x,y) на границе L равно 1 в точках M1(0;–1), M2(0;1), а наибольшее значение функции z(x, y) на границе L равно 3 в точках M3(–1; 0),
M4(1; 0)).
3) Сравнивая значение z во внутренней критической точке O(0; 0) с ее наименьшим и наибольшим значениями на окружности, заключаем: наименьшее и наибольшее значения функция принимает на границе (соответствующие значения уже указаны). •
20. Найти наибольшее значение для произведения u = xyzt неотрицательных чисел x, y, z, t при условии, что сумма их сохраняет постоянную величину:
x + y + z + t = 4c.
• Выразим t из данного условия: t = 4c – x – y – z и подставим в выражение для u: u = xyz(4c – x – y – z).
Имеем функцию u от трёх независимых переменных x, y, z в трёхмерной области, определенной системой неравенств:
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 4c.
Геометрически эта область представляется в виде треугольной пирамиды, огра-
ниченной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4c.
Вычисляем частные производные функции u и приравниваем их нулю:
u′x = yz( 4c − 2 x − y − z ) = 0u′y = zx( 4c − x − 2 y − z ) = 0uz′ = xy( 4c − x − y − 2z ) = 0.
Советуем убедиться, что эта система внутри рассматриваемой области имеет только одно решение x = y = z = c, а, значит, t = c. Поэтому у функции u имеется только одна внутренняя критическая точка M(c, c, c).
206