Matematika_Zaytsev_ch2

Отметим, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если ... , то ...» и «следует». Из определения импликации следует, что если А

ложно, то, каково бы ни было В, высказывание А В считается истинным, т.е. из неверного утверждения следует все что угодно. Например, высказывание «если

крокодил – насекомое, то среднегодовая температура в Арктике равна +30С°»

является истинным.

Для сокращения и уточнения записи высказываний вводят два знака и ,

называемых соответственно кванторами общности и существования.

Запись x X A( x ) означает: «для любого элемента x X истинно утверждение А(x)».

Запись x X : A( x ) означает: «существует элемент x X такой, что для него истинно утверждение А(x)».

Если элемент x X, для которого истинно утверждение А(x), не только существует, но и единственный, то пишут ! x X : A(x).

Введенными символами удобно пользоваться, например, при определении операций над множествами. Так,

A U B : {x : ( x A ) ( x B )} , A I B : {x : ( x A ) ( x B )} ,

A \ B : { x : ( x A ) ( x B ) } , A : { x : ( x E ) ( x A ) } ,

где символ : означает эквивалентность по определению.

2.2 Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия

Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используются в математике для записи высказываний. Эти высказывания представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть высказываний приходится все же выражать словами.

Теорема состоит в задании некоторого свойства А, называемого условием, из которого выводят свойство В, называемое заключением. Коротко теорему «А вле-

чёт В» можно записать в виде А В. Рассмотрим, например, следующие теоремы.

Теорема 1. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3.

Теорема 2. Если хотя бы одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.

Теорема 3. Если параллелограмм – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

21

Теорема 4. Если четырёхугольник является прямоугольником, то его диагонали равны.

В теореме 1 речь идет о двух высказываниях:

А: сумма цифр числа n делится на 3, В: число n делится на 3.

Из арифметики известно, что высказывание А В истинно n N , т.е. теорема

1верна.

Втеореме 2 говорится о двух высказываниях:

А: n или m делится на 7, B: n + m делится на 7.

Высказывание А В n,m N очевидно ложно и, следовательно, теорема 2 неверна.

В теореме 3: А: параллелограмм – ромб, B: диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.

В теореме 4: А: четырехугольник – прямоугольник, B: диагонали четырёхугольника равны.

Из курса геометрии известно, что высказывание А В истинно (как в случае теоремы 3, так и в случае теоремы 4), поэтому теоремы 3 и 4 верны.

Чёткое и однозначное выделение в каждой теореме условия и заключения позволяет однозначно определить понятия обратной и противоположной теорем.

Теоремы А В и В А называются взаимно обратными. Иногда одну из этих теорем называют прямой, тогда другую называют обратной. Важно понимать, что для пары взаимно обратных теорем могут осуществляться все три возможности:

1)Обе теоремы верны, в этом случае теорему можно записать в виде А В. Эта запись соответствует фразе «А тогда и только тогда, когда В». Так, например, верна теорема 1 и обратная ей теорема (если число делится на 3, то сумма цифр числа делится на 3).

2)Одна из теорем верна, другая неверна. Так, теорема 4 верна, а обратная ей теорема (если диагонали четырехугольника равны, то четырехугольник является прямоугольником) неверна.

3)Обе теоремы неверны, как, например, теорема 2 и ей обратная.

Если верна теорема А В, то говорят, что А является достаточным условием для В, а В – необходимым условием для А. Так, в теореме 1 условие А является достаточным условием для В, т.е. для того, чтобы натуральное число делилось на 3, достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3. Условие В является необходимым условием для А, т.е. для того, чтобы сумма цифр натурального числа делилась на 3, необходимо, чтобы само это число делилось на 3.

Если верна теорема А В, т.е. верна прямая теорема и обратная ей, то А явля-

ется необходимым и достаточным условием для В, а В – необходимым и доста-

точным условием для А. Например, теорема 1 и ей обратная, могут формулиро-

ваться так: «Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3».

22

Перейдём к понятию противоположной теоремы: теоремы А В и A B называются взаимно противоположными. Следовательно, если в формулировке некоторой теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, то получится формулировка теоремы, противоположной исходной.

Всякая теорема А В порождает, таким образом, ещё три теоремы: обратную

В А, противоположную A B и противоположную обратной B A .

Например, взяв в качестве исходной верную теорему 4, будем иметь:

1)обратная теорема: если диагонали четырехугольника равны, то четырехугольник является прямоугольником (теорема неверна);

2)противоположная теорема: если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны (теорема неверна);

3)противоположная обратной: если диагонали четырехугольника не равны, то четырехугольник не является прямоугольником (теорема верна).

В рассмотренном примере прямая теорема и противоположная обратной оказались истинными, а обратная и противоположная – ложными. Это совпадение не является случайным. Прямая теорема и теорема противоположная обратной либо обе истинны, либо обе ложны. Часто доказательство одной из этих теорем вызывает трудности, в таком случае следует попытаться доказать другую.

Известный метод доказательства от противного как раз и состоит в том, что

вместо исходной теоремы А В доказывают противоположную обратной. Если теорема B A окажется верной, то А ложно, т.е. возникает противоречие с тем, что А истинно.

Если в символьную запись высказывания А входят кванторы , и условие Р, то при построении символьной записи противоположного высказывания А квантор заменяют на , квантор – на , а условие Р заменяют на условие

P .

Пример 10. Записать отрицания высказываний: x E P( x ) (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р(x)) и x E : P( x ) (су-

ществует элемент x множества Е, обладающий свойством Р(x)).

• Если первое высказывание неверно, то свойство Р(x) имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент

x E , не обладающий этим свойством, т.е. x E P( x ) x E : P( x ) . Теперь построим отрицание высказывания x E : P (x). Если это высказы-

Замечание. Очень важно понимать, что для того, чтобы опровергнуть высказывание x E P( x ) , достаточно указать только один элемент x E , при

котором условие Р(x) будет не выполняться. Такой элемент x E называется контрпримером для высказывания x E P( x ) .

23

Например, для высказывания n N (число n2 + n + 41 – простое) элемент n = 40 является контрпримером. Действительно, число 402 + 40 + 41 = 40 41+ 41 делится на 41, т.е. не является простым числом, значит условие (число n2 + n + 41

– простое) не выполняется при n = 40. Замечательно, что для всех n < 40 рассматриваемое высказывание истинно.

Доказательство утверждений представляет собой проводимое по определённым правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного утверждения используют определения, аксиомы и ранее доказанные утверждения.

Пример 11. Показать, что для абсолютного значения (модуля) |x| любого x R справедлива теорема:

|x| < ε – ε < x < ε, где ε – некоторое положительное число.

•Напомним, что по определению

x, если x ≥ 0,

| x |= − <x, если x 0.

Вначале докажем прямую теорему: |x| < ε – ε < x < ε.

В самом деле, если x ≥ 0, то – ε < x и |x| = x < ε, т.е. – ε < x < ε. Если же x < 0, то x < ε и |x| = – x < ε. Второе из этих неравенств равносильно неравенству

x > – ε. Поэтому и в этом случае – ε < x < ε.

Докажем обратную теорему: – ε < x < ε |x| < ε.

Двойное неравенство – ε < x < ε равносильно неравенствам x < ε и – x < ε. Тогда, если x ≥ 0, то |x| = x < ε, а если x < 0, то |x| = – x < ε, т.е. в любом случае справедливо |x| < ε. •

Пример 12. Доказать справедливость формулы для множеств А и В:

АU B = АI B .

•Если это равенство верное, то каждый элемент x A U B должен принадле-

жать и АI B , т.е. x АI B . Предположим противное: x АI B . Тогда справедливы импликации:

x A I B ( x A ) ( x B ) ( x A ) ( x B )x A U B x A U B .

А это противоречит исходному условию x A U B , что доказывает справедливость импликации x A U B x АI B .

Наоборот, каждый элемент x АI B должен принадлежать и A U B , т.е. x A U B . Снова предположим противное: x A U B , тогда

x A U B x A U B ( x A ) ( x B ) ( x A ) ( x B )x A I B .

24

Это опять противоречит исходному условию x АI B , что доказывает справедливость обратной импликации высказываний: x АU B x АI B .

Витоге справедливость формулы доказана полностью. •

3.ЗАДАЧИ

3.1 Задачи с решениями

1. Записать указанные множества, используя различные формы записи: А – множество всех чётных натуральных чисел;

B – множество целых чисел от –3 до 193; С – множество нулей функции f(x) = x3 – 4x; D – множество корней уравнения sinx = 0,5;

E – множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2;

F – множество комплексных чисел, модуль которых равен 1;

G – множество точек плоскости, лежащих на биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов.

• Так как чётное натуральное число должно без остатка делиться на 2, то

A = {2, 4, 6, 8, ... } = {x: x = 2n , n N}.

Множество B можно задать перечислением таких целых чисел:

B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ..., 192, 193}

или указав свойство: B = {x Z: –3 ≤ x ≤ 193}.

Нулями функции f(x) являются корни уравнения f(x) = 0, поэтому

C = {x : x3 – 4x = 0} = {x: x(x–2)(x+2) = 0} = {0; 2; –2}.

Было показано, что не существует рационального числа, квадрат которого был бы равен 2, поэтому E = {x Q : x2 = 2}= .

Запишем множество F, используя различные формы записи комплексного чис-

ла:

F = {z C: |z| = 1} = {z: z = cosϕ + isinϕ , ϕ [0, 2π)}= {z: z = eiϕ}.

Определяющим свойством элементов множества G является равенство абсциссы и ординаты точек плоскости R2, поэтому G = {(x, y) R2 : x = y }. •

2. Данные множества описать перечислением всех своих элементов:

• а) Элементы x множества A являются действительными корнями уравнения x3 – 3x2 + 2x = 0. Решим его: x(x2 – 3x + 2) = 0 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.

25

Итак, А = {0; 1; 2}.

б) Для нахождения элементов множества B решим неравенство:

41 ≤ 2x < 5 2−2 ≤ 2x < 2log2 5 −2 ≤ x < log2 5 . Так как log2 4 < log2 5 < log2 8 , то 2 < log2 5 < 3. Поэтому

В = {x Z : –2 ≤ x < 3} = {–2; –1; 0; 1; 2}.

в) Элементы множества C определяются из решения уравнения cos22x = 1 или cos2x = ±1 при x (0, 2π].

В случае cos2x = 1 получим 2x = 2nπ, n = 1, 2, поэтому x = π, x = 2π, а в случае cos2x = –1 получим 2x = (2n + 1) π, n = 0, 1, поэтому x = π2 , x = 32π .

3. Задать с помощью определяющего свойства следующие множества:

тить, что каждый элемент этого множества представляет собой дробь, в числителе которой находятся чётные числа, а в знаменателе нечётные числа. Поэтому,

Легко проверить истинность этой записи, подставляя в эту дробь числа n = 1, 2, 3, ... .

в) Чередование знака можно задать выражением ( −1 )n ,n N . Действительно,

при n = 1 имеем (–1)n = –1, при n = 2 будет (–1)n = +1, при n = 3 будет (–1)n = – 1 и т.д. Легко заметить, что на любом n-м месте в записи элемента множества С числитель дроби на единицу больше n, а знаменатель больше n на два. Поэтому

26

4. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

• Множество туристов данной группы, знающих английский язык, обозначим А, знающих французский – В. Тогда туристы, знающие и тот и другой язык, обра-

зуют множество A I B . По условию n(A) = 70, n(B) = 45, n( A I B ) = 23.

По формуле (7) находим n( A U B ) =70 + 45 − 23 = 92 .

Множество A U B есть множество туристов, знающих хотя бы один из этих двух

языков, следовательно, не знают ни французский, ни английский 100 – 92 = 8 туристов группы. •

5. Пусть А – множество делителей числа 15, В – множество простых чисел, меньших 10, С – множество натуральных чётных чисел, меньших 9. Перечислить элементы этих множеств и найти

A U B, A UC , B IC , ( A UC ) I B, A I B IC .

• Имеем A = {1; 3; 5; 15}, B = {2; 3; 5; 7}, C = {2; 4; 6; 8}.

Напомним, что простым числом является натуральное число, делителями которого являются только числа 1 и само число. Число 1 не является простым числом.

Пользуясь определением объединения и пересечения множеств, получим

A U B ={1; 2; 3; 5;7 ; 15}, B IC ={2}, A UC ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 15}.

Поэтому, ( A UC ) I B ={2; 3; 5}. Множества A и C не имеют общих элементов, значит A IC = , A I B IC = . •

6. Пусть A = [–1; 1], B = (–∞; 0), C = [0; 2). Найти следующие множества:

A UC , A I B, A U B UC , ( A U B ) IC , B IC .

• Для наглядности изобразим множества A, B, C на числовой прямой (рисунок 4).

Рисунок 4 Исходя из определения объединения и пересечения множеств, получаем:

A UC = [ −1;2 ), A I B = [ −1; 0 ), A U B UC = ( −∞; 2 ), ( A U B ) IC = [0;1], B IC = . •

7. Найти A I B, A U B , если

A = {x Z : x делится на 3}; В = {x Z : x не делится на 6}.

• Рассмотрим числа, которые одновременно делятся на 3 и не делятся на 6. Это следующие числа: {±3; ±9; ±15; ... }. Поэтому A I B = {3k : k – нечётные целые

27

числа} = {3 (2k + 1): k Z}, A U B = Z, так как, если x делится на 3, то x A, а если не делится на 3, то, очевидно, x не делится и на 6, т.е. x В. Итак, обязательно выполняется хотя бы одно из условий x A, x В. •

8. Решить уравнение z2 + 3z + 3 = 0.

• Найдём дискриминант квадратного уравнения: D = (–3)2 – 4 1 3 = –3. Так как D < 0, то корнями этого уравнения будут комплексные числа. Учитывая,

10. Найти все значения 6 −64 .

• Запишем число w = – 64 в тригонометрической форме:

– 64 = 64(cosπ + i sinπ).

Применяя формулу (6), получим различные значения:

28

А7 : число 221 – простое;

A8 : около любого прямоугольника можно описать окружность; А9 : в любой прямоугольник можно вписать окружность;

А10 : разность длин двух сторон любого треугольника всегда меньше длины третьей стороны.

• Очевидно, что |A1| = И.

Так как y = (–x)2 = x2, то функция y = x2 действительно чётная, поэтому |A2| = И.

|A3| = Л, так как π ≈ 3,14.

|A4| = И, так как sin2α + cos2α = 1 – основное тригонометрическое тождество. Уравнение 2x – 5 = 0 истинно только при x = 2,5, поэтому |A5| = Л.

Корни уравнения sinx = 0 можно записать в виде x = nπ, n Z. Очевидно, что среди этих чисел нет натуральных, поэтому |A6| = Л.

Так как число 221 = 13 17, то оно не является простым, значит |A7| = Л. Вспомним, что окружность можно описать около четырехугольника, если сум-

ма противоположных углов равна 180°. В любом прямоугольнике это условие выполняется, значит |A8| = И.

В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма длин противоположных сторон одинакова. Так как в некоторых прямоугольниках это не выполняется, то |A9| = Л.

|A10| = И, это следует из очевидного факта – сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. •

12. Заданы высказывания:

A : 2 2 > 4 ; B : y = tgx – периодическая функция;

• Вначале определим значения истинности заданных высказываний:

|A| = Л, |B| = И, |C| = И, |D| = Л.

Чтобы определить значения истинности для высказываний, полученных из данных в результате логических операций, воспользуемся таблицами истинности (см.

с. 20)

а) |A D| = Л как дизъюнкция двух ложных высказываний.

|C (A D)| = Л как импликация, у которой посылка истинна, а заключение ложно.

б) |B C| = И как конъюнкция двух истинных высказываний.

|B C A| = Л как эквиваленция двух высказываний, одно из которых ложно, а другое истинно.

в) A = И , поэтому B A = И , | ( B A ) C | = И .

г) |A C| = И, |D B| = Л, поэтому |(A C) (D B)| = Л. •

29

13. Записать высказывания, вводя буквенные обозначения для входящих в них более простых высказываний. Определить значения истинности этих высказываний:

а) так как число 40 делится на 10, то это число делится или на 3, или на 5; б) неверно, что 21 делится на 2 и на 11; в) число 21 не делится ни на 2, ни на 11;

г) равенство сторон треугольника необходимо для равенства всех внутренних углов треугольника;

д) равенство всех сторон четырехугольника достаточно для того, чтобы он являлся квадратом.

• а) Обозначим высказывание А: число 40 делится на 10, |A| = И; В: число 40

делится на 3, | В | = Л; С: число 40 делится на 5, |С| = И. Тогда высказывание

А (B C) будет истинным, так как |B C| = И.

зывание и | A B | = И.

г) Пусть А: стороны треугольника равны; В: внутренние углы треугольника равны. Так как В А истинно (известно из школьного курса геометрии), то А является необходимым условием для В. Высказывание в пункте г) истинно.

д) Пусть А: стороны четырехугольника равны; В: четырехугольник является квадратом. Так как теорема А В неверна, то высказывание пункта д) ложно. •

3.2 Задачи для самостоятельного решения

1. Записать указанные множества, используя различные формы записи: A1 : множество всех натуральных нечётных чисел;

A2 : множество всех чисел, которые делятся на 7;

A3 : множество целых чисел, являющихся корнями уравнения 6x2 – x – 1 = 0 ; A4 : множество делителей числа 160;

A5 : множество иррациональных корней уравнения x3 – 3x = 0;

3. Задать с помощью определяющего свойства следующие множества:

30