Matematika_Zaytsev_ch2

Чтобы найти остаточный член r2(x) в форме Лагранжа, вычислим f ′′′( c ) , где c

8. Вычислить с точностью до 10 − 5 величину cos50.

• Рассмотрим функцию f(x) = cosx. От градусной меры угла необходимо пе-

рейти к радианной: cos 5o = cos 36π . Для обеспечения заданной точности значения

числа πи всех результатов промежуточных действий будем брать с одним лишним

знаком, т. е. с точностью до 10−6 (π≈3,141592).

Рассмотрим формулу Маклорена (10) для функции cosx в окрестности

x = 0, так как значение x = 36π ≈ 0,087266 мало отличается от нуля. Оценка ос-

чину k, при котором погрешность, т. е. r2k +1 ( x ) , будет меньше 10−5.

157

10. Определить интервалы возрастания и убывания функции f(x) = ln(1 − x2).

функции: 1− x2 > 0 x2 < 1 − 1 < x < 1. Так как f /(x) = 0 только при x = 0, то нетрудно убедиться, что f /(x) > 0 на интервале (−1; 0) и f /(x) < 0 на (0; 1). Следовательно, рассматриваемая функция возрастает при x (−1; 0) и убывает при x (0; 1). ●

11. Исследовать на экстремум функцию f ( x ) = 5 . x3 − 9 x2 + 24 x − 11

● Заметим, что функция f(x) имеет максимум в тех точках, где знаменатель дроби g(x) имеет минимум и, наоборот, минимум в тех точках, где g(x) имеет мак-

симум. Поэтому вычислим g /(x) = (x3 – 9x2 + 24x − 11) / = 3x2 − 18x + 24. Из ус-

ловия g /(x) = 0 следует x2 − 6x + 8 = 0 x1 = 2, x2 = 4 – критические точки.

Вычислим g//(x) = 6x − 18. Так как g//(2) = − 6 < 0, а g//(4) = 6 > 0, то, соглас-

но 2-му признаку существования экстремума, точка x1 = 2 – точка максимума функции g(x), поэтому x1 = 2 – точка минимума заданной функции f(x); точка

x2 = 4 – точка минимума функции g(x), поэтому x2 = 4 – точка максимума функ-

ции f(x). ●

12. Определить промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции f(x) = xe− x.

● Функция определена при всех значениях x. Вычислим производные:

f /(x) = (xe− x) / = e− x + x e− x(− 1) = (1 − x)e− x,

f //(x) = [(1 − x)e− x] / = − e− x + (1− x) e – x (− 1) = (x − 2)e− x .

Производная 2-го порядка существует при всех значениях аргумента. Найдём критические точки 2-го рода: f //(x) = 0 (x − 2)e− x = 0 x = 2.

Так как e− x > 0 x, то f //(x) < 0 при x < 2, f //(x) > 0 при x > 2.

Итак, на интервале (−∞, 2) график функции выпуклый, на интервале (2, +∞) – вогнутый. При x = 2 график осуществляет перегиб (вторая производная меняет знак при переходе через x = 2), точка (2; 2e−2) – точка перегиба. ●

● Функция определена и непрерывна при всех значениях x, кроме x = 0. Определим характер разрыва в точке x = 0:

158

Итак, точка x = 0 – точка разрыва 2-го рода, а прямая с уравнением x = 0 (ось OY)

– вертикальная асимптота (двусторонняя). Определим параметры наклонной асимптоты. Начнём с левосторонней асимптоты:

Следовательно, прямая y = 0·x + 1 = 1 – левосторонняя асимптота (горизонтальная).

Аналогично, определим параметры k и b для правосторонней наклонной асим-

Следовательно, прямая с уравнением y = 0 – правосторонняя асимптота (горизонтальная ). Отмеченные знаки у чисел k и b позволяют сделать вывод, что график функции расположен выше левосторонней и ниже правосторонней горизонтальных асимптот (при больших значениях |x|). ●

● 1) Функция определена и непрерывна при всех значениях x, кроме x = ± 2. 2) Выясним характер разрыва функции при x = ± 2:

Итак, x = ± 2 – точки разрыва 2-го рода. У графика данной функции имеются

две вертикальные асимптоты с уравнениями x = − 2 и x = 2. 3) Ищем наклонные асимптоты:

159

Следовательно, прямая y = kx + b = x является двусторонней наклонной асимптотой графика функции.

данная функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

Критические точки 1-го рода определим из условия f /(x) = 0 (числитель полученной дроби равен нулю) и условия f /(x) не существует (знаменатель дроби равен

160

4)Функция не обладает свойством чётности и нечётности (область определения не симметрична относительно точки x = 0), периодичности нет.

5)Производная 1-го порядка:

Решая уравнение f /(x) = 0, получим единственную критическую точку 1-го рода:

7) Строим график, учитывая полученную информацию (рисунок 25).

Y

10/e 15/e1,5

16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2sinx + sin2x на отрезке [0; 1,5π].

● Найдём:

f3π = −2 . Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке

2

17. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак с заданным объёмом V. Каковы должны быть линейные размеры бака, чтобы его полная поверхность была наименьшей (чтобы на изготовление этого бака пошло наименьшее количество материала)?

● Обозначим радиус основания бака через r, высоту через h, полную поверх-

ность через S. Тогда имеем:

S = 2πrh + 2πr2.

Так как объём цилиндра V = πr2h, то h = πVr 2 . Подставляя h в формулу пол-

ной поверхности, получим функцию полной поверхности S от аргумента r:

S( r ) = 2πr 2 + 2πr πVr2 = 2πr 2 + 2Vr , r (0, +∞).

Нужно найти наименьшее значение функции S(r) в промежутке (0, +∞).

Определим критические точки 1-го рода функции S(r): S / ( r ) = 4πr − 2Vr 2 ;

Находим S//(r) и устанавливаем её знак в найденной критической точке r1:

163

Следовательно, r = r1 – точка минимума.

Так как функция S(r) непрерывна в промежутке (0,+∞) и имеет в этом промежутке только одну точку экстремума (точку минимума), то в этой точке она имеет

Итак, при заданном объёме V полная поверхность S будет наименьшей, когда высота цилиндра равна его диаметру. ●

2. Записать формулу Лагранжа для функций на указанных отрезках и опреде-

3. Записать формулу Коши для функций на указанных отрезках и определить

164

4. Разложить указанные многочлены по формуле Тейлора:

5. Разложить указанные функции по формуле Маклорена до указанного порядка n (остаточный член взять в форме Пеано):

x = 1 (остаточный член взять в форме Лагранжа).

7. Применяя формулу Маклорена, вычислить с точностью 0,001 приближенные значения следующих чисел:

8. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы:

9. Определить интервалы возрастания и убывания следующих функций:

11. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графиков следующих функций:

165