Лекции матмод
.pdf
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
В.С. Зарубин, Г.Е. Маркелов
ЛЕКЦИИ ПО ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Москва Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2013
УДК 517.1
ББК 30в6
З-35
Рецензенты: О.С. Мажорова, С.Б. Ткачев
Зарубин В.С., Маркелов Г.Е.
З-35 Лекции по основам математического моделирования: Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2013. — 197 с., ил. 107. табл. 7. библиогр. 190 назв.
ISBN
В учебном пособии кратко излагается курс «Основы математического моделирования», читаемый в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Оно посвящено применению математики к решению прикладных задач, возникающих в различных областях техники.
Учебное пособие предназначено для студентов технических университетов и может быть полезно аспирантам, инженерам и преподавателям.
Ил. 107. Табл. 7. Библиогр. 190 назв.
УДК 517.1
ББК 30в6
ISBN |
© МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2013 |
1.1.! " #
-.
.
! " 70XX . # $ - % (&'!), (!!).
* , - ,%$ 50- -XX . + $ %, / - , % . ' $- . & -% , % &'! % / " 60-XX . ' , -$ - -, ,$ , -, ". + , -" . * -" 1 -" , “ ”.
+ !! - – $, -!! $ &'!. * “ $” “ - ”.
2 , %$. 2 % $ -$ - ,. & , !! -“ ” , -.
' , $ " -$ .
, % - , " $, -. 4 -,:
, $ -/ ;
% " , $ $;
3
% $, -;
" $ .
9 % -
,, . .
-$ % $"" -, % , -, -" , , " . +- % / “ " ” % .
* , -. $ “2 - ” - “ ”. ! , — $ ,.
' , , -.
1.2. $ % !$ & #
< $ ( . 1), -$ $.
+ / — -, . 2 . < / (*2), . . , 1, 2 3 , ,.
? ! % ! " ( -) *2 (@ ). @ -*2, -/ , . $ , @ *2, -. + @ *2,— .
A % $ ", . @*2, ,% - .
1 A — % , , . ., $ (- ).
2 4 — % , , ( aggrego — - ).
3 — $, % , ,( sysntema — , ; ).
4
*2 |
I $ |
@ |
II $ |
!! |
III $ |
@ !! |
IV $ |
4
V $
VI $
*
VII $
' $
. 1. A $
& % ! , , " , -@ . & % , -, @ *2, (!!).
? , @ !!, -$. B , !! @, . . !! .
'% !!,% % . & % -
$.
? ' % ! -!!. $ ,@ .
'!! *2, -. ' $ !!.!! % $ *2. 9
5
, % !! -.
+ $ — $ !!.
? % ! " , - % , -.
9 , % -, , $ . *$ , -$.
@ $"" $$ .
(#$ % ! - , $ .
) % ! ( ). * - , " -. 4 @ !!.
-$, % ' & % ! . @ $ ,!!. ' $ @ !!.
+ $ %.
$ , -.
1.3. *$+ , ! +
2 $ , - % , , . # ,
% $ *2 , - , $ ,– &'!-. $ -*2 , , . 2 ,
$ " .
, % % $"" -. @ % $ , ,.
A % % , " , - , , " . $!! , -" *2 . & ,.
6
2. - / 0 45
+ $ , -!! *2. $ , -!! . 1 !! -, " !!.
2.1.( #
'% “ ” -% ,
/ .
@ *2 !!. & , ,@ , .
? !! / -@ . * , , , -
2u |
a |
2 |
2u |
, |
t2 |
|
x2 |
||
|
|
|
u(t, x) — t x; a E / ; E — ( D-
); — .
1 l , n -m, % h l / nc. ' m $ , . . m Sh , S — . E c -
, P -. * F %
P E S h c ,
c E S / h .
|
? , 2<A |
|||||||||
m |
d 2u1 |
|
c(u |
|
u ), |
|
||||
d t2 |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
|
d 2u |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
|
i |
|
|
c(u |
|
|
u |
) c(u |
u ), 1 i n, |
d t2 |
|
|||||||||
|
|
i |
1 |
i |
i |
i 1 |
||||
|
d 2u |
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
n |
|
c(un un 1), |
|
|||||
d t |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui(t) — i- -t. &
d 2u1
d t2
d 2u
d t2i
d 2un
2
d t
a2 |
u2 u1 |
, |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
h2 |
|
||
a2 |
ui 1 2ui ui 1 |
, 1 i n, |
||||
|
h2 |
|||||
|
|
|
|
|||
a2 |
un un 1 |
. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
h2 |
|
||
* , 2<A, -.
7
< *2 , -!!, , - .
2 !! . < , -, G
u(M ) 0,
— "" G , u(M) — " M. !! % :
,
,
- -.
'" u(M) . * -
% " u(M)
, . . grad u . ' % -u(M) M, %- — M/ .
2.2. 6 6
*2 % , , -. % – , -" *2 % / . -– , *2$. – , *2/ .
2 " , *2% , . ? , $ ,, % , $ -, , , $ , .
*2 ,*2, % -" .
' !! / %
z1 f1(x1, , xk , y1, , ym );
z2 f2 (x1, , xk , y1, , ym );
zn fn (x1, , xk , y1, , ym ),
x1, , xk — % ; y1, , ym — ; z1, , zn —
. ' $ %-, . . % . ' -% .
*2 % -, . . % , -*2, . ' % .
2 !! % , -. + . & -" ( identifico — , -
8
“ ”). 1 " %" *2, -( , $) , %-. 2 . # - " / % , !! *2 , . . -% *2 % .
2.3. +
+ $"" , . @ $ .
!! -*2, - .
? , / ,, . * , !!% "
U I R
2 , U I — $ - ; R — . * %$ U , -R I, " - , , , % -.
!! *2$ , !!. z1, , zn — -*2, !!, , -
$, ~1 ~n — , z
,
,
z
" % *2. * % i-
|
~ |
z |
|
|
|
|
|
|
|||
i |
z |
i |
i |
, i = 1, 2, …, n. |
|
|
|
~ |
|
||
|
|
|
zi |
|
|
' -1, 2 , , n ,
|
|
|
|
|
n |
|
max |
|
i |
|
i2 . |
|
|
||||
|
1 i n |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
*2 % , ,$ *2, $ .
!!. ' $ -*2,. ! , - , *2.
' !! -*2, , %. * " -
9
X {(x1, , xk ) Rk : },
*2. !-% x1, , xk , "!! -% !!. L % , % !!, . . !! %% *2.
' , -, !! %/ . & , - , " ," .
!! , !!, - , $ !! $ %% . 2 , $,% !! -% . $ !! -.
!! ( robust — , )% % $.
!! -!!, " , ,. + !!, -% .
!! -. # ,% , , !!. '!! , . & -, .
? -, ,, " . . ' $ -" . #" , -!!, ,.
! " !! — ,!!. & , . * , !! " , ( ,) . & % - $.
2.4. 86 '$ ! , !$ ! # +
@ " , / !!. * -, . < " . 2.
10