Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции матмод

.pdf
Скачиваний:
77
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.82 Mб
Скачать

( , -1) $ Qe: -U* ,

Qe: CU: .

2 , $ $ , ,

Ee: Qe: U : CU :2 Qe:2 .

22 2C

t t0 , 1 2. * , 9 " ,

L

d I

 

Qe

I R(I) 0 ,

(66)

 

 

d t C

Qe (t) — $ t. A ,

I d Qe , d t

% 2<A

d Q

 

 

 

 

 

 

 

e

I ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

d I

 

 

Q

 

I R(I)

 

 

 

 

 

e

 

 

,

 

LC

L

d t

 

 

 

 

!! $ .

# $ , $ -$ % , — $ $ -, . & - % $ . < , $$

W E

 

E

 

 

L I 2

 

Q

2

,

m

e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2C

 

 

 

 

 

 

E

m

L I 2 / 2 — $ % ; E Q 2

/(2C) — $ $ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e

 

 

 

 

 

. *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d W

 

d Em

 

d Ee

 

d I

 

Qe

 

d Qe

 

d I

 

Qe

 

 

 

Qe

 

 

 

 

 

 

I L

 

 

I L

I

I L

d I

 

.

 

 

 

d t

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

d t C d t

 

d t

C

d t

 

C

A (66),

d W I I R(I ) I 2 R(I) 0. d t

, $ - , $ , -. & . # -R , $ , !! $ -.

101

5.5.( * # # $

'!! -2<A

d u

 

,

 

 

 

 

dt

(67)

 

 

d

 

f (u).

 

 

d t

 

 

, $

F(u, )

2

B (u)

H const ,

(68)

 

2

 

2

 

 

u

B (u) 2@ f (s)ds .

u0

< $ , " F(u, ) % (67), t, . .

d F 0. dt

' (67)

d F d f (u) du f (u) f (u) 0 . dt dt dt

# " u(t) -, (t) — $ , f(u) — -, $ . * 2/2 B(u)/2(68) $ , H $ $ % - . * , (68) $ -.

# u(t0 ) u0 (t0 ) 0 , (68)H. < , (68)

F(u

,

)

2

 

B (u )

 

 

2

 

0

0

 

0

0 H .

0

0

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

* H 02 /2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 % (68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

02 B (u) .

 

(69)

D t, u, , - , % (67), u(t0 ) u0 (t0 ) 0 ,

(t0, u0, 0 ) D . * (u0, 0 ) " uO "

, (69).

& Ou u,

2 02 B (u) D 0

B u 02 .

102

< u,

du 5 0,

dt

u ( . 57).

. 57. + "

" f(u) n N u1, u2, , un ,

(ui ,0) , 1 i n , 2<A (67),

u(t) ui const,

(t) 0

% $ , " f(u)" B(u). ' " - , 2<A (67). < $: f C(ui ) 0 , f C(ui ) 5 0 f C(ui ) 0.

# f C(ui ) 0,

B CC(ui ) 2 f C(ui ) 5 0.

, ui — " B(u). * -(ui ,0) " ( . 58).

. 58. + "

103

< , 02 5B (ui ) , (ui ,0)

"

(u) F 02 B (u) ,

(69). & " Ou" , Ou (u ,0) (u ,0) ,

u u 02 B (u) 0 .

# 02 B(ui), (u ,0) (u ,0) uO

(ui ,0) . , "(ui ,0) , 2<A (67) % .

& , f C(ui ) 0 (ui ,0) , -% 2<A

u(t) ui const,

(t) 0

G .

'" f(u) " $,

% 2<A . < ,

f (u) ?2u ?26 ,

? 6 — , ? 4 0, (67)

d 2 u(t) ?2u(t) 0 , dt2

u(t) u(t) 6 , (69) — $.

< " f(u) . ' " Ou T -, , .$

d t

 

d u

 

 

 

 

d u

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u)

02 B (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

d u

 

 

 

u

 

d u

 

 

T 2@

 

2

@

 

 

.

 

 

 

2

 

u

(u)

u

 

0

B (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# f C(ui ) 5 0,

B CC(ui ) 2 f C(ui ) 0.

, ui — " B(u). < -% 2<A

u(t) ui const,

(t) 0

G .

104

? . %

d xi fi (x1, x2 , , xn ) , (70) dt

i 1, , n .

, fi (x1, x2 , , xn ) ""(0, 0, , 0) , (70), . .

d xi n aij xj Ri (x1, x2, , xn ),

dt j 1

aij fi (0, 0, , 0) ,

xj

i 1, , n .

' %Ri (x1, x2, , xn ) (70), -

d xi

n

 

aij xj ,

(71)

dt

j 1

 

i 1, , n . * (70). # % (70)

% (71), $1.

(70) -.

1.#

(71), %

(70).

2.# -

, % (70) .

A ,, ,, . ' -, , , -Ri (x1, x2, , xn ) .

+ , (67)

du

 

,

 

 

 

 

dt

(72)

 

d

 

f C(ui ) (u ui ).

 

 

d t

 

 

' "

u

 

u

 

 

0

 

 

0

1

 

A

 

f

C

,

A

C

.

 

 

 

 

(ui

)ui

f

(ui

) 0

1 A 4 ! G (1857–1918).

105

? det A *E 0

 

*

1

 

*2 f C(ui ) 0 .

 

 

 

f C(ui )

*

 

 

2 , *1,2 F f C(ui ) .

 

f C(ui ) 5 0

, % 2<A (67)

u(t) ui const,

(t) 0

G . & % -

, .

? . ' f C(ui ) 0 G .

M . 59, u(t0 ) u0

(t )

0

, 2

B (u ), u , -

0

0

i

02 B (u) ,

. . " u u u . # 02 B(ui),(u ,0) (u ,0) uO (ui ,0) , - .

. 59. + "

# 02 B (ui ) , " -(% . 59),

u

2 02 B (u) 02 2@ f (s)ds , u0

$ (ui ,0) . u(t0 ) u0 ui

(t0 ) 0 0 , -

 

 

u

 

2 2@ f (s)ds .

(73)

ui

 

106

# " , " -. A (73) " .

' , f (u) f C(ui )(u ui ) (67) (72),(73)

u

2 2 f C(ui )@(u ui )d u f C(ui )(u ui )2 ,

ui

. 2 " - , $ .

? (ui ,0) " uO . ," f(u) ui

f (u) f (ui ) f C(ui ) u f CC(ui ) u2

1! 2!

f k (ui ) uk o uk , k!

. . " * " , u u ui , -f (ui ) 0 . * " (73)

u

 

#

f

 

C(u )

 

 

 

 

f CC(u )

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2@ f (s)ds

2 !

 

 

 

 

 

 

i

 

u2

 

 

 

 

i

u3

 

 

 

 

2!

 

 

 

3!

 

 

 

ui

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f k (ui )

uk 1 o uk 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k 1)!

 

1 , $ u2 ,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

# f

C(u )

 

f

CC(u )

u ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

u

2

 

 

2!

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(u) (u ) 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

u

2

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

(ui ) 0 , (u) (ui ). 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

 

 

 

 

 

 

 

f

CC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u )

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

lim

! f C(ui )

2

 

 

 

 

i

 

u f C(ui ) .

 

 

 

2

 

3!

 

 

u10 u

 

 

 

 

u10

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

d

2

f C(ui )

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ui )

 

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u10

 

 

 

 

 

u10

u

 

 

du

 

 

 

 

 

) " (ui ,0) , . .

tg)

d

(ui ) F f C(ui ) .

du

 

, F f C(ui ) (u ui )

(ui ,0) .

# f k (ui ) 0, k 1, 2, , 2m , m N , f 2m 1 (ui ) 5 0, B k 1 (ui ) 2 f k (ui ) 0 , k 1, 2, , 2m ;

107

B 2m 2 (ui ) 2 f 2m 1 (ui ) 0.

* $ " B(u) -u ui . , (ui ,0) - - . 2 ,

tg) F f C(ui ) 0

" , , ( . 60). * -% 2<A (67), $ , -G .

. 60. ^ "

# f k (ui ) 0, k 1, 2, , 2m , m N ,

f 2m 1 (ui ) 0,

B k 1 (ui ) 2 f k (ui ) 0 , k 1, 2, , 2m ;

B 2m 2 (u ) 2 f 2m 1

(u ) 5 0,

i

i

, u ui " B(u) -

$. * (ui ,0)

- . *

%

 

u(t) ui const,

 

(t) 0

 

2<A (67) G .

 

# f k (ui ) 0, k 1, 2, , 2m 1, m N ,

f 2m (ui ) 4 0 ,

B k 1 (ui ) 2 f k (ui ) 0 , k 1, 2, , 2m 1; B 2m 1 (ui ) 2 f 2m (ui ) 4 0 .

* u ui " B(u) -.

* (ui ,0) " uO

 

( . 61). A $ " " (73). & " -

Ou

u,

B (u) 2 , "

(u ,0)

Ou,

0

i

 

tg) F f C(ui ) 0 .

108

 

 

. 61. + " -( ) ( ) " B(u)

' $ %

u(t) ui const,

(t) 0

2<A (67), (ui ,0) , G- .

109

5.6. 8 9$ ! $

2 """ uO .

@ uOy " " y B (u) y 02 const . B (u) 02 u R ( . 62), -

, " " , -Ou.

. 62. + "

+ u , -— u . ' " , -t 1 / t 1 / , - " + .

# B (u) 5 02 , u R " , -0 , .

" y B1(u) " , ,, y 02 " . - , " " ( . 63).

. 63. "

110