Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции матмод

.pdf
Скачиваний:
77
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.82 Mб
Скачать

? c / m .

* , !!.

( 3. < ,, ,$ , , -% % ?, / . & -.

/ @ , m c. 2 -/ % ( , -). ' -. E $ -/ ,?0 . < $ , , ( . 42), . . P(u) u .

" . < $A . 47. 2

PA mA g ,

mA — / ; g —.

. 47.

, -uA, A $ )A. ',mA

cA

 

d P(u)

 

.

d u

u u

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

L

?A

cA

 

1

 

d P(u)

.

 

 

 

 

mA

PA / g d u

u uA

 

 

 

 

 

 

2 , -/ ?0, -?0 ?A A, " " P(u), . .

?0

g

 

d P(u)

 

P(u)

 

 

 

d u

91

 

d P(u)

 

?

2

 

 

 

 

 

 

0 P(u).

(57)

 

d u

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? 2

 

 

 

 

 

 

0

 

(58)

P(u) C exp

g

u .

 

 

 

 

 

 

+ " C 5 0 C

-

, . . P(0) 0. 2 $

C 0 .

$ . ' %/ . $ $ % -P0 / . 1 , 2<A (57) -

P D P0 , P P0 , , %

 

P(u) c0 u ,

(59)

c0 — . L,

d P(u)

 

 

c0

,

d u

 

u u

 

0

 

 

 

 

 

 

 

u0 P0. & -(57) c0 ?02P0 / g . * ,

P P

 

(59) u

0

P /c

g /? 2

, , (58),

0

 

 

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

? 2

 

 

P0 exp 1 .

 

 

 

 

 

 

0

u0

 

 

 

C P(u0 )exp

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C (58) ,

 

?02 P0 u / g ,

0 P P0 ;

P(u)

 

P D P0 ,

P0 exp ?02 u / g 1 ,

— , . ' $ - , !!, . 48.

. 48.

?

 

?02

P0 u / g ,

0 u u0 ;

P(u) P exp ? 2 u / g 1 ,

u

0

u,

 

0

0

 

 

u0 g /?02 .

92

5.3. $ ,$

+ !! -2<A

du

f t, u(t) ,

(60)

 

dt

 

u(t) — " t.

" f (t, u) , G, G % G u, . . L 5 0 , G % ,(t, x) (t, y) G

f (t, x) f (t, y) L x y .

" f (t, u)

D G(t, u) R2 : t t0 a, u u0 bH I G ,

, 9 % , % 2<A (60) -u(t0 ) u0 . & %

t t0 h ,

 

b J

 

G

 

H .

 

 

h min a,

 

K , M max

f (t,u)

 

 

M L

(t, u) D

 

 

 

 

 

 

# 9 % , % 2<A -2<A. # $ 2<AA M R , A — , % 9 %

du f (t, u(t), ), dt

u(t0, ) u0

""-" f (t, u, )

 

G

 

H

D

(t,u, ) R

: (t,u) D M R

, A M R .

% -, , 2<A % .

# % , $ tOu. % 9 % - % , 0 -tOu. * $

$ , 0 $ # ) .

' , " % 2<A (60),, $ 2<A , . .

du f (u) . dt

93

' $ , f (u) 0 . # , " u(t) , " u(t)( ).

f (u) 0 n N u1, u2 , ...un . * u(t) ui const , 1 i n , tOu -% 2<A , u(t0 ) ui .

, -9 % . * % 2<A (t0, ui ) $ -

% .

, u(t) ui const , 1 i n , $ .

2<A , $ -" u(t), -" $ " .

? . 49. " " f(u) -tOu.

f

 

u

 

 

 

u3

 

 

 

u2

 

 

 

u1

 

O u1 u2 u3

u

O

t

. 49. 9

' % u(t) ui const 2<A

du f (u) dt

t 5 t0 .

@ % )(t) # G , -5 0 ( ) 5 0 , u(t0 ) )(t0 ) ( ) -

u(t) )(t) t 5 t0 . & , % )(t) -% u(t) t 5 t0 . #$ % )(t) u(t) t, . .

lim 'u(t) )(t)( 0,

t1 /

% )(t) # . @ % , -, # .

2 , % u(t) u1 u(t) u3 ,

"

. 49, , % u(t) u2

— . *-

, " " f(u) , % u(t) ui const

, — .

94

( . @ $ . 50, -, % L, -R $,( ).

. 50. & , $

U<(I) -$ I , $ .

# , I U< , 9 " t -$ 2<A

 

L

d I

R I U< (I ) U

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

d I

 

 

U R I U< (I )

f (I ) .

(61)

 

dt

 

 

L

 

 

 

 

 

 

" " f(I) . 51 , %

I(t) I1

I(t) I3 , % I(t) I2 — .

f

 

 

 

U = U* = const

 

O

I1

I2

I3

I

. 51. F " " f(I)

+ U Rf (I ) 0 . # % 2<A (61) U R , tOI.

@ , 2<A (61) U --tOI.

"

 

 

U

 

,

U I

R I

< I

95

" . 52, %

 

 

I $ U U "-

R. 2 , $

f I 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

U2

 

C

 

C1

 

 

U*

B

 

B1

 

 

U1

 

 

 

A

 

A1

 

 

 

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

I1

I2

I3

 

 

O

I1

I2

I3

I

. 52.

 

 

 

 

 

 

F " " U I

 

 

 

 

, ,I $ . *0 U0 $$ .U0 U2 I1 , -

I3 , . . $ - .

# $ % , I %I2 , I0 , -

.

? . 53 " " f(I) " -U1, U* U2.

f

U = U2 = const

I1

I2

I3

O

I1

I2

I3

I

I0

 

 

 

U = U* = const

 

 

 

 

 

 

 

 

U = U1 = const

. 53. F " " f(I) "

96

B C " f(I) , - , , I1 I2, , -I1 , . . tOI I(t) I1 I(t) I2

I(t) I1 , % 2<A.

B1 A1 " f(I) . * , I2 I3, , I2 . & , tOI I(t) I2 I(t) I3

I(t) I2 , % 2<A.

* , U 2<A (61) -.

1 U, tOI, " . ' $" U1 U2 U, ,, " .

97

5.4. ( )

# !! , . * “ !!”, “-!!” “$ !!” .

@ %( . 54).

 

 

:

(u, , t)

 

 

 

P

 

P(u)

 

 

 

 

m

 

 

 

 

O

 

u(t)

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 54. %

m.t u(t) -(t). ? ,Ou P P: .— 1. 2 "-% u, . . P P(u) . ' — ,

P: P: (u, , t) .

?

%

 

m

d

P(u) P:(u, , t) .

(62)

 

 

 

 

d t

 

 

 

$ 9 m 2 /2

 

 

 

 

 

d 9

m

d

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

d t

 

$ (62)

 

d 9

P(u) P:(u, , t) .

(63)

 

 

 

d t

 

 

 

* , $, $.

2 , $ (u)

P(u) d (u) . du

*

P(u) d d u d

d u d t

d t

(63)

1 , $ -% $ ( -). # , ,, . 9 , ,.

98

d 9

 

d

 

d W

P: (u, , t) ,

(64)

 

 

 

d t d t d t

 

W 9 — $ .

' $ $ W P: (u, , t) -, . 'W 9 const .

# " (64) P:(u, , t) 0, $ % ( ) , -. * (dissipatio — ). $ " $ -, , $.

, $( , , ). < -. , $ %. $ !! -% .

# ,. & -2<A, :

d u ,

 

d t

 

 

d P(u) P: (u, ) .

d t

m

m

* 2<A !! -.

( 1. ' 1m, 2 3, c u $ -( . 55).

. 55. : 1 — ; 2 — ; 3

2 u , " ., , $Ou

P(u) c(u)u .

, P: -, . .

P: ( ) k 2 sgn ,

k const 5 0 — $"" ; sgn — "- ( ).

99

?

md P(u) P: ( ) P(u) k 2 sgn . d t

* -2<A

d u ,

 

d t

 

 

d P(u) k 2 sgn .

d t

m

m

$ $ "

u

(u) @ P(s)d s ,

u0

u0 — , , $ . * , u0 0, . . u0 , -

, " . ' $$

 

 

W 9 m

2

u

 

 

 

 

@ P(s)d s .

 

2

0

 

 

 

 

 

1 " (64) %

 

 

 

 

 

 

 

 

d W

P: ( ) k 2 sgn k 2

 

 

 

0 ,

(65)

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . $ %$ % , -.

# , . . k 0 " (65),

d W 0 , d t

, !! -.

# , — -, - % ,

.

( 2. @ . 56 $ , % -L, C , R(I) -I .

. 56. &

100