Лекции матмод
.pdf1. 9 ! # ) " ': . '*2. L % -*2, !!. ? , !! -*2 , % *2 -, !! ,.
% % -, ,!! . !! % -
, .
2. ( , ! ! ! & 6 * # . & . <- , !!, , -!! , , *2. 2 , ,.
*2 -% !! . # , -$ . # ," ,!! . . , !!. ' $ *2.
, !!,*2, $ - .
$ !!.
.
3. ( , ! & . * !! %. & , , % % -, !!, % % -.
# % % -,. # % % -, ,.
2 , --
.
4. ( , ! ! + + . ? , -, -. * "- , !!.
2 !! , -". & , . * ,, % - .
" . !!$ % /-" % $ , -. 2 , "-- .
11
2.5. < , # +
!! *2 #, $ # -$ # !!.
# !! *2, , !!. # " *2, $ # - . M *2 " , ,- . !!, -" , *2. * - $ #.
!! " " . * !! -*2 $. * " , , , . . +*2, % $, -.
% !! " *2 $,. ' !!% ,*2 $. * !!,. F : —, — . ' ," " -" . F !! -( ,).
& # !! % , -*2. M *2 , -( ) ( ), . . $ *2 . * "!!, , % %" *2, . + !! % % , , . #*2 % " - , &'!, !! " !!. $" , !!.
# *2 " ,!!. *2 -, " , -% , - , $ -*2.
!! ' .*2,$ .
2 ' !! $ -, $ -" . $ $ !! " , .
!! " , , $ , $ -
12
, . 9 , -% ( % , ,$ *2). ' % "-. & , -$ / , -(" ó ). 2 $ , F " , M. .
-% *2 % !!, ' .
2.5.1. " <6 , '$+
2 " -" . ' $ !! , — .
!! , -*2 . $ !! *2, -, . ? , *2,, .% , *2 - -, , , " . . # -% *2 , $ *2 .
< !! ,. 2," , . . !! -. ' !!, -, % -
.
( . / , -t T(t) ,T( ( . 2).
. 2. @
q , , -TC T , . .
q TC T ,
— $"" . *
13
Q q S TC T S , |
(1) |
S — .
9 $, , $ -u , $ , $""C* , < /9 -$, % 1 K . * -
du CT dT (t) Q dt . |
(2) |
< !!, T(t) t, -(1) (2) 2<A
|
C |
|
d T (t) |
|
T T S . |
|
(3) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
* |
d t |
C |
|
|
|
|
|
(*, , T T0 - |
|||||||||
t 0 |
$ 2<A % , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
T (t) TC (TC T0 ) exp |
C* |
t . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , !! - .
? , -% " . ? $ " - , . $ $"" - , , . #" t. # "2<A (3), !! . +!! % ," .
2 -% (4) -.
* , """ y f (x1, , xn ),
~ |
|
~ |
|
|
|
|
, % - |
|||||||||||||
x1 |
, , xn . ' |
|||||||||||||||||||
y, |
|
~ |
|
~ |
~ |
). < $ |
||||||||||||||
y |
f (x1 |
, , xn |
||||||||||||||||||
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
|
|
|
xi |
|
|
f |
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
(y) |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
(x1, , xn ) |
(xi ) , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
f (x1, , xn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
% y,
|
|
~ |
) |
~ |
, i 1, 2, , n . |
|
|||||
(xi |
— % xi |
||||
# % $"" -%(4), .
"
*2, . * !!( ' ). * , ,
, ( $) !!.
14
# !! *2, , . ? , - , % . !! $ *2 - % ,.
# *2 -, ) !!. -!!. ? , $ $!!, , -$, — !!.
*2 , -% , . . *2. # !! *2 , -. # *2 , $, ) !!. ? ,, -$ — $ $ .
' !! . '!! / % . & - , - % ( ) *2
!!, -— , . . !! ) ( superpositio — ). # !!, . < !! -% ,
!!.
+ !! % -) !!*2. * %- , - . < , !!*2.
9 *2 — -. ' , -, — . ' $ # #, - # * # !!. ' !! $,!! *2.
15
2.6. + # +
*2 -). 2 *2 $, - . $. ' !! -$. !! !!*2, $ /.
+ !!. ? , -!! !!, -, % *2, — .
" !! -, *2. $ : , .
'!! , *2, -. !! , -, , -. < !! / " # !! .
'!! , *2, - , .
!! ( # ), !! — ( # ).
# !! , *2, ,!! -. ' / $ *2 % $ . * !!
.
!! % , !! — , !! — % .
'$ !! .
16
2.7. : 9
* " , -/ , $ . *, $ , $, *2.
" - # # " . * , !( — SI, — +)" : — ( ), — ( ),
—( ), $ — (4), — (9),
—( ) ( candela — ), — . <-( ) 1 ( )2 ( ) 3.
# " , , "
" , . * ) #$ ) .
& ) ) - " B:
[A1]n1 [A2 ]n2 [Ak ]nk ,
k — ; n1, n2, … nk — , - ) ) [A1], [A2], …, [Ak] . M -, -[B] B [A1], [A2], …, [Ak] , . .
[B] [A1]n1 [A2 ]n2 [Ak ]nk .
? , a
[a] [L]n1 [T ]n2 ,2
[L] [T ] — , n1 1, n2 2 — - .
# n1, n2, … nk , B )- ), 1.
' -
% " . $ |
[A B] [A] [B] |
|||||||||||||||||
[A/ B] [A]/[B] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 1. 1 % $ w !- |
||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
[ ] [L]/[T ] [L][T ] 1 / . |
|
|
||||||||||
1. + , |
|
|
||||||||||||||||
2. ' " $ w |
1 |
m 2 , |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
#1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
[w] ! |
|
|
[m] [ ] |
|
1 [M ] [L][T ] |
|
|
[M ] [L] |
|
[T ] |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
"2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 @ — , % - , .
2 — , % " -( " , 4$ ).
3 A — , , -.
17
[M ] — .
* "-. * A B -A B , [A] [B]. @% . # A, B C A B C , , . . [A] [B] [C].
2 , "% . + , -, -Bj
k |
|
[Bj ] %[Ai ] ij , |
(5) |
i 1
k — [A1], [A2], …, [Ak]; ij — .
, -*2, + -. ' , , # -. 2 # -*2.
*2 n B1, B2 , , Bn ,(5). @
n
& %Bj xj ,
j 1
x1, x2 , , xn — , - ,
n |
|
[&] %[Bj ]xj . |
(6) |
j 1
? s , - , . . , -. + (5) (6),
|
|
|
ij x j |
|
n |
|
n |
|
k |
k |
ij x j |
||
'&( % %[Ai |
] |
%[Ai ]j 1 . |
||||
j 1 |
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
A & k -
n |
|
ij xj 0 , i 1, 2, , k . |
(7) |
j 1 |
|
! ( ij) ( G4A) (7)
). 2 , $ |
r k . |
+ , G4A n xj, |
j 1, 2, , n , - |
r n r % , " %1 $ G4A. * % s n r &q, q 1, 2, , s , -
1 M % G4A n – r % $ G4A, n — , r — .
18
. xj & % G4A (7) % " , $ , & &1, &2 , , &s , . .
s
& %&q yq ,
q 1
y1, y2 , , ys — .
# / " ,$ -&1, &2 , , &s .
* , " - # (&-):n , / , , -" , s n r -, r — . $ s -( ) .
? , / |
|
n |
B1, B2 , , Bn " |
||
|
B1 f (B2 , B3, , Bn ) , |
|
B1 — , B2 , B3 , , Bn |
— , f — " |
|
. * |
$ - |
|
|
|
|
&1 F(&2 , &3 , , &n r ) ,
&1, &2 , , &n r — ,
&1 ; r — ; F — " .
@ &-:
1. n r 0 , B1 f (B2 , B3 , , Bn ) ,
, % , "-;
2. n r 1, &1, &1 const .&- .
. 3.
( 2. , , "&-.
( . 3) -c . $ S $ , . .
S f (c, ).
19
# S, c 2, . - ,— . *
S |
c |
|
(2 |
1 |
0). |
2 , n 3,k 1.
2 , . $ &- -
&1 S /c2 |
|
|||||||
&2 , &1 F(&2 ) |
S c2 F( ) , F — "- |
|||||||
. * SABD SBCD |
||||||||
ABD BCD . 3, |
ABC. |
|||||||
$ |
SABD a2 |
F( ) |
|
SBCD b2 F( ). |
? |
|
S SABD SBCD , |
|
c2 F( ) a2 F( ) b2 |
F( ) |
c2 |
a2 b2 . * , &-, , |
|||||
.
< % &- *2 -, / , -$ -*2, . 2 , -!!, $ .
. 4. @
( 3. @ ( . 4),l m. -O -. # )0 OA, - % , $ .
A T : m, l, )0 g, g — .
# T, m, l, )0 g , , ,/2. , : — , — , — . *
|
|
T |
m |
l |
)0 |
g |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
. |
||||||
2 , n 5 ,k 3 .
20