2.3. Интегрирование уравнений эйлера

Пусть вектор f имеет потенциал, т.е. существует такая функция U(x, у, z), что

или (2.3.1)

При этом уравнение (2.2.4) для однородной несжимаемой жидкости (р = const) примет вид

. (2.3.2)

Интеграл уравнения (2.3.2) дает равенство

, (2.3.3)

которое представляет собой общую форму интеграла уравнений гидро­статики, когда объемные силы имеют потенциал. Если внешние объем­ные силы не имеют потенциала, то в поле таких сил жидкость не может находиться в состоянии покоя.

Рассмотрим частные случаи объемных сил.

Внешняя объемная сила  сила тяжести. Пусть в декартовой систе­ме координат ось z направлена вверх. Используя (2.3.1), установим, что потенциал силы тяжести:

, (2.3.4)

где g  ускорение свободного падения, при этом

.

Подставим (2.3.4) в (2.3.3):

.

Обозначив через  удельный вес ( = g), получим:

или . (2.3.5)

Это закон распределения гидростатического давления в поле силы

тяжести. Обозначим через р₀ давление на свободной поверхности, или поверхностное давление, и найдём форму свободной поверхности из условия, что на ней р = р₀ = const. Из (2.3.5) следует, что такая поверхность, координаты которой обозначим через z₀, представляет собой горизонтальную плоскость:

Рис.2.3. Гидростатическое давление в поле силы тяжести

. (2.3.6)

Определённое таким образом давление называется абсолютным давлением и обозначается через р_А. Представим на рис. 2.3 замкнутый сосуд, ча­стично заполненный жидкостью. Давление на сво­бодной поверхности равно р₀. Если h_M – это рас­стояние от свободной поверхности до точки М (заглубление точки), а начало координат распо­ложено на свободной поверхности, так что h_M = z (рис. 2.3), то в точке М абсолютное давление

, (2.3.7)

где р_в = h  весовое давление, т.е. давление, обусловленное весом жид­кости.

Обычно в технических приложениях используют не абсолютное дав­ление р_А, а его отклонение от атмосферного давления р_а. Если Р_А > Р_а, то избыточным давлением р_и называется превышение давления в точке над атмосферным:

р_{и =} р_А– р_а. (2. 3.8)

Если на свободную поверхность действует атмосферное давление, то весовое давление в жидкости равно избыточному, и абсолютное давление в любой точке внутри жидкости согласно (2.2.7) можно записать в виде

р_а = Р₀ + Р_в = Р_а + h = Р_а + Р_и . (2. 3.9)

Рис.2.4. Пояснения к определению избыточного и вакуумного давлений

При условии Р_А < р_а недостаток давления в точке до атмосферного называется вакуумом:

. (2.3.10)

Введённые выше определения избыточного давления р_и и давления вакуума р_вак представлены на рис. 2.4 в виде переноса начала отсчёта давления в точку р_а.

2.4. Способы измерения гидростатического давления

Наиболее простой и надежный способ измерения давления в поле силы тяжести основан на использовании гидростатического закона распределения давления (2.3.5). Отметим два наиболее важных в данном случае следствия этого закона:

• распределение давления в жидкости (или газе) не зависит от формы сосуда, в котором она покоится;

• на любой горизонтальной плоскости, пересекающей рассматриваемый (покоящийся) объем однородной жидкости или газа, давление постоянно.

Приборы для измерения давления называют пьезометрами (пьезо - давление) или манометрами.

Рис.2.5. U  образные пьезометры для измерения а  абсолютного давления, б  избыточного давления, в  вакуума; г  U - образный пьезометр с одной измерительной трубкой

Самым распространенным прибором для измерения небольших (имеющих порядок атмосферного) давлений является U-образный пьезометр. Пусть необходимо измерить давление в газе, содержащемся в замкнутом) объеме (рис. 2.5). Присоединим к сосуду один конец U-образной трубки, частично заполненной жидкостью с плотностью  (рис. 2.5,а). Второй свободный конец трубки запаян, и на свободной поверхности жидкости создано поверхностное давление р₀ = 0. Приравняв давления в коленах трубки в точках, лежащих на горизонтальной плоскости 0  0, получим значение абсолютного давления в сосуде р_А:

. (2.5.1)

При этом следует иметь в виду две вносимые этим методом измере­ний погрешности:

• погрешность, связанную с тем, что изменением весового давления в газе, заполняющем сосуд и часть измерительной трубки, пренебрегают. Это, как правило, допустимо, так как плотность газов на три порядка меньше плотности жидкостей;

• погрешность, обусловленную наличием насыщенных паров жидкости над свободной поверхностью рабочей жидкости в свободном колене с за­паянным концом; давление насыщенных паров р_нп = Р_НП(Т) может быть учтено при вычислении р_А, но во многих случаях им можно пренебречь, так как оно на два порядка меньше атмосферного давления.

Чаще всего на практике требуется измерить отклонение абсолютного давления от атмосферного, т.е. избыточное давление р_и или вакуум р_вак. В дальнейшем изложении для избыточного давления вместо р_и будем ис­пользовать обозначение р. Для измерения отклонения абсолютного давле­ния р_А от атмосферного р_а используют U-образную трубку со свобод­ным концом, открытым для атмосферного давления (рис. 2.5,б). При­равняв давления в точках на плоскости 0 – 0, найдем избыточное давле­ние р (рис. 2.5,б):

(2.5.2)

или вакуум р_вак (рис. 2.5, в):

. (2.5.3)

В некоторых случаях, когда диапазон изменения измеряемого давле­ния невелик по сравнению с атмосферным, используют U-образную труб­ку, свободное колено которой имеет площадь поперечного сечения во много раз (на два-три порядка) больше, чем колено, присоединяемое к точке измерения давления (рис. 2.5,г). При такой конструкции U-образной трубки изменение уровня свободной поверхности левого колена при изменении давления р_А в резервуаре практически не меняет уровня жидкости в правом (широком) колене. Это позволяет следить за давлени­ем в резервуаре, контролируя уровень жидкости в одном (левом) колене (а не в обоих, как в обычном U-образном пьезометре).

Подобная конструкция используется в приборах для измерения ат­мосферного давления, называемых барометрами (рис. 2.6). Они состоят из широкой чашки, в которой на свободную поверхность рабочей жидко­сти действует атмосферное давление, и присоединенной к ней вертикаль­ной трубки с запаянным свободным концом; эта трубка заполне­на жидкостью, и на свободной поверхности в ней создается давление р₀ = р_нп  0. Приравняв давление в точках на плоскости 0 – 0, имеем

. (2.5.4)

Согласно (2.5.4), измеряя высоту h_a, легко вычислить атмосферное

Рис. 2.6. Барометры: а  принципиальная схема, б  ртутный, в  водяной

давление р_а.

При конструировании пьезометров и барометров важен рациональный выбор рабочей жидкости. Так, нормальное атмосферное давление на уровне моря равно р_а = 1.012 10⁵ Па. Если выбрать в качестве рабочей жидкости воду (_в = 1000 кг/м³), то

,

и, следовательно, высота водяного барометра будет более 10 метров. Чтобы уменьшить габариты барометра, в качестве рабочей жидкости используют ртуть (_Hg = 13600 кг/м³). В этом случае , т.е. высота ртутного барометра не превысит 1 м.

Отметим, что зависимости (2.6.1) и (2.6.2) позволяют выражать значение давления не только в паскалях, но и в единицах высоты столба рабочей жидкости. В частности, атмосферное давление измеряют, как правило, в миллиметрах ртутного столба.

Для измерения абсолютного и избыточного давлений используют разнообразные механические приборы, называемые манометрами.

В зависимости от чувствительного элемента различают поршневые, деформационные, пружинные манометры и манометры, использующие пьезоэлектрические и пьезомагнитные эффекты. Манометры тарируются в основном с помощью U-образных пьезометров.