- •1. Введение в механику сплошной среды
- •1.1. Предмет и метод механики сплошной среды
- •1.2. Плотность распределения гидромеханических характеристик в сплошной среде
- •1.3. Физические свойства жидкостей и газов
- •2. Статика текучего тела (гидростатика)
- •2.1. Гидростатическое давление
- •2.2. Дифференциальные уравнения равновесия текучего тела (уравнения эйлера)
- •2.3. Интегрирование уравнений эйлера
- •2.4. Способы измерения гидростатического давления
- •3. Кинематика сплошной среды
- •3.1. Движение точки с позиций теоретической механики
- •3.2. Методы описания движения сплошной среды
- •3.3. Поток гидромеханической характеристики через поверхность
- •3.4. Гидромеханическая интерпретация теоремы остроградского гаусса
- •3.5. Циркуляция скорости. Вихрь вектора скорости
- •3.6. Поля в гидродинамике
- •3.6.1.Операции над тензорами
- •4. Напряжения и деформации в твёрдых средах
- •4.1. Силы, действующие на текучее тело
- •4.2. Напряжённое состояние в точке сплошной среды. Тензор напряжений
- •4.3. Элементарные деформации. Коэффициент пуассона
- •Напряжений, действующих на грани кубика
- •5.2. Напряжения и деформации в твёрдых средах с точки зрения геодинамики
- •5.3. Упругие деформации
- •5.3.1.Соотношения линейной теории упругости
- •Одноосного сжатия
- •6. Основы гидродинамики
- •6.1. Основные положения
- •Закон сохранения массы;
- •6.2.Закон сохранения массы
- •6.3. Закон изменения количества движения
- •6.4. Закон изменения момента количества движения
- •6.5. Закон изменения кинетической энергии
- •6.6. Закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды
- •6.7. Уравнения движения и равновесия
- •7. Теоретические основы решения одномерных задач
- •7.1. Основные термины и понятия
- •7.2. Уравнение бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости
- •7.3. Геометрическая и энергетическая интерпретации слагаемых, входящих в уравнение бернулли
- •7.4. Потенциальный и полный (гидродинамический) напоры. Пъезометрическая и напорная линии
- •8. Основы реологии
- •8.1. Уравнения состояния идеальных и реальных жидкостей
- •8.2. Моделирование движения сложных сред
- •8.2.1. Течение ньютоновской жидкости в круглой трубе
- •8.2.2. Неньютоновские жидкости
- •8.2.3.Механические модели неньютоновских сред
- •9. Движение жидкостей и газов в пористой среде
- •9.1.Основные понятия
- •9.2.Определение эффективного диаметра
- •9.3.Формулы фильтрации
- •10. Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли
- •10.1. Постановка задач
- •10.2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •10.3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
6.5. Закон изменения кинетической энергии
Изменение кинетической энергии жидкого объёма за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на этот объём жидкости. Кинетическая энергия бесконечно малого объёма жидкости равна , тогда кинетическая энергия конечного объёма будет равна
. (6.5.1)
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы и скорости тела, на которое она действует. Например, на элементарный объём действует внешняя массовая сила с плотностью распределения , величина этой силы равна . Работа этой силы на перемещении равна
.
Мощность силы найдём как отношение совершаемой ею работы ко времени , за которое произойдёт перемещение объёма на расстояние . При этом скорость жидкого объёма равна . Следовательно, мощность внешней объёмной силы для элементарного объёма равна . Мощность этой силы при перемещении всего объёма :
. (6.5.2)
Рассуждая аналогично, найдём мощность внешних поверхностных сил, действующих на поверхность , ограничивающую объём :
, 6.5.3)
где скорость жидкости на поверхности в точке, где выделен элемент .
Рассчитать работу внешних сил, как правило, не представляется возможным, так как она зависит от поля скорости внутри контрольного объёма, которое вообще говоря неизвестно. Поэтому введём функцию плотность распределения мощности внутренних сил, т.е. работы, которая за единицу времени переходит в тепло и рассеивается (диссипирует) внутри объёма жидкости, имеющего единичную массу. Работа внутренних сил может только уменьшать кинетическую энергию, так как, переходя в энергию беспорядочного теплового движения молекул, соответствующая часть кинетической энергии объёма уже не участвует в дальнейшем балансе механической энергии. Обычно мощность внутренних сил называют диссипированной, а функцию диссипативной. Уменьшение кинетической энергии объёма за счёт работы внутренних сил представим в виде
. (6.5.4)
Знак минус вводится, чтобы функция (х,у,z,t) была всегда положительной.
Приравнивая субстанциональную производную от кинетической энергии (6.5.1) сумме мощностей (6.5.2),(6.5.3) и (6.5.4), получаем уравнение, выражающее закон изменения кинетической энергии:
. (6.5.5)
Если уравнение (6.5.5) используют для решения одномерных задач, то его представляют в виде различных модификаций уравнения Бернулли. Закон изменения кинетической энергии в виде дифференциального уравнения не используется, так как оно эквивалентно дифференциальному уравнению, выражающему закон изменения количества движения.
6.6. Закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды
В дополнение к закону изменения кинетической энергии, выражающему баланс механической энергии, рассмотрим более общий случай, принимая во внимание изменение механической энергии за счёт её источников (стоков), содержащихся внутри контрольного объёма, и баланс внутренней энергии (тепла).
Рис.6.3. Контрольный объём для формулировки закона сохранения энергии
Пусть в контрольном объёме , который выделен на рис. 6.3. контрольной поверхностью , указанной штриховой линией установлена турбина, которую вращает набегающий поток, отдавая ей мощность Ni (поток совершает работу Ni в единицу времени). Индекс i означает, что устройств, изменяющих механическую энергию потока, может быть несколько. Если вместо турбины установить насос, то соответствующая мощность насоса увеличит механическую энергию потока, так что знак Ni зависит от функции устройства внутри контрольного объёма. Запишем при этом уравнение, выражающее баланс механической энергии:
. (6.6.1)
Рассмотрим баланс тепла в контрольном объёме. Пусть количество внутренней энергии жидкости (теплоты) внутри контрольного объёма, а плотность её распределения в пространстве, т.е. удельная внутренняя энергия жидкости (на единицу массы). Тогда
. (6.6.2)
Чем могут быть вызваны изменения внутренней энергии жидкости внутри контрольного объёма? Возможны следующие причины:
наличие внутри объёма источников тепла, подводимого извне, с плотностью распределения (r,t) (на единицу объёма в единицу времени);
присутствие на граничных поверхностях источников тепла с плотностью распределения (r,t) (на единицу площади в единицу времени);
работа внутренних сил в жидкости, например, за счёт вязкости; плотность распределения мощности внутренних сил (r,t).
Баланс тепла для жидкости, содержащейся в контрольном объёме в момент времени t, имеет вид
. (6.6.3)
Складывая (6.6.1) и (6.6.3), получаем уравнение, выражающее общий закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды (6.6.4):
.
Как следует из полученного соотношения, работа внутренних сил не изменяет полную энергию системы жидких частиц: она уменьшает механическую энергию и увеличивает тепловую.