10. Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли

10.1. Постановка задач

При промывке и цементировании скважин простейшими базовыми задачами гидромеханики, допускающими аналитическое решение, являются задачи о течении жидкости в плоской щели (между двумя параллельными бесконечными пластинами), в круглой трубе и в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами.

Для их решения необходимо исходить из следующих условий:

• жидкость несжимаема ( = const);

• течение установившееся ( );

• все частицы жидкости движутся параллельно твёрдым стенкам канала, что означает, что при совмещении координатной оси Oz с направлением течения, отличной от нуля, будет лишь одна составляющая v_z скорости

• концевые эффекты пренебрежимо малы, то есть, картина течения в любом сечении, нормальном к потоку, идентична , что справедливо для сечений, удалённых от концов канала на расстояние равное 0.035 d Re, где d  характерный размер поперечного сечения: для щели  это расстояние между плоскостями; для трубы  её диаметр; для кольцевого пространства  удвоенный зазор;

• вдоль потока действует постоянный градиент давления равный , где р    полный перепад давления между двумя сечениями, находящимися на расстоянии L друг от друга;

• на жидкость действует объёмная сила _z  g _x  _y  , обусловленная только силой тяжести, где принимают знак (+), если жидкость движется вниз, и знак () вверх, когда положительное направление оси Оz совпадает с направлением движения.

Скорости частиц жидкости в рассматриваемых каналах симметричны относительно плоскости yz  для щели и относительно оси Oz  для круглой трубы и кольцевого пространства, то v_z = v(x) и v_z= v(r) соответственно.

Поэтому, согласно соотношениям Коши и уравнениям состояния при течении жидкости в щели, отличными от 0, будут только одна скорость деформации и одно напряжение сдвига:

(10.1.1)

Для течения в трубе и кольцевом пространстве

(10.1.2)

Система дифференциальных уравнений существенно упрощается:

• уравнения движения и уравнения неразрывности удовлетворяются тождественно;

• уравнение механического состояния в плоской щели принимает вид

,

а в кольцевом пространстве

,

где   p  gL  гидродинамические потери давления, обусловленные только движением жидкости независимо от направления течения.

Интегрирование этих уравнений при условиях _xz = 0 при х = 0 для щели и _rz = 0 при r = 0 для круглой трубы приводит к выражениям:

(10.1.3)

, (10.1.4)

где постоянная интегрирования с²  0 только при течении жидкости в кольцевом пространстве.

Запомните, что соотношения (10.1.1)  (10.1.4) справедливы при ламинарном течении любой жидкости (ньютоновской или неньютоновской). Сохранятся они и при турбулентном режиме течения, но под величинами v, P,_xz, _rz будут пониматься усреднённые по времени значения этих величин:

.

Далее рассматриваются аналитические решения граничных задач течения жидкости в щели и в кольцевом пространстве (в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости).

При этом определяются основные интегральные гидродинамические характеристики потока:

• объёмный расход ;

• средняя скорость v_ср= Q/S;

• коэффициент сопротивления .= 4f= 4SP/S_W;

где S, S_  соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; f= /W  коэффициент трения Фаннинга;  = SP/S_  касательное напряжение у поверхности канала; W=1/2v²  кинетическая энергия единицы объёма жидкости.

Определение объёмного расхода по заданному перепаду давления обычно называют прямой задачей гидродинамики, а определение перепада давления по заданному расходу  обратной.

Все результаты, рассматриваемые далее, относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости используются для вычисления гидравлических потерь. Для этой цели определяется закон сопротивления, т.е. зависимость коэффициента  от характеристик течения.

Основополагающей задачей гидродинамики (гидравлики) является экспериментальное установление закона сопротивления.

Если  не зависит от Р, то для коэффициента сопротивления получаем известный закон ДарсиВейсбаха, широко используемый для определения гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:

.