6.7. Уравнения движения и равновесия
Основным динамическим
уравнением движения материальной точки
является 2-й закон Ньютона
,
а широко используемым следствием этого
закона являются следующие общие теоремы
движения системы материальных точек:
производная по времени от количества движения
равна сумме всех действующих на систему внешних сил
(6.7.1)
и называется уравнением количества движения, или уравнением импульсов:
производная по времени от кинетического момента
системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов
всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т.е.
, (6.7.2)
называется уравнением моментов количества движения;
дифференциал кинетической энергии
системы равен сумме элементарных работ
всех действующих
на систему внешних
и внутренних
сил, т.е.
(6.7.3)
называется уравнением механической энергии (теоремой живых cил).
Для любого мысленно выделяемого индивидуального объёма сплошной среды , ограниченного поверхностью , уравнения (1.68) (1.70) действительны, если динамические величины определить следующим образом:
(соответственно количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия сплошной среды в объёме );
(соответственно сумма внешних объёмных и поверхностных сил и их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объёме ). Силы и их моменты непрерывно определены и сосредоточены.
Сумма элементарных работ внешних и внутренних объёмных и поверхностных сил
.
В этом случае уравнения (6.7.1) и (6.7.2) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплошной среды. Они служат исходными уравнениями для описания любых движений сплошной среды, в том числе разрывных движений и ударных процессов.
Уравнение (6.7.3) одно из наиболее важных следствий уравнений (6.7.1) и (6.7.2) при непрерывных движениях в пространстве и времени.
При непрерывных движениях интегральная теорема движения (6.7.1) эквивалентна следующим 3 дифференциальным уравнениям:
в декартовой системе координат:
в цилиндрической системе координат при осевой симметрии
(6.7.4)
где проекции ускорения вычисляют по формулам (1.6).
Эти уравнения,
связывающие компоненты
вектора скорости и тензора напряжений
,
являются основной системой дифференциальных
уравнений движения для любой сплошной
среды, представляющих собой уравнение
баланса количества движения (импульса)
для бесконечно малого объёма среды.
Если движения частиц происходят без
ускорения (
)
или они пренебрежимо малы, то уравнения
(6.7.4) называются дифференциальными
уравнениями равновесия.
При непрерывном
движении сплошной среды теорема моментов
количества движения (6.7.2) в дифференциальной
форме сводится к выводу о том, что тензор
напряжений симметричен, т.е.
.
Если тензор напряжений симметричен, то
уравнения моментов количества движения
удовлетворяются тождественно.
Интегральная теорема живых сил (6.7.3) эквивалентна следующему дифференциальному уравнению:
, (6.7.5)
где
соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объёма сплошной среды, элементарная работа внешних объёмных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объёма среды.
Уравнение (6.7.5) является следствием уравнения движения (6.7.4) и представляет собой уравнение баланса механической энергии.
В общем случае оно не является законом сохранения энергии, но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два:
закон сохранения механической энергии;
закон сохранения энергии другого вида.