- •1. Введение в механику сплошной среды
- •1.1. Предмет и метод механики сплошной среды
- •1.2. Плотность распределения гидромеханических характеристик в сплошной среде
- •1.3. Физические свойства жидкостей и газов
- •2. Статика текучего тела (гидростатика)
- •2.1. Гидростатическое давление
- •2.2. Дифференциальные уравнения равновесия текучего тела (уравнения эйлера)
- •2.3. Интегрирование уравнений эйлера
- •2.4. Способы измерения гидростатического давления
- •3. Кинематика сплошной среды
- •3.1. Движение точки с позиций теоретической механики
- •3.2. Методы описания движения сплошной среды
- •3.3. Поток гидромеханической характеристики через поверхность
- •3.4. Гидромеханическая интерпретация теоремы остроградского гаусса
- •3.5. Циркуляция скорости. Вихрь вектора скорости
- •3.6. Поля в гидродинамике
- •3.6.1.Операции над тензорами
- •4. Напряжения и деформации в твёрдых средах
- •4.1. Силы, действующие на текучее тело
- •4.2. Напряжённое состояние в точке сплошной среды. Тензор напряжений
- •4.3. Элементарные деформации. Коэффициент пуассона
- •Напряжений, действующих на грани кубика
- •5.2. Напряжения и деформации в твёрдых средах с точки зрения геодинамики
- •5.3. Упругие деформации
- •5.3.1.Соотношения линейной теории упругости
- •Одноосного сжатия
- •6. Основы гидродинамики
- •6.1. Основные положения
- •Закон сохранения массы;
- •6.2.Закон сохранения массы
- •6.3. Закон изменения количества движения
- •6.4. Закон изменения момента количества движения
- •6.5. Закон изменения кинетической энергии
- •6.6. Закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды
- •6.7. Уравнения движения и равновесия
- •7. Теоретические основы решения одномерных задач
- •7.1. Основные термины и понятия
- •7.2. Уравнение бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости
- •7.3. Геометрическая и энергетическая интерпретации слагаемых, входящих в уравнение бернулли
- •7.4. Потенциальный и полный (гидродинамический) напоры. Пъезометрическая и напорная линии
- •8. Основы реологии
- •8.1. Уравнения состояния идеальных и реальных жидкостей
- •8.2. Моделирование движения сложных сред
- •8.2.1. Течение ньютоновской жидкости в круглой трубе
- •8.2.2. Неньютоновские жидкости
- •8.2.3.Механические модели неньютоновских сред
- •9. Движение жидкостей и газов в пористой среде
- •9.1.Основные понятия
- •9.2.Определение эффективного диаметра
- •9.3.Формулы фильтрации
- •10. Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли
- •10.1. Постановка задач
- •10.2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •10.3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
8.2.2. Неньютоновские жидкости
Гипотеза Ньютона о линейной связи между тангенциальным напряжением и скоростью сдвига оказалась очень удобным приближением, справедливым для абсолютного большинства низкомолекулярных жидкостей, но при рассмотрении реологических свойств жидкостей, склонных к структурообразованию (суспензий, эмульсий, растворов полимеров, красок, «тяжёлых нефтей», глинистых растворов и т.д.), были обнаружены многочисленные отклонения от закона Ньютона. Такие жидкости называются неньютоновскими, и для них реологическая кривая (или, как часто говорят, кривая течения) не является линейной, т.е. вязкость не остаётся постоянной, а зависит от скорости сдвига или от предыстории деформации материала.
Типичным примером неньютоновских жидкостей являются полимерные системы, в которых длинные гибкие молекулы, зацепляясь друг за друга, образуют некую пространственную структуру («сетку»), резко повышающую вязкость. Под действием сдвиговых деформаций часть структурных связей разрушается, что приводит к уменьшению вязкости.
Отметим тот факт, что Пуазейль был по профессии медиком и интересовался прохождением крови через малые кровеносные сосуды. Сейчас известно, что кровь не является ньютоновской жидкостью, поэтому автор опыта, экспериментально подтвердившего на примере воды предположения Ньютона, в каком-то смысле является первым исследователем неньютоновских сред.
8.2.3.Механические модели неньютоновских сред
Горные породы это тела с бесконечным многообразием реологических свойств, поэтому для описания их поведения могут быть использованы те или иные механические модели. При составлении модели нужно учитывать механические свойства минеральных агрегатов, составляющих породу, её структурные особенности, а также тип и характер цементирующего вещества. Горные породы и вязкоупругие жидкости могут быть представлены в виде некоторых комбинаций двух идеальных тел вязкого (Ньютона «N») и упругого (Гука «Н»). Качественное описание реологического поведения подобных тел дают механические модели, в которых упругие свойства представлены пружиной, а вязкие поршнем, движущемся в цилиндре, наполненном маслом (рис.8.4).
Рис. 8.4. Механические модели вязкоупругих сред: а тело Гука (упругое); б тело Ньютона (вязкая жидкость); втело Максвелла (вязкоупругое); г тело Фойгхта (вязкоупругое)
Простейшая механическая модель вязкоупругой жидкости может быть получена последовательным соединением пружины и поршня (рис.8.3,в). Она представляет собой, так называемую максвелловскую жидкость (J. Maxwell, 1868).
Поскольку при последовательном соединении
1 = 2 = , = 1 + 2,
где 1 и 2 силы (напряжения), действующие на пружину и поршень, деформация всей системы, то с учётом соотношений
1 = G1 ,
получим
или
, (8.2.4)
где .
Если тело Максвелла подвергается при t 0 деформации с постоянной скоростью , то из (8.2.4) с учётом начального условия (0) = 0 легко получить
.
Отсюда следует, что при напряжение по экспоненциальному закону стремится к равновесному значению . Величина имеет смысл характерного времени переходного процесса и называется временем релаксации. Таким образом, реологические характеристики вязкоупругих жидкостей зависят от времени.
Механическая модель твёрдого тела, обладающего вязкостью (тело Кельвина), может быть получена параллельным соединением пружины и поршня( рис.8.4, г). Для этой схемы = 1 = 2, 1 + 2 = ,
поэтому имеем
, или
. (8.2.5)
Реологическая модель типа (8.2.5) рассматривалась также Фойхтом (Voigt,1890), поэтому модель рис. 8.4,г часто называется телом КельвинаФойгхта. Простые модели Максвелла и Кельвина Фойгхта не всегда оказываются достаточными для описания реальных вязкоупругих материалов.
Связано это со структурой реофизически сложных сред, в которых, например, вместо одной релаксации существует целый спектр релаксаций, характеризующих различные нестационарные процессы.
В этой связи часто рассматриваются обобщённые модели, составленные из многих последовательных соединений пружин и поршней (рис. 8.5, 8.6).
Рис. 8.5. Обобщённые
механические модели:
а
тело Олдройда; б
обобщённое тело Максвелла
= 0 = 1 + 2,
= 0 + 1,
где
силы (напряжения), действующие на поршни 0, 1 и пружину G соответственно.
Отсюда
, или
, (8.2.6)
где времена релаксации.
Модель (8.2.6) была получена Олдройдом (J.G. Oldroyd, 1953) при теоретическом рассмотрении реологических свойств эмульсий и суспензий.
Применение более сложных моделей приводит к реологическим уравнениям вида
, где .
Для отдельных типов песчанистых глин хорошо подходит модель КельвинаФойгхта. Тело Гука моделирует упругие свойства песчинок, а тело Ньютона вязкие свойства собственно глинистой фракции. Свойства глин Подмосковья хорошо описываются при сжатии моделью Кельвина Максвелла
.
Так как после непродолжительного времени ползучести этих глин наступает условие кривую на графике t можно аппроксимировать прямой, и поведение глины моделировать, используя модель Максвелла.
Рис. 8.6. Обобщённые
механические модели:
в
обобщённое тело Максвелла;
г
обобщённое тело Кельвина
Фойгхта
Анализируя кривые деформирования и ползучести горных пород, можно сделать заключение о ряде следующих свойств, которые должны быть присущи модели:
при мгновенном приложении нагрузки происходит соответственная мгновенная деформация;
при постоянном напряжении деформация увеличивается со временем. Величина деформации асимптотически стремится к определённому пределу, который зависит от интенсивности действующих напряжений;
предел, к которому стремится деформация, нелинейно зависит от действующих напряжений;
до определённой величины напряжений (предела упругости) происходит упругое деформирование тела. После превышения величины критических напряжений начинается пластически вязкое деформирование;
рост вязкопластических деформаций сопровождается одновременным ростом упругих деформаций.