Рис. 5.4. Взаимосвязь сил и

Напряжений, действующих на грани кубика

Сила F, растягивающая кубик (рис. 5.4), создает нормальное напряжение . Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, но силы, действующие на каждую из его граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани параллельную составляющую F_т. Касательное напряжение оказывается при этом равным

. (5.1.7)

Поскольку деформации  в формуле (5.1.6) пропорциональны напряжениям, a  = 2_т, то

. (5.1.8)

Сравнивая последнее равенство с соотношением (5.1.3), при учете, что, , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига:

. (5.1.9)

В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависит от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда действует сила F/2, направленная под углом 45к этой грани. Этот частный вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела.

Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням.

В этом случае относительные удлинения каждой из его сторон будут задаваться соотношениями:

(5.1.10)

Формулы (5.1.10) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы, (₁ = ₂ = ₃ = ), то деформации также будут одинаковы: (₁ = ₂ = ₃ = ) и . В результате всесторонней деформации новый объем кубика станет равным , а его относительное изменение составит величину

. (5.1.11)

Параметр

(5.1.12)

называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости. Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли. Деформации растяжения и сдвига возникают в практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и окруживания валов машин и механизмов.

5.2. Напряжения и деформации в твёрдых средах с точки зрения геодинамики

Под действием силы тяжести давление в недрах Земли растёт с глубиной. Давление увеличивается потому, что породы, находящиеся на данной глубине, должны держать на себе все вышележащие слои, вес которых нарастает с глубиной.

При этом из-за наличия горизонтальных неоднородностей силы тяжести в недрах Земли состояние статического равновесия среды с вертикальным градиентом давления оказывается невозможным.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести, в свою очередь, обусловлены неоднородностями плотности, возникающими из-за горизонтальных градиентов температуры. Последние неизбежно появляются при радиогенном нагреве мантийных и коровых пород.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести порождают горизонтальные градиенты напряжений, которые приводят к относительным движениям, происходящим в тектонике плит.

Напряжения  это силы, приходящиеся на единичную площадь и распространяющиеся через среду благодаря межатомным взаимодействиям. Напряжения, которые передаются перпендикулярно к поверхности, называются нормальными. Напряжения, которые распространяются параллельно поверхности, называются сдвиговыми. Давление  это среднее значение нормальных напряжений. Напряжение, действующее в упругой твёрдой среде, приводит к деформации среды. Простейшим примером деформации является сокращение объёма, происходящее благодаря сжимаемости среды под действием приложенного давления. Нормальная деформация определяется как приращение длины твёрдого тела к исходной длине. Сдвиговая деформация определяется как половина уменьшения прямого угла, выделенного в среде при деформации. В результате тектонических процессов поверхность Земли непрерывно деформируется.

Массовые (объёмные) и поверхностные силы. Имеется два типа сил, действующих на элемент твёрдой среды: массовые (объёмные) и поверхностные. Массовые силы действуют в каждой точке объёма среды. Величина массовой силы, действующей на элемент среды, пропорциональна его объёму или массе. Например, сила тяжести  вес элемента среды, равный произведению массы на ускорение силы тяжести g. Если ввести плотность среды , равную массе единицы объёма, то действующую на элемент силу тяжести можно записать как произведение величины g на объём элемента. Таким образом, сила тяжести, действующая на единицу массы, есть g, а сила тяжести, действующая на единицу объёма  g. Плотность зависит от давления. При высоких давлениях, господствующих на больших глубинах в мантии, увеличение плотности пород может составить до 50% значения плотности при нулевом давлении.

Таблица 5.2

Мантийная порода	Плотность мантийной породы, кг/м3
Типичная	3250
Базальт и габбро	2950
Гранит и диорит	2650 - 2800

В отличие от массовых сил, поверхностные силы приложены только к поверхности, ограничивающей элемент объёма. Они обусловлены межатомными силами, действующими со стороны материала, находящегося с одной стороны от поверхности, на материал, находящийся с противоположной стороны. Величина поверхностной силы прямо пропорциональна площади поверхности, на которую она действует. Кроме того, эта сила зависит от ориентации поверхности.

Пример: Рассмотрим силу, приложенную к основанию столба породы на глубине у от поверхности Земли и уравновешивающую вес столба.

Площадь поперечного сечения равна . Вес столба с площадью поперечного сечения  равен gy. Поверхностная сила, уравновешивающая этот столб, _ууА направлена вверх и распределена по горизонтальной поверхности площадью  на глубине у.

Рис. 5.5. Массовая и поверхностная силы, действующие на вертикальный столб породы

Допущения: на боковые поверхности не действует никаких вертикальных сил и плотность  постоянна.

Таким образом, _уу есть сила, приходящаяся на единицу площади и направленная перпендикулярно горизонтальной поверхности, т.е. напряжение.

Поскольку силы, действующие на равновесный столб породы, должны быть равны, получаем, что

(5.2.1)

Сила, приходящаяся на единичную площадь и перпендикулярная горизонтальным плоскостям, линейно растёт с глубиной.

Нормальное напряжение, вызванное весом вышележащих пород, называется литостатическим напряжением или давлением.

Например, литостатическое напряжение в основании континентальной коры при её средней плотности 2750 кг/м³ и толщине коры 35км (3.5 10⁴ м) будет равно: _уу = 2750 кг/м³10 м/с²3.510⁴м = 9.625 10⁸Па = 962.5 МПа (9.625 кбар).

Рис.5.6. Континентальный блок,

"плавающий" на "жидкой" мантии

В системе СИ единицей давления или напряжения является паскаль (Па); 1 Па = 1 кг/мс²;. 1 мегапаскаль МПа = 10⁶ Па; 1 бар = 10⁵ Па = 0.98692 атм.

Поскольку плотность жидкой мантии (3300 кг/м³ ) больше плотности пород континента (2750 кг/м³), то можно считать, что континент является блоком, плавающим в мантии.

Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила, действующая на континент, равна весу вытесненной мантийной породы. В основании континента напряжение _уу = _кgh, где _к  плотность континентальных пород, h  толщина континента. На этой же глубине в мантии напряжение составит _уу = _мgb, где _м  плотность мантии, b  глубина погружения континента в мантию.

С другой стороны, согласно гидростатическому равновесию эти два напряжения должны быть равны, следовательно:

. (5.2.2)

Применительно к континентальной коре принцип гидростатического равновесия называется принципом изостазии.

Откуда можно определить:

1. Возвышение континента над окружающей мантией

. (5.2.3)

2. Глубину океанического бассейна относительно поверхности континента

, (5.2.4)

где  толщина и плотность континентальной коры;  глубина океана;  плотность воды;  толщина океанической коры; _ок  плотность океанической коры;  плотность мантии.