3.6.1.Операции над тензорами

1. Умножение тензора на скаляр есть новый тензор, все компоненты которого умножены на этот скаляр (шаровой тензор):

.

2. Сумма тензоров есть новый тензор с компонентами, являющимися суммой одноимённых компонент слагающих тензоров. Так доля Т = Т´ + T´´ должна быть t_ik = t´_ik + t´´_ik. То, что такая сумма есть тензор, следует из линейности формул (4*).

3. Тензор, обладающий свойством t_ik = t_ki , называется симметричным. Если таблицу компонент такого тензора «повернуть» вокруг главной диагонали (то же, что и у определителя), то получится тот же самый тензор.

4. Пусть имеется тензор Т с компонентами t_ik .Составим таблицу с компонентами t_ki ( т.е. повёрнутую вокруг главной диагонали). Можно показать, что она также определяет тензор, который называется сопряжённым и обозначается Т*. Очевидно, что (T*)* = T.

5. Тензор, у которого t_ik =  t_ki, называется антисимметричным. Из определения следует, что t_ii =  t_ii, т.е. t_ii = 0 – компоненты главной диагонали равны 0. Антисимметричный тензор всегда можно записать в виде .

6. Всякий тензор можно разложить на сумму симметричного и антисимметричного тензоров: Т = ½ (Т + Т*) + ½ (Т - Т*). Легко проверить, что в первой скобке стоит симметричный, а во второй – антисимметричный тензор.

7. Пусть дан тензор Т и вектор .Скалярное произведение тензора Т на вектор справа есть новый вектор , обозначаемый (Т, ), компоненты которого равны

(i = 1,2,3).

8. Скалярное произведение тензора Т на вектор слева есть вектор , обозначаемый ( ,Т), компоненты которого равны

.

8. Из приведённых определений операций ясно, что они должны обладать ассоциативностью и дистрибутивностью, т.е., например,

(Т₁ + Т₂ ) = (Т₁, ) + (Т₂, );

( ₁ + ₂, Т) = ( ₁, Т) + ( ₂, Т);

( , Т) = ( , Т) =  ( , Т).

Но коммутативностью эти операции не обладают, т.е. в общем случае ( , Т)  (Т, ). Если Т – симметричный тензор, то равенство выполняется.

8. Пусть даны тензоры А, В с компонентами a_ik и b_ik. Скалярное произведение тензора А на тензор В (А, В)есть новый тензор Т, компоненты которого вычисляются по формулам:

.

Это определение совпадает с определением матричного умножения. Компонент t_ik получается умножением строки с номером i тензора А на столбец с номером j тензора В. Например, t₂₃ = а₂₁b₁₃ + а₂₂ b₂₃ + а₂₃ b₃₃.

8. Скалярное произведение тензоров не обладает свойством коммутативности, т.е. вообще говоря, (А,В)  (В,А).

Перечислим некоторые свойства, которыми оно обладает:

(А,В) = (А,В) =  (А,В); ( - скаляр);

(А₁ + А₂, В) = (А₁,В)+ (А₂,В);

(А,В₁ + В₂) = (А,В₁) + (А,В₂);

[(А,В), С) = (А,(В,С)].

4. Напряжения и деформации в твёрдых средах

4.1. Силы, действующие на текучее тело

Движение сплошной среды вызывают силы. Они могут быть внешними и внутренними.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является сила тяжести.

Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Они не могут изменить количество движения этого объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости.

Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными.

Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы). Примером объёмной силы является сила тяжести. Плотность её распределения представляют в виде силы, приходящейся на единицу массы сплошной среды. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести , где g = 9,81 м/с²  ускорение свободного падения. При этом вес F_g объёма V равен

. (4.1.1)

Таким образом, вес тела направлен вниз, о чём свидетельствует знак минус, и равен gV. Величина поверхностных сил пропорциональна площади поверхности, на которую они действуют. Примером такой силы является сила взаимодействия между двумя соприкасающимися слоями жидкости, которые движутся друг относительно друга.

Рис. 4.1. Напряжение в точке сплошной среды

Характеристикой поверхностной силы на заданной поверхности является плотность её распределения, которую при использовании модели сплошной среды называют напряжением. Напряжение  величина векторная.

Напряжение в данной точке фиксированной поверхности обычно проектируют на нормаль к ней и на касательную плоскость, при этом различают нормальные и касательные напряжения.

Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения.