- •1. Введение в механику сплошной среды
- •1.1. Предмет и метод механики сплошной среды
- •1.2. Плотность распределения гидромеханических характеристик в сплошной среде
- •1.3. Физические свойства жидкостей и газов
- •2. Статика текучего тела (гидростатика)
- •2.1. Гидростатическое давление
- •2.2. Дифференциальные уравнения равновесия текучего тела (уравнения эйлера)
- •2.3. Интегрирование уравнений эйлера
- •2.4. Способы измерения гидростатического давления
- •3. Кинематика сплошной среды
- •3.1. Движение точки с позиций теоретической механики
- •3.2. Методы описания движения сплошной среды
- •3.3. Поток гидромеханической характеристики через поверхность
- •3.4. Гидромеханическая интерпретация теоремы остроградского гаусса
- •3.5. Циркуляция скорости. Вихрь вектора скорости
- •3.6. Поля в гидродинамике
- •3.6.1.Операции над тензорами
- •4. Напряжения и деформации в твёрдых средах
- •4.1. Силы, действующие на текучее тело
- •4.2. Напряжённое состояние в точке сплошной среды. Тензор напряжений
- •4.3. Элементарные деформации. Коэффициент пуассона
- •Напряжений, действующих на грани кубика
- •5.2. Напряжения и деформации в твёрдых средах с точки зрения геодинамики
- •5.3. Упругие деформации
- •5.3.1.Соотношения линейной теории упругости
- •Одноосного сжатия
- •6. Основы гидродинамики
- •6.1. Основные положения
- •Закон сохранения массы;
- •6.2.Закон сохранения массы
- •6.3. Закон изменения количества движения
- •6.4. Закон изменения момента количества движения
- •6.5. Закон изменения кинетической энергии
- •6.6. Закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды
- •6.7. Уравнения движения и равновесия
- •7. Теоретические основы решения одномерных задач
- •7.1. Основные термины и понятия
- •7.2. Уравнение бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости
- •7.3. Геометрическая и энергетическая интерпретации слагаемых, входящих в уравнение бернулли
- •7.4. Потенциальный и полный (гидродинамический) напоры. Пъезометрическая и напорная линии
- •8. Основы реологии
- •8.1. Уравнения состояния идеальных и реальных жидкостей
- •8.2. Моделирование движения сложных сред
- •8.2.1. Течение ньютоновской жидкости в круглой трубе
- •8.2.2. Неньютоновские жидкости
- •8.2.3.Механические модели неньютоновских сред
- •9. Движение жидкостей и газов в пористой среде
- •9.1.Основные понятия
- •9.2.Определение эффективного диаметра
- •9.3.Формулы фильтрации
- •10. Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли
- •10.1. Постановка задач
- •10.2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •10.3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
7.2. Уравнение бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости
Рис. 7.2. Контрольный
объём для вывода уравнения Бернулли
. (7.2.1)
Преобразуем слагаемые, входящие в это уравнение, представляя объемные интегралы в виде поверхностных и используя условия на контрольной поверхности А, которую запишем в виде суммы А = 1 + 2 +Абок.
В субстанциальной производной
(7.2.2)
первое слагаемое равно нулю, так как движение жидкости установившееся, и жидкость несжимаема (= const), а второе слагаемое представляет собой поток кинетической энергии Qk через контрольную поверхность А. Условия на контрольной поверхности А имеют вид (рис. 7.2)
(7.2.3)
Преобразуем второе слагаемое в (7.2.2), используя (7.2.3), (5.11) и (5.27):
(7.2.4)
Обратимся в уравнении (7.2.1) к слагаемому, выражающему мощность внешней массовой силы. Предположим, что внешняя массовая сила имеет потенциал, т.е. существует такая скалярная функция U, для которой f = gradU. Используя теорему Остроградского Гаусса и граничные условия (7.2.3), получаем
(7.2.5)
Полученное равенство позволяет выразить мощность внешней массовой силы через поток потенциальной энергии, обусловленной этой силой, сквозь живые сечения.
Рассмотрим интеграл, выражающий мощность внешней поверхностной силы:
.(7.2.6)
Рис.7.3. Напряжение
и скорость жидкости в поперечном сечении
1
В сечении 1 1 скорость имеет только нормальную составляющую un , так как движение здесь равномерное или плавноизменяющееся. Чтобы вычислить скалярное произведение u • рn, зададим в произвольной точке живого сечения 1 систему ортогональных координат (рис. 7.3), определяемую тремя единичными векторами (n, b, ), из которых n нормален к живому сечению, a b и лежат в его плоскости. Проектируя на эти координатные оси векторы u и рn, находим
u = (un, ub,u) = (un, 0, 0); рn = (pnn, pnb, рп),
при этом все три проекции напряжения рn могут быть отличны от нуля. По определению скалярного произведения
. (7.2.7)
Аналогичные вычисления выполним для живого сечения 2. На поверхности Абок выполняется условие прилипания. Согласно полученным результатам, а также используя (7.1.2), на контрольной поверхности А имеем условия:
(7.2.8)
Подставляя (7.2.8) в (7.2.7) и в (7.2.6), получаем
. (7.2.9)
Согласно равенству (7.2.9) мощность внешней поверхностной силы можно интерпретировать как поток, обусловленный этой силой потенциальной энергии сквозь живое сечение; в соответствии с (3.13) плотность распределения этой энергии равна давлению р.
Сложим равенства (7.2.5) и (7.2.6) и найдем выражение для мощности внешних сил, которое в соответствии с вышеизложенным будем интерпретировать как поток потенциальной энергии Qp, обусловленный внешними массовой и поверхностной силами через контрольную поверхность:
.
Примем во внимание, что в сечениях 1 1 и 2 2 движение равномерное или плавноизменяющееся, и, следовательно, согласно (7.1.3) давление в этих сечениях распределено по гидростатическому закону: U р = const.
В соответствии с этим выражение в скобках в интегралах по живым сечениям можно вынести за знак интеграла. Кроме того, положим, что сила тяжести является единственной внешней массовой силой, т.е., что U = g z. В результате получим
. (7.2.10)
Последнее слагаемое в (7.2.1), выражающее мощность внутренних сил в пределах контрольного объема, оставляем без преобразования.
Подставив (7.2.4) и (7.2.10) в исходное уравнение (7.2.1) и разделив все слагаемые на весовой расход QB = gQ, получим искомое уравнение Бернулли:
, (7.2.11)
где = gQ удельный вес, а слагаемое
(7.2.12)
выражает отнесенную к весовому расходу мощность внутренних сил (диссипацию механической энергии в единицу времени) в пределах контрольного объема.
Для сжимаемой жидкости (газа) можно выполнить аналогичный вывод и получить уравнение Бернулли в виде
, (7.2.13)
где 1 и 2 плотности жидкости (газа) в сечениях 1 1 и 2 2.