6.2.Закон сохранения массы

Выделим в пространстве контрольный материальный объём , ограниченный произвольной контрольной поверхностью . Пусть плотность жидкости в каждой точке пространства задана - плотность.

Масса бесконечно малого объёма , в момент времени t равна . Масса объёма жидкости, находящейся внутри замкнутой поверхности , равна:

. (6.2.1)

Согласно закону сохранения массы, при движении жидкого объёма его масса остаётся неизменной. Изменение во времени гидромеханической характеристики, относящейся к движущемуся жидкому объёму, который содержится в начальный момент внутри контрольной поверхности , выражается в виде субстанциональной производной от этой характеристики. Представим закон сохранения массы, используя эту производную

. . (6.2.2)

6.3. Закон изменения количества движения

Изменение количества движения жидкого объёма за единицу времени равно сумме всех приложенных к нему внешних (массовых и поверхностных) сил. Количество движения и силы  величины векторные, поэтому уравнение, выражающее этот закон, является векторным. Ему соответствует система трёх уравнений, связывающих проекции векторов на оси координат.

Рис.6.1. К выводу уравнения количества движения

Выделим в пространстве объём жидкости и ограничим его контрольной поверхностью (рис.6.1). Бесконечно малый объём имеет массу и количество движения . Количество движения всего объёма равно . Изменение количества движения при перемещении этого объёма за единицу времени составит

(6.3.1)

Вектор внешних массовых сил, плотность распределения которых обозначим через , находим аналогично: на элементарный объём массой действует сила , следовательно, внешняя массовая сила, действующая на весь объём , равна

(6.3.2)

Плотность распределения внешней поверхностной силы (напряжение) на контрольной поверхности обозначим через , учитывая, что  нормаль к . Тогда на элементарную площадку действует сила , а на всю поверхность действует результирующая поверхностная сила

. (6.3.3)

Приравняв изменение количества движения (6.3.1) сумме сил (6.3.2) и (6.3.3), получим уравнение, выражающее закон изменения количества движения:

. (6.3.4)

Это векторное уравнение равносильно трём скалярным уравнениям, которое можно записать, проектируя все слагаемые на координатные оси х,у,z. Например, в проекции на ось х имеем

(6.3.5)

Уравнение (6.3.4) используется и в приведённом выше виде в виде гидравлического уравнения количества движения или в виде систем дифференциальных уравнений, получаемых из (6.3.4), когда контрольный объём бесконечно мал.

6.4. Закон изменения момента количества движения

Изменение момента количества движения жидкого объёма относительно некоторой точки за единицу времени равно сумме моментов всех внешних (массовых и поверхностных) сил, действующих на этот объём, относительно той же точки. По определению момент вектора (рис.4.2) относительно, например, начала координат равен

Рис.6.2. Момент вектора

, (6.4.1)

где радиусвектор, определяющий точку приложения вектора . Вектор направлен по нормали к плоскости, определяемой векторами и , так, что, глядя с конца вектора , видим поворот от вектора к вектору , происходящим против часовой стрелки. Модуль вектора М0 равен

.

В матричной форме векторное произведение записывается в виде

,

или

, (6.4.2)

т.е. проекции вектора на координатные оси численно равны записанным определителям.

Запишем закон изменения момента количества движения по аналогии с уравнением закона изменения количества движения. С этой целью каждый вектор уравнения (6.3.4) умножим векторно на r (слева):

. (6.4.3)

Полученное векторное уравнение эквивалентно трём скалярным уравнениям, которые можно выписать, проецируя слагаемые, входящие в уравнение (6.4.3), на координатные оси. Например, в проекции на ось z имеем

. (6.4.4)

Интегральная форма уравнения (6.4.3) используется главным образом в гидромашиностроении при расчётах вращающихся рабочих колёс турбин и насосов.