7.4.2. Задача 2. Расчёт теплообмена в ложе водоёма

7.4.2.1. Постановка задачи

Ограничения:

- рассматривается теплообмен, происходящий между грунтом и водой, без учёта тепла геотермического происхождения;

- рассматривается плоская (одномерная) задача (что справедливо для неглубоких равнинных водоёмов);

- распределение тепла в грунте происходит исключительно за счёт его теплопроводности (без учёта тепломассообмена грунтовыми водами).

Рассмотрим количество тепла, передаваемое придонными слоями воды ложу:

(47)

и соответствующее тепло, получаемое ложем:

(48)

где и - соответственно теплопроводность воды и грун­та, насыщенного водой; и - соответственно градиенты температуры воды в придонном слое и температуры ложа в привод­ном его слое.

Тогда, ставя в соответствие изменение температу­ры во времени изменению теплопотока по нормали к поверхности:

(49)

и подставляя в (49) (48), получаем

, (50)

что соответствует уравнению Фурье

. (51)

где . . (52)

Будем рассматривать полуплоскость, ограниченную осями , с условиями однозначности:

a=const

при =0,

при Z=0,

при H=0,

где: время, Z - глубина; H - заданная глубина; a – средний коэффициент теплопроводности грунта. Запишем уравнение (50) в конечных разностях аналогично (41), для которого справедливы рассуждения, приведённые выше (задача 1). Тогда решением задачи будет система уравнений, дополненная условиями однозначности (52) и расчётом коэффициента температуропроводности (51):

(53)

(54)

При использовании приведённого метода рекомендуется:

1) Интервал времени, обеспечивающий достаточную точность расчёта, принимать равным не более пяти суток.

2) Температуру поверхности дна принимать по температуре придонных слоёв воды.

3) Начальное распределение температуры задавать по линейному закону от температуры поверхности дна до среднемноголетней температуры грунтов. Так как решение является годовой цикл теплообмена в ложе водоёма, представленный серией эпюр температуры, то рекомендуется повторять расчёт годового хода при пяти- и десятилетнем периоде стационирования. При этом в качестве начальных условий при повторном расчёте задавать распределение температур по вертикали, полученное в предыдущем годовом цикле.

4) Окончание расчёта считать достижение пучком эпюр температуры заданного расхождения температур по расчётной глубине.

5) Расчёт вести в предположении, что дно водоёма представляет собой горизонтальную однородную поверхность, а колебания температуры у дна являются периодической функцией. Теплопроводность, плотность и теплоёмкость принимать для песчано-глинистых грунтов.

7.4.2.2. Пример решения

Рассчитать распределение температуры в грунте ложа мелководного водоёма в период открытого русла, если известно, что грунт состоит из влажного песка ( ) и дано начальное распределение температуры.

Расчет выполняем в таблице, принимая . Из условия (54) следует, что

.

Тогда

.

Представим результаты расчёта в виде таблицы.

Таблица. Расчет теплообмена в ложе водоема

Результаты расчёта могут быть представлены в виде графика (рис. 6)

Рис.6. График хода температуры по глубине