5.2.2.5. Применение метода сеток для решения уравнений кдп и пв

Наиболее универсальным методом решения уравнений типа КДП и ПВ является метод сеток. При замене конечными разностями производных всех переменных и соответствующих их преобразованиях получают систему алгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию уравнения (2.20) для области прямоугольной формы.

Разобьём её по осям координат сеткой с шагом соответственно hx и hу. Производные для точки с координатами xjyk:

, (2.25)

, (2.26)

(j = 1, 2, 3, …, n; k = 1, 2, 3, …, m).

Подставим эти выражения в (2.1.11) и принимая hx = hу = h, получим конечно-разностную аппроксимацию в виде алгебраического уравнения:

(2,27)

После несложных преобразований получим:

. (2.28)

Аналогичные уравнения составляются для каждой точки расчётной области. Очевидно, что в число параметров уравнений в граничных точках войдут известные параметры функции на границе. В результате образуется система из N = n x m линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами и с N числом неизвестных. Совместное решение этих уравнений даёт дискретные значения функции внутри области [6].

5.2.2.6. Методы непосредственного моделирования

Эти методы включают в себя методы физического моделирования и замкнутого моделирования полностью дискретизированного пространства.

При математическом моделировании изучаемый процесс, происходящий в данной области, заменяется аналогичным процессом, происходящим в области, геометрически подобной заданной. Так, например, стационарный процесс протекания жидкости по каналу данного сечения, распределение температуры в теле и другие аналогичные процессы заменяются процессом протекания электрического тока по геометрически подобному проводнику. Среди таких моделей, образующих основу устройств с проводящей средой, широко распространены модели на электропроводящей бумаге типа ЭГДА (модели электрогидродинамической аналогии). Достоинством физических моделей является отсутствие методических ошибок и простота конструкции. К недостаткам следует отнести ограниченность применения из-за узости класса решаемых задач и небольшую точность решения, что объясняется сложностью воспроизведения точного геометрического подобия, с одной стороны, и неточностью фиксации геометрических координат измеряемой точки, с другой.

Наиболее широко используемым ранее методом моделирования с помощью средств аналоговой техники (АВТ) являлся метод замкнутого моделирования полностью дискретизированного пространства, который сводится к замене пространственного континуума совокупностью дискретно выбранных точек, являющихся узлами нанесённой на заданную область сетки (прямоугольной, треугольной, шестиугольной и т. п. – отсюда другое название метода – метод сеток). Приближённое решение уравнения в частных производных в узлах этой сетки ищется как решение системы алгебраических уравнений (для стационарных задач) или системы обыкновенных дифференциальных уравнений (для нестационарных задач)[5, 6, 17].

В работах [18] рассмотрен принцип построения автоматизированного аналогового процессора (АП), предназначенного для моделирования обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом. Этот процессор можно рассматривать как гибридное устройство, так как его функционирование обеспечивается ЭВМ в соответствии с определённым алгоритмом, а способ представления информации в нём – аналоговый. Не существует принципиальных ограничений и на использование его для моделирования дифференциальных уравнений в частных производных.

В основе построения большинства перечисленных выше устройств лежит принцип дискретизации пространства. Этот принцип представляет собой один из наиболее распространённых подходов к моделированию задач поля. Предварительно осуществляется переход от дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или алгебраических в узлах сеточной области. Основу аппроксимации уравнения в частных производных составляет замена частных производных некоторыми выражениями, содержащими лишь отдельные значения функции. Эти выражения в математической литературе называют формулами численного дифференцирования [ 6, 12, 16, 19].