7.4. Практикум «Расчеты тепломассопереноса в реках и водоемах»

7.4.1. Задача 1. Расчёт вертикального распределения температуры воды в водоёме при открытой водной поверхности (без учёта факторов гидродинамики)

7.4.1.1. Постановка задачи

Условиям задачи соответствует уравнение(8) в виде:

(40)

И соответствующая конечно-разностная схема (35), которая может быть получена следующим образом.

Опустим через водную массу полуось Z от поверхности вниз по направлению к дну водоёма. Тогда решение задачи будет построение графика температуры по глубине для каждого заданного момента времени. Такому решению соответствует, конечно-разностная сетка (рис. 4) с начальными и граничными условиями:

при и при .

Рисунок Со стр 17

рис. 4

Для решения уравнения (40) необходимо получить зависимость перехода от одного слоя времени к другому. Получим её для сетки с постоянными шагами как по времени ( ) , так и по глубине ( ).

Уравнение (40), вписанное в конечных разностях

(41)

для точки с координатами верно в том случае, если мы учтём различия в изменении температуры по глубине на интервалах выше узла сетки и ниже его, откуда вторая производная будет иметь вид

(42)

Производная от температуры по времени для узла сетки имеет вид

(43)

Подставляя выражения производных в конечных разностях через углы сетки, получим

откуда

(44)

Подбирая величину шагов и или константы коэф­фициента правой части из условия его равенства единице:

, (45)

получим . (46)

Таким образом, температура воды в очередном узле сетки ищется как полу сумма температур из выше и нижерасположенных узлов на предыдущем слое времени. Очевидно, что граничное условие поверхности должно быть дополнено граничным условием на заданной глубине (или по дну водоёма). Тогда возможны различные варианты исследования с помощью ЭВМ. Например, при заданных реальных начальным и граничных условиях определяется время достижения температуры поверхности искомой величины. Или при тех же граничных условиях и при условиях гомотермии определяется время выхолаживания (осень) и время прогревания (весна) водоёма. При выводе решения на экран в виде таблицы или графика появляется возможность расширения круга задач по анализу изменения температуры воды по глубине водоёма.

7.4.1.2. Пример решения

Рассчитать выхолаживание воды в водоёме за ночь, если в 21 час наблюдалось состояние изотермии, т.е. температура воды по всей глубине равнялась .

Тепловой поток с поверхности воды

.

Из условия , принимая , определяем

Тогда из следует, что постоянная величи­на для границы атмосфера - вода равна

Результаты расчёта можно свести в таблицу и представить в виде графиков (рис. 5).

Таблица. Расчет выхолаживания воды в водоеме

Результаты расчёта могут быть представлены в виде графика (рис. 5)

Рис.5. Распределение температуры воды по глубине