2.2. Погрешности геодезических измерений,

их классификация и свойства

Измерения  в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: коли-

чественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и ка-

чественной, характеризующей ее точность.

Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной

работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых резуль-

татов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точ-

ным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него.

Значение отклонения характеризует точность измерений. Если обозначить

истинное значение измеряемой величины  х, а результат измерения  хi, то

истинная погрешность измерения

∆x = хi – х .

Любая  погрешность  результата  измерения  есть  следствие  действия

многих факторов, каждый из которых порождает свою погрешность. По-

грешности, происходящие от отдельных факторов, называют элементар-

ными. Погрешности результата измерения являются алгебраической сум-

мой элементарных погрешностей.

Изучением   основных   свойств   и   закономерностей   действия   по-

грешностей измерений, разработкой методов получения наиболее точного

значения измеряемой величины и характеристик ее точности занимается

теория погрешностей измерений. Излагаемые в ней методы решения задач

позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и

на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и техно-

логию измерений, а после производства измерений получить наилучшие

их результаты и оценить их точность. Математической основой теории

погрешностей и з м е р е н и й я в л я ю т с я т е о р и я вероятностей и м а т е м а т и ч е с к а я

статистика.

Погрешности  измерений  разделяют  по  двум  признакам:  характеру

их действия и источнику происхождения.

По  характеру  действия  погрешности  бывают  грубые,  систематиче-

ские и случайные.

Грубыми  называют  погрешности,  превосходящие  по  абсолютной

величине некоторый установленный для данных условий измерений пре-

дел. Они происходят в большинстве случаев в результате промахов и про-

счетов исполнителя. Такие погрешности обнаруживают повторными из-

мерениями, а результаты, содержащие их, бракуют и заменяют новыми.

Погрешности,  которые  по  знаку  или  величине  однообразно  повто-

ряются в многократных измерениях (например, в длине линии из-за не-

точного знания длины мерного прибора, из-за неточности уложения мер-

29

ного прибора в створе этой линии и т.п.), называют систематическими.

Влияние систематических погрешностей стремятся исключить из резуль-

татов измерений или ослабить тщательной проверкой измерительных

приборов, применением соответствующей методики измерений, а также

введением поправок в результаты измерений.

Случайными являются погрешности, размер и влияние которых на

каждый отдельный результат измерения остаются неизвестными. Величи-

ну и знак случайной погрешности заранее установить нельзя. Однако тео-

ретические исследования и многолетний опыт измерений показывают, что

случайные погрешности подчинены определенным вероятностным зако-

номерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее на-

дежный результат и оценить его точность.

По  и с т о ч н и к у   п р о и с х о ж д е н и я  различают погрешности

приборов, внешние и личные.

Погрешности  приборов  обусловлены  их  несовершенством,  напри-

мер погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в

вертикальное положение оси его вращения.

Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды, в

которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по ниве-

лирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового лу-

ча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

Личные  погрешности  связаны  с  особенностями  наблюдателя,  на-

пример, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную врубу на ви-

зирную цель.

Так   как   грубые   погрешности   должны   быть   исключены   из   ре-

зультатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до

минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необ-

ходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений произ-

водят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

Свойства с л у ч а й н ы х п о г р е ш н о с т е й

Случайные  погрешности  измерений  —  это  неизбежные  малые  по-

грешности, возникающие одинаковым образом в любых измерениях. Вы-

ражение šодинаковым образомŸ следует понимать в том смысле, что ни

одна из причин, порождающих элементарные погрешности в измерениях,

не имеет существенно преобладающего влияния и что погрешность каж-

дого отдельного измерения образуется в результате свободной комбина-

ции элементарных погрешностей.

В этом случае абсолютная величина и знак таких погрешностей ка-

ждого измерения будут возникать случайно, но с различной степенью ве-

роятности в той или иной комбинации элементарных погрешностей. Од-

нако при повторении измерения в одних и тех же условиях случайные по-

30

грешности таких результатов будут различаться по абсолютной величине

и знаку; они не должны превышать известного предела, зависящего от

точности измерений.

Случайные погрешности измерений возникают в результате свобод-

ной комбинации элементарных погрешностей, для каждого отдельного

измерения невозможно заранее предусмотреть, какая комбинация элемен-

тарных погрешностей будет иметь место, поэтому получающиеся погреш-

ности и называются случайными. Но какая-то комбинация всегда должна

быть. Следовательно, случайные погрешности измерений неизбежны. Это

очень важное и убедительное доказательство наличия и существования

случайных независимых погрешностей в геодезических измерениях.

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами:

1. При определенных  условиях измерений случайные погрешности

по абсолютной величине не могут превышать известного предела, назы-

ваемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать

и исключать из результатов измерений грубые погрешности.

2.  Положительные  и  отрицательные  случайные  погрешности  при-

мерно одинаково часто встречаются в ряду измерений.

3.  Малые  по  абсолютной  величине  случайные  погрешности  встре-

чаются чаще, чем большие.

4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений

одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при

неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это

свойство, называемое свойством компенсации, можно математически за-

писать так: lim([∆]/n) = 0, где [∆] — знак cуммы погрешностей; п — число

измерений.

Совокупность  свойств  случайных  погрешностей  в  геодезических

измерениях и является их закономерностью, которая проявляется тем ярче

и полнее, чем длиннее ряд равноточных измерений. Практический опыт

показывает, что нормальное или приближенно нормальное распределение

достаточно хорошо отражает действительное распределение суммарных

случайных погрешностей в равноточных геодезических измерениях.

В разделе математической статистики под названием šТеория оши-

бок измеренийŸ еще в начале XIX в. было доказана, что результаты любых

многократных измерений отклоняются от истинных значений измеренных

величин на случайные величины, которые распределяются по нормально-

му закону Гаусса.

В измерениях используют случайные погрешности, по абсолютной

величине не превосходящие определенного предела (допуска) в зависимо-

сти от точности измерений, а при нормальном распределении значение

случайной величины может быть сколь угодно большим.

В  процессе  геодезических  измерений,  когда  точность  отсчета  по

шкале измерительного прибора (угломерного, мерного) выше точности

31

результата измерения, имеет место равномерное распределение случай-

ных погрешностей.

Плотность   вероятности   равномерного   распределения   имеет   сле-

дующий вид:

f(x) = 1/2а при |х| = а;  f(x) = 0 при |х| > а. (2.1)

где а — наибольшее значение погрешности. График этой функции приве-

ден на рис. 2.1.

График функции плотности вероятности нормального рас-

пределения характеризуется кривой Гаусса (рис. 2.2).

Из формулы (2.1) и графика на рис. 2.1 видно, что вероятность по-

явления погрешности, подчиняющейся равномерному закону распределе-

ния, во всем интервале (– а; + а) одинакова и в зависимости от точности

прибора (инструмента), используемого для измерений, может быть суще-

ственно снижена из-за устанавливаемых в геодезических измерениях ог-

раничений в виде допусков. Отмеченная особенность позволяет сокращать

количество измерений в геодезических работах до двух-трех повторений

(приемов). Это положение применяется в малоточных инженерно-

геодезических работах при использовании более точных геодезических

приборов (инструментов).

Рис. 2.1. График функции Рис. 2.2. График функции

плотности вероятности равномерного плотности вероятности

распределения нормального распределения

32