6. 4. Решение нормальных уравнений способом Гаусса
Для решения нормальных уравнений применяются способы:
- квадратных корней;
- неопределенных коэффициентов;
- последовательных приближений.
Решение системы нормальных уравнений способом Гаусса (после-
довательного исключения неизвестных) сводится к преобразованию мат-
рицы (6.10), расширенной свободными членами (8.11) к матрицам коэф-
фициентов э к в и в а л е н т н о й
51
раа раb
раq раl
Т эк
рbb1
рbq1 рbl1
(6.19)
pqq(k 1) pql(k 1)
и и л и м и н а ц и о н н о й (elimino – "исключать") систем
Tэл
1
раb
раа
1
рbc1
pbb1
раq
раа
рbq1
pbb1
раl
раа
рbl1
pbb1
1
pql(k 1)
pqq(k 1)
учитывая, что Nпр = Тэк Тэл.
Наличие матриц Тэк и Тэл позволяет получить поправки из обратного
хода решения нормальных уравнений.
[pab]
δx1 = − [paa] δх2 − … −
[paq]
[paa]
δхk −
[pal]
[paa]
;
δx1 = −
[ pbc1]
[ pbb1]
δх3 −… … −
[ pbl1]
[ pbq1]
;
… … … … …
δхk = −
[ pql(k 1)]
[ pqq(k 1)]
.
Алгоритм записи коэффициентов:
[pab] = p1 a 1b1 + p2 a2 b2 + … + pn an bn ;
… … … … …
[pbc1] = [pbc] −
[ pab][ pac]
[ paa]
;
[pcl2] = [pcl] −
[ pac][ pal ]
[ paa]
−
[ pbc1][ pbl1]
[ pbb1]
;
… … … …
Коэффи- циент исключе- ния |
x1 |
x2 |
x3 |
l |
S |
Контроль |
(1/[aa]) (1/[bb1]) 1/[cc2]) |
[aa] (-1) |
[ab] ab aa |
[ac] aс aa |
[al] al aa |
[as] as aa |
Суммиро- вание по строкам |
[bb1] (-1) |
[bc1] bс1 bb1 |
[bl1] bl1 bb1 |
[bs1] bs1 bb1 |
|
||
[cc2] (-1) |
[cl2] cl 2 cc2 |
[cs2] cs2 cc2 |
|
|||
|
x1 |
x2 |
x3 |
[ll3] |
[ls3] [ss3] |
|
52
[pql(k-1)] = [pql] −
[ paq][ pal]
[ paa]
−
[ pbq1][ pbl1]
[ pbb1]
−
[ pcq2][ pcl2]
[ pcc2]
−…
Сокращенная схема Гаусса для решения 3 нормальных уравнений
D = [paa][pbb1] … [pqq(k-1)].
Для решения нормальных уравнений используется табличный вари-
ант.
-х
53