1.2.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины.
Непрерывную случайную величину можно задать не только с по-
мощью функции распределения, но и используя другую функцию, кото-
рую называют плотностью распределения или плотностью вероятности
(иногда дифференциальной функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случай-
ной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функ-
ции распределения F(x):
f(x) = F′(x) (1.4)
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того,
что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее
заданному интервалу. Вычисление основано на теореме: šВероятность то-
го, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадле-
жащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности рас-
пределения, взятому в пределах от š a Ÿ до š b ŸŸ.
в
P ( a x b )
а
f ( x ) dx
(1.5)
Зная плотность распределения f(x) можно найти функцию распреде-
ления F(x) по формуле:
x
f ( x)dx
(1.6)
13
Свойства плотности распределения:
С в о й с т в о 1. Плотность распределения – неотрицательная функ-
ция:
f(x) ≥ 0.
С в о й с т в о 2. Несобственный интеграл от плотности распределе-
ния в пределах от − ∞ до ∞ равен 1:
f ( x)dx 1
1.3. Числовые характеристики случайных величин.
Нормальный закон распределения. Системы случайных величин.
Ковариация и корреляция.
1.3.1. Числовые характеристики дискретных
случайных величин.
Закон распределения полностью характеризует случайную величи-
ну. Однако часто закон неизвестен и ограничиваются меньшими сведе-
ниями, пользуясь числами, которые описывают случайную величину сум-
марно; такие числа называют числовыми характеристиками случайных
величин.
К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия, корреляция.
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е д и с к р е т н о й с л у ч а й н о й величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины
называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероят-
ности
M ( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi .
(1.7)
i1
Вероятностный смысл математического ожидания:
М ( Х ) Х − среднему арифметическому наблюдаемых значений
случайной величины, т.е. математическое ожидание характеризует её
центр распределения.
Кроме математического ожидания, центр распределения характери-
зуется модой и медианой.
На основе математического ожидания существуют начальные, цен-
тральные и абсолютные моменты.
14
Свойства математического ожидания:
С в о й с т во 1. M(C) = C − математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной;
С в о й с т во 2. M(CX) = CM(X) − постоянный множитель можно
выносить за знак математического ожидания;
С в о й с т во 3. M(XY) = M(X) M(Y) − математическое ожидание
произведения двух независимых случайных величин равно произведению
их математических ожиданий.
Две случайные величины называют независимыми если закон рас-
пределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла дру-
гая величина.
Несколько случайных величин называют взаимно независимыми,
если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие
возможные значения приняли остальные величина.
Следствие. M(XYZ) = M(X) M(Y) M(Z) − математическое ожидание
произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий.
С в о й с т во 4. M(X+Y) = M(X) + M(Y) − математическое ожидание
суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых.
Теорема. Математическое ожидание M(X) числа появления события
А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на
вероятность появления события в каждом испытании: M(X) = п∙р.
Д и с п е р с и я дискретной с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
Х – М(Х) – разность между случайной величиной и её − математи-
ческим ожиданием называют отклонением.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины назы-
вают математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от её математического ожидания
D(Х) = [Х – М(Х)] 2, (1.8)
где D – неслучайная (постоянная) величина.
Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой фор-
мулой
D(Х) = М(Х 2) – [М(Х)] 2. (1.9)
Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана
следующим законом распределения:
15
Решение:
1. Найдем М(Х):
М(Х) = 2 ∙ 01 + 3 ∙ 0,6 + 5 ∙ 0,3 = 3,5.
2. Напишем закон распределения случайной величины X 2:
3. Найдем М(Х 2):
М(Х 2) = 4 ∙ 0,1 + … = 13,3.
4. Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х 2 ) – [М(Х)] 2 = 13,3 – (3,5) 2 = 1,05.
Свойства дисперсии:
С в о й с т во 1. D(С) = 0;
С в о й с т во 2. D(СХ) = С2 D (Х) – постоянный множитель можно
выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат;
С в о й с т во 3. D(Х + Y) = D(Х) + D(Y);
С в о й с т во 4. D(Х - Y) = D(Х) + D(Y).
Третье и четвертое свойство только для независимых случайных ве-
личин.
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события посто-
янна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и
не появления события в одном испытании:
D(Х) = n ∙ p ∙ q. (1.10)
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины
вокруг её среднего значения кроме дисперсии служит и другая характери-
стика – среднее квадратическое отклонение.
16
Средним квадратическим отклонением случайной величины X
называют квадратный корень из дисперсии:
( Х ) D( X ).
(1.11)
В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела
размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое от-
клонение, а не дисперсию.
Связь между числовыми характеристиками Х (среднего арифмети-
ческого) и соответствующими характеристиками каждой отдельной, оди-
наково распределенной взаимно независимой случайной величиной:
M( Х ) = a – математическому ожиданию каждой из п величин;
D( Х ) = D/n , где D – дисперсия каждой;
σ( Х ) = σ/√n, т. е. в √n меньше среднего квадратического отклоне-
ния.