1.3.4. Ковариация и корреляция

Представим дисперсию D(Х) D(X) = M[(X – M(X))(X – M(X))] =

= cov (X, X).

Cимволом cov (X, X) обозначена числовая характеристика, называе-

мая ковариацией. Для системы двух случайных величин X и Y  ковариа-

ция

KXY = cov (X, Y) = M[(X – M(X))(Y – M(Y))] =  M(XY) – M (X) M (Y). (1.26)

Величина KXY  –  корреляционный момент.

Для независимых случайных величин cov (X, X) = 0.

Степень зависимости случайных величин X, Y оценивается числовой

характеристикой,   называемой   коэффициентом   корреляции   (нормиро-

ванным корреляционным моментом).

Коэффициент корреляции определяется по формуле

^{r( X , Y )  cov( X , Y ) /   D( X )D(Y )  K} XY ^/( x^ y ^),

(1.27)

т.е. коэффициентом корреляции случайных величин X и  Y   называют от-

ношение корреляционного момента к произведению средних квадратиче-

ских отклонений этих величин. Он показывает степень тесноты линейной

связи между X и Y.

Свойства коэффициента корреляции:

^{r( X , Y )  1}, т.е. максимальная степень тесноты связи соответству-

ет значениям коэффициента корреляции равным  Ì1; для независимых X и

Y  коэффициент корреляции равен 0.

Математическое ожидание произведения двух случайных величин X

и Y  выражается формулой

M(X Y) = M(X) M(Y) + KXY.

Дисперсию суммы двух случайных величин определяют по формуле

D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 cov (XY).

23

Для нескольких случайных величин

n

n

^D ^{X i   }  ^{D( X i )  2} ^{K xi x j ,}

i1

i1

i j

где  K  xi xj −  корреляционный  момент  попарно  рассматриваемых  случай-

ных величин Xi и Yj.

1.4. Выборочный метод. Статистические оценки

параметров распределения

1.4.1. Выборочный метод

Выборочный метод – раздел   математической статистики. Её содер-

жание  составляют  методы  систематизации,  обработки  и  использования

статистических  данных,  выявления  на  их  основе  статистических  законо-

мерностей.

Статистические наблюдения могут быть  сплошными  и  выбороч-

ными.  Обычно используют часть изучаемых объектов или данных по ним,

называемую  выборкой или  статистической  совокупностью,  а  всю  со-

вокупность объектов, из  которых  производится  выборка, называют  гене-

ральной совокупностью.

Объем совокупности – число объектов.

Например, из 1000 деталей отобрано 100.

Объем генеральной совокупности N = 1000; объем выборки n = 100

(изучаются  качественные  (стандарт)  и  количественные  (размер)  характе-

ристики детали).

Выборка должна быть   репрезентативной   (представительной), т.е.

должна давать наиболее полное представление о генеральной совокупно-

сти и в то же время обеспечивать получение наиболее надежных оценок ее

свойств и параметров распределения.

Применяют два способа подбора элементов генеральной совокупно-

сти в выборку: случайный и неслучайный.

Случайной выборкой объема n называют случайный вектор x1, x2,

…, xn , где xk – независимы и одинаково распределены с P(xk<x)=Fn(x).  xk –

значение некоторой случайной величины Х. В задачах, связанных с геоде-

зическими  измерениями,  величины  x1,  …,  xn  принято  считать нормально

распределенными.

При неслучайном   отборе перебирают не отдельные элементы, а це-

лые группы, серии элементов предварительно упорядоченной совокупно-

сти.

24