математика

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования žКузбасский государственный технический университет¡

Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Рекомендовано учебно-методической комиссией специальности 150402 žГорные машины и оборудование¡

в качестве электронного издания для самостоятельной работы

Кемерово 2011

Рецензенты:

Волков В.М. – доцент кафедры высшей математики Хорешок А.А. – председатель УМК специальности 150402

žГорные машины и оборудование¡

Прейс, Елена Валерьевна. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия : методические указания к самостоятельной работе по дисциплине žМатематика¡ [электронный ресурс] : для студентов специальности 150402 žГорные машины и оборудование¡ очной формы обучения / Е. В. Прейс, Е. А. Волкова, А. В. Рябкова. – электрон. дан. – Кемерово : ГУ КузГТУ , 2010. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; зв. цв. ; 12 см. – Систем. требования : Pentium IV ; ОЗУ 8 Мб ; Windows 2003 ; (CD- ROM-дисковод) ; Загл. с экрана.

Представлены решения типовых заданий с подробными пояснениями, задания для самостоятельной работы.

Цель работы – помочь студентам выработать умения и навыки, необходимые при изучении технических дисциплин и освоении инженерной профессии.

1

1. Линейная алгебра

Задание № 1. Для выполнения этого задания нужно усвоить понятия определителей второго, третьего, n-го порядка и общее правило вычисления определителей через алгебраические дополнения. Необходимо так же знать свойства определителей.

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка, предварительно упростив его.

Чтобы вычислить определитель 4-го порядка, его нужно разложить по элементам любой строки или столбца. Если часть элементов строки или столбца являются нулями, то вычисления упрощаются. Получим нули в первом столбце данного определителя. Для этого воспользуемся свойством: определитель не изменится, если ко всем элементам строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любое число. Прибавим ко второй строке четвертую. К третьей прибавим первую, умноженную на (–1). К первой, прибавим четвертую, умноженную на(–2). Получим определитель, в первом столбце которого содержится только один элемент отличный от нуля. Разложим определитель по первому столбцу.

Вычислим определитель третьего порядка, разложив его по элементам первой строки. Aij – алгебраические дополнения.

2

Задание № 2, 3. Для решения этих заданий изучаем метод Крамера решения систем линейных уравнений, действия над матрицами, а так же матричный способ решения систем линейных уравнений. Матричный способ основан на вычислении обратной матрицы и операции умножения матриц.

Пример: Найти решение системы линейных уравнений а) методом Крамера, б) матричным способом.

2x 3y z 9,

x 2 y 3z 6,3x y z 0.

а) Составим определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных. Вычислим его, разложив по элементам первой строки.

3

Определитель x составлен заменой первого столбца, т.е. коэффициентов при x , свободными коэффициентами в определителе . Вычислим его разложением по первому столбцу.

31

9( 2 ( 3)) 6(3 ( 1)( 1)) 9( 2 3) 6(3 1)

1 1

9 12 21.

Аналогично найдем определители y , z , заменяя 2-й и 3-й столбцы в определителе на свободные коэффициенты.

29 1

29

3(27 ( 6)( 1)) ( 12 9) 3(27 6) 21 42.

1 6

y вычислили, разложив по элементам третьей строки. z вы-

числим также.

Тогда решение системы получаем как отношение определителей

4

б) Решим эту же систему матричным методом. Для этого перепишем систему линейных уравнений в матричном виде. Пусть матрица A составлена из коэффициентов при неизвестных в левой части системы уравнений.

x

Выразим матрицу X из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на A 1 с левой стороны: A 1 A X A 1 B. По свойству обратной матрицы A 1 A E , где E – единичная матрица.

E X A 1 B , т.к. E X X , получаем X A 1 B .

5

Следовательно, чтобы получить решение системы, нужно найти

обратную матрицу A 1 к матрице A и умножить ее на матрицу

B .

Найдем определитель матрицы A

2 3 1

31 1

Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы

A.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

6

Перепишем строчки в столбцы, т.е. проведем операцию транспонирования.

Найдем матрицу неизвестных X

Следовательно, решение системы: x 1; y 2; z 1. Пример: Найти 3A 2B C , где

Найдем 2B , умножив каждый элемент матрицы B на 2.

7

Задание № 4, 5, 6. Для выполнения этих заданий нужно изучить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Рассмотреть случаи, когда система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решений.

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай единственного решения).

8

2x1 5x2 8x3 8,

4x1 3x2 9x3 9,

2x1 3x2 5x3 7,

x1 8x2 7x3 12.

Выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты в виде матрицы

Поменяем первую и четвертую строки местами, чтобы получить в первом уравнении коэффициент при x1 равный 1. Получим ко-

эффициенты при x1 во второй, третьей и четвертой строках равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–4), к третьей – первую, умноженную на (–2), к четвертой – первую, умноженную на (–2).

9