Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

403.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Далее преобразуем вторую, третью и четвертую строки. К третьей строке прибавим четвертую, умноженную на (–1), затем к четвертой строке прибавим третью, умноженную на (–5).

1 8			7	12		1 8			7	12
									9
0 29 19				39		0 1				11
	0	2	3	1			0	2	3	1	III+II·2


	0	1	9	11	(–1)		0	29	19	39	IV+II∙29

Умножим четвертую строку на (–1) и поменяем местами ее со второй. Затем получим нулевые коэффициенты при x2 в третьей и четвертой строках. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 2, к четвертой строке прибавим вторую, умноженную на 29.

1 8		7	12		1 8 7			12
		9					9
0 1			11		0 1			11
	0 0	21	21	: 21		0 0	1	1

	0 0	280	280	: 280		0 0	1	1	IV–III

Поделим третью строку на 21, четвертую на 280 и от четвертой вычтем третью.

1		8	7	12	1 8		7	12
		1	9
0				11		1	9
	0	0	1	1	0			11
						0	1
	0	0	0	0	0			1

Четвертая строка состоит из нулей, ее можно отбросить. Матрица коэффициентов при неизвестных приведена к треугольному виду. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем это решение. Запишем равносильную систему уравнений по полученной матрице коэффициентов.

x		8x	2	7x	12,
	1		2	3	11,
		x2 9x3			11,
				x3 1.
				x3 1.

Подставив	во	второе	уравнение	x3 1,	найдем x2 .
x2 11 9x3	11 9 1 2 . Подставив x3			1 и	x2 2 в первое
уравнение, найдем		x1 . x1 12 8x2 7x3		12 8 2 7 1 3. Сле-
довательно,	x1 3,	x2 2 ,	x3 1 – решение системы. Сделаем

проверку. Подставим полученные значения в исходные уравнения системы.

2 3 5 2 8 1 8,	8 8,

4 3 3 2 9 1 9,	9 9,

2 3 3 2 5 1 7,	7 7,

3 8 2 7 1 12.	12 12.

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай множества решений).

4x1 2x2 3x3 2x4 3,

2x1 3x2 2x3 3x4 2,

3x1 2x2 3x3 4x4 1.

Выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты в виде матрицы

4		2	3	2	3	I–III	1		0	0	2	2
		3	2	3					3	2	3		II+I(–2)
2					2		2					2
	3	2	3	4	1			3	2	3	4	2	III+I(–3)

1 0	0 2			2	1 0 0 2		2

0 3	2	7		2 II–III	0 1	1 3	3
	3	10		5		3 10		III+II(–2)
0 2	3	10		5	0 2	3 10	5	III+II(–2)
1 0	0	2	2
1 0	0	2	2
	1	3	3
0 1	1	3	3
	5 16
0 0	5 16		11

Проведем преобразования по методу Гаусса. Матрица коэффициентов при неизвестных приведена к виду трапеции (т.е. в последнем уравнении системы осталась не одна переменная). Это означает, что система имеет множество решений. Количество оставшихся уравнений соответствует количеству зависимых (базисных) переменных. В данном случае их три. Всего четыре неизвестных, следовательно, одна переменная свободная. Пусть это будет x4 (может быть любая). Выразим зависимые переменные x1 , x2 , x3 через свободную x4 . Вернемся к системе уравнений по преобразованной матрице коэффициентов

x1 0 x2 0 x3 2x4 2,x2 x3 3x4 3,

5x3 16x4 11.

Из последнего уравнения выразим x3 через x4 .

5x3 11 16x4

x3 11 16x4

x3 11 16 x4 . 5 5

Подставим x3 во второе уравнение системы и выразим x2 через x4 .

x2 3 x3 3x4

	x2 3				11				16		x4 3x4							4			1	x4 .

					5					5						5			5
Выразим x1	из первого уравнения через x4 . Коэффициенты при
x2 и x3 равны нулю, следовательно, подставлять их не нужно.
		x4					x1 2 2x4 .
Итак, придавая			любые значения, будем получать множество
значений x	2	2x	4	, x	2			4			1	x	4	, x	3		11			16			x	4	.

1						5				5						5			5

Сделаем проверку. Для этого в исходную систему подставим вы-

ражения x	2 2x	4	, x		2					4						1	x	4	,		x		3			11			16	x	4	. Например, в
ражения x	2 2x		, x														x		,		x								5	x		. Например, в
1							5								5										5				5
первое уравнение.						4						1										11					16
4 (2 2x4 ) 2 (						4						1		x4 ) 3 (								11					16	x4 ) 2x4 3
4 (2 2x4 ) 2 (														x4 ) 3 (														x4 ) 2x4 3
					5		5																5		5
	8 8x4			8				2			x4						33				48			x4 2x4 3
	8 8x4										x4													x4 2x4 3
			5				5								5					5
									15				0 x4							3
							5						0 x4							3
							5							3 3.
														3 3.

Получилось тождество. Следовательно, система решена верно.

x4 R,
x	2 2x							4	,
1
			4		1
Ответ: x2							x4 ,

	5			5
		11				16
x3									x4.

	5			5

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай, когда система не имеет решения).

x1 2x2 x3 3,4x1 3x2 x3 0,5x1 x2 4.

1 2				1	3			1 2			1		3
		3		1						11		5
4		3		1	0 II+I(–4)			0		11		5	12
	5	1		0	4		III+I– (5)		0 11			5	11
							III+I– (5)			III–II
										III–II

1		2		1			3
1		2		1			3
		11		5
0		11		5		12
	0	0		0			1
	0	0		0			1
Перейдем к системе уравнений:
x		2x	2	x		3,
1			2	3		12,
11x2 5x3						12,

0 x1 0 x2 0 x3 1.

Левая часть третьего уравнения обращается в нуль при любых значениях x1 , x2 , x3 , а правая часть отлична от нуля. Следовательно, равенство не может быть выполнено ни при каких значениях переменных и система не имеет решения.

Задание № 5 решается тоже методом	Гаусса. Однородная
система линейных уравнений всегда	имеет решение

xi 0, i 1, , n . То есть, однородная система имеет либо одно нулевое решение, либо множество решений.

Пример: Решить однородную систему линейных уравнений.

3x1 4x2 x3 0,x1 3x2 5x3 0,

4x1 x2 4x3 0.

Решаем систему методом Гаусса. Преобразуем матрицу коэффициентов.

3		4	1	0	Меняем местами 1			3	5	0
					строки						II+I(–3)
1		3	5	0	строки	3		4	1	0	II+I(–3)
	4	1	4	0	системы		4	1	4	0
	4	1	4	0			4	1	4	0	III+I(–4)
											III+I(–4)

1		3	5	0		1		3	5	0
			16						16
0 13				0		0 13				0
	0	13	16	0			0	0	0	0
					III–II

Осталось два уравнения, а переменных три, следовательно, система имеет множество решений. Найдем их.

																				x 3x 5x ,									x 3										16				x 5x ,
																				x 3x 5x ,									x 3														x 5x ,
	x 3x							5x 0,													1	2		3								1										3		3
	x 3x						2	5x 0,														16															3
			1				2						3									16															3
	13x2 16x3 0,																			x2				x3,					x							16				x ,
																						3											2			16

																																					3					3
																																					3
				x								17			x ,
				x											x ,
				1									3			3
													3
										16
				x	2					16				x .
				x										x .
									3				3
									3																17										16
Сделаем проверку. Подставим																							x		17	x ,			x	2					16			x в третье и
Сделаем проверку. Подставим																							x			x ,			x									x в третье и
																						1		3			3							3			3
																								3										3
первое уравнения исходной системы. Получаем:
				17												16													51								64
3						x3					4								x3	x3 0,											x									x x 0,


				13												13																	3									3		3
				13												13												13								13
				17									16															13								13
				17									16															68				x				16					x 4x 0.
	4					x											x 4x 0.
	4					x											x 4x 0.
				13			3						13					3		3								13					3				13					3		3
				13									13															13									13

		64		x				64					x
																0,
																0,
		13		3				13					3							0 0,
		13						13												0 0,
		68						68
		68		x				68					x							0 0.
				x									x			0.
		13		3				13					3
		13						13

Получились тождества. Значит система решена верно. Ответ:

x		17		x ,

1		3			3

	16

x2			x3		,

	3

x3 R.

Задание № 7. Для выполнения этого задания нужно знать операции над матрицами. Матричное уравнение содержит неизвестную матрицу X. Нужно рассчитать ее размерность и найти элементы этой матрицы.

Пример: Решить матричное уравнение.

		0		3	4				7	1 6 7 9				7
	X		2	1 1					7	1 6 7 9				7
	X		2	1 1							=

			4	5	3				2 0 5			8 11		0
			4	5	3
Обозначим:
0			3	4						7	1	6
	2		1	1						7	1	6	B (2»3),
	2		1	1		A(3»3),							B (2»3),
										2	0
	4		5	3						2	0	5
	4		5	3
					7		9	7
									C (2»3).
						8	11
						8	11		0
X A B C ,				X A C B ,							X A A 1 (C B) A 1,
X E (C B) A 1, X (C B) A 1.

Матрица (C –B) имеет размерность (2»3), матрица A 1 имеет размерность (3»3), следовательно, у матрицы X будет размерность (2»3).

Найдем матрицу (С–В).

7 9		7		7		1 6		14 10		13
C B =			–				=				.
	8 11	0			2	0 5			6 11	5

Найдем обратную матрицу к матрице А.

	0		3	4
			1
A 2			1	1
			5
	4		5	3
		0	3	4		2	1		2	1

A
		2	1	1	3			4			3 2 4 ( 14) 50.

						4	3		4	5
		4	5	3		4	3		4	5
		4	5	3

A11		1				1	8 ,			A12			2	1		2 , A13		2			1	14
A11		5				3	8 ,			A12		4			3	2 , A13		4			5	14
		5				3						4			3			4			5
A21					3	4			11,	A22	0		4		16 ,		A23			0	3	12 ,
					3	4					0		4							0	3
					5	3					4		3							4	5
					5	3					4		3							4	5
A31			3			4	7 ,			A32			0		4	8,	A33		0		3	6.
			3			4							0		4				0		3
						1							2	1					2		1
			1			1							2	1					2		1
						8			11	7
A 1				1
						2 16				8 .
						2 16				8 .
	50							12
						14		12		6

Сделаем проверку для A 1 , A 1 A E .

1	8		11 7		0		3	4	1	50 0			0	1		0	0

	2		16	8 » 2			1	1 =		0		50	0 0			1	0 .
50									50
		14	12	6		4	5	3			0	0	50		0	0	1

Вычисления выполнены верно. Найдем матрицу X.

	1	8		11	7
X (C B) A 1
	= »	2		16	8 =

	50		14	12	6

1	112 20 182					154 160 156				98 80 78
=											=
=											=
50		48 22 70				66 176 60				42 88 30
50		48 22 70				66 176 60				42 88 30
1	50		150	100		1		3	2
=					=				.
=					=				.
50		0	50	100			0	1
50		0	50	100			0	1	2
			1	3	2
Ответ: X						.
				1 2
			0	1 2

Задачи для самостоятельной работы

Задача № 1. Вычислить определитель

	2	3	6	4			1		4	3	8
1.1	1	0	2	1	1.2		5		6	0	0
	0	1	4	3			4		1	1	2

	1	2	5	7			3		6	1	7
	4	3	1	6				2	1	6	0

1.3	0	5	3	1				2	3	4	5
	1	2	0	2		1.4		1	1	0	2

	7	9	0	4				3	5	6	9

	5	3	2	2						2	0	4	5
1.5	0	4	1	0		1.6				6	1	0	3
1.5	2	3	1	1		1.6				3	5	0	7
	2	3	1	1						3	5	0	7
	7	1	0	0						9	3 1		4
	3	4	1	2						2	3	4	2
	3	4	1	2						2	3	4	2
1.7	5	6	0	4		1.8				1	0	0	2
1.7	2	3	1	1		1.8				3	6	8	1
	2	3	1	1						3	6	8	1
	0	7	6		3					12	3	4	5
	6	7	0	4					2		3	1	0
	6	7	0	4					2		3	1	0
1.9	2	1	1	3		1.10			4		2	0	3
1.9	3	2	4	7		1.10				1	6	3	1
	3	2	4	7						1	6	3	1
	0	3	0	2					2		2	0	4
	2	8	3	0				2			4	8	1
	2	8	3	0				2			4	8	1
1.11	4	2	0	2		1.12		0			3	0	5
1.11	1	6	4	1		1.12		1			1	0	2
	1	6	4	1				1			1	0	2
	3	1	0	9				4			1	1	0
	1	6	0	0			2				1	0	3
	1	6	0	0			2				1	0	3
1.13	2	3	4	1		1.14	4				2	1	0
1.13	3	2	0	4		1.14	1				1	0	4
	3	2	0	4			1				1	0	4
	0	1	0	5			2				1	8	3
	1	6	0	5				1			0	4	6
	1	6	0	5				1			0	4	6
1.15	4	3	2	0		1.16	2				3	0	5
1.15	1	3	1	0		1.16	8				1	1	2
	1	3	1	0			8				1	1	2
	3	2	0	8			4				0	0	3

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
16.03.2016830.37 Кб3Математика.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf
#
23.11.20191.69 Mб16Математическая обработка геодезических измерени...doc
#
26.08.2019219.14 Кб0Материал для контрольной работы (теория).doc
#
16.03.2016167.91 Кб14материаловедение MU_k_k/r.pdf
#
10.05.2015489.06 Кб39Материаловедение- Контрольные задания.pdf

	2	3	6	4			1		4	3	8
1.1	1	0	2	1	1.2		5		6	0	0
	0	1	4	3			4		1	1	2

	1	2	5	7			3		6	1	7
	4	3	1	6				2	1	6	0

1.3	0	5	3	1				2	3	4	5
	1	2	0	2		1.4		1	1	0	2

	7	9	0	4				3	5	6	9

	2	3	6	4			1		4	3	8
1.1	1	0	2	1	1.2		5		6	0	0
	0	1	4	3			4		1	1	2

	1	2	5	7			3		6	1	7
	4	3	1	6				2	1	6	0

1.3	0	5	3	1				2	3	4	5
	1	2	0	2		1.4		1	1	0	2

	7	9	0	4				3	5	6	9

	2	3	6	4			1		4	3	8
1.1	1	0	2	1	1.2		5		6	0	0
	0	1	4	3			4		1	1	2

	1	2	5	7			3		6	1	7
	4	3	1	6				2	1	6	0

1.3	0	5	3	1				2	3	4	5
	1	2	0	2		1.4		1	1	0	2

	7	9	0	4				3	5	6	9