Математика для инженеров
.pdfМ. К. Курчин
Математика для инженеров
Сборник задач
КЕМЕРОВО 2007
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
£Кузбасский государственный технический университет¦
М. К. Курчин
Математика для инженеров
Сборник задач
КЕМЕРОВО 2007
УДК 517
Рецензенты:
Кафедра высшей математики ГОУ ВПО ™КемГУš (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор С. П. Брабандер)
Доцент кафедры товароведения и экспертизы товаров ГОУ ВПО ™РГТЭУš, Кемеровского института (филиал), кандидат физикоматематических наук М. Н. Сидоров
Курчин, М. К. Математика для инженеров : сб. задач / М. К. Курчин ; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2007. – 102 с.
ISBN 976-5-89070-548-0
Учебное пособие представляет собой сборник задач для практических занятий и домашних заданий по курсу ™Математикаš за исключением раздела ™Элементы теории вероятностейš. Подготовлено по дисциплине ™Математикаš.
Для студентов специальностей горного факультета университета: 090100 (130402) – Маркшейдерское дело; 090200 (130404) – Подземная разработка месторождений полезных ископаемых; 090300 (130405) – Обогащение полезных ископаемых; 090500 (130403) – Открытые горные работы.
Печатается по решению редакционно-издательского совета ГУ КузГТУ.
|
УДК 517 |
|
° ГУ КузГТУ, 2007 |
ISBN 976-5-89070-548-0 |
° Курчин М. К., 2007 |
Оглавление |
|
Предисловие |
6 |
Глава 1. Алгебра и геометрия |
7 |
±1. Метод последовательного исключения неизвестных …….. |
7 |
±2. Вычисление определителей …………………………….…... |
8 |
±3. Правило Крамера …………...………………………….……. |
8 |
±4. Действия с векторами ……………..….……………………... |
9 |
±5. Скалярное произведение векторов ….….…………….…….. |
11 |
±6. Векторное и смешанное произведения векторов ..………... |
12 |
±7. Плоскость и прямая в пространстве …………………...…... |
14 |
±8. Смешанные задачи на прямую и плоскость ...……………... |
15 |
±9. Уравнение прямой на плоскости …………………………… |
17 |
±10. Смешанные задачи на прямую на плоскости …………...… |
17 |
±11. Канонические уравнения линий второго порядка ………… |
18 |
±12. Свойства линий второго порядка ..……………....…………. |
20 |
±13. Ранг матрицы ……………..……………...………………….. |
21 |
±14. Действия с матрицами …………….………………………… |
22 |
±15. Решение уравнений матричным способом …….………….. |
23 |
±16. Базис в пространстве ………………..………………..……... |
24 |
Глава 2. Дифференцирование функций |
26 |
±17. Понятие функции …………………….......……………..…… |
26 |
±18. Понятие предела ………………………..…………….….….. |
27 |
±19. Нахождение пределов …..………………………......………. |
28 |
±20. Число е. Исследование функции на непрерывность ……… |
31 |
±21. Производная функции ………....……………………………. |
32 |
±22. Производные неявной, параметрической функций ……….. |
33 |
±23. Дифференциал функции. Производные высших порядков . |
34 |
±24. Правило Лопиталя …………………...……………………… |
35 |
±25. Наибольшее и наименьшее значения функции ..……….…. |
36 |
±26. Исследование функций на экстремум …………….……….. |
37 |
±27. Исследование на перегиб кривой. Асимптоты кривой .….. |
37 |
±28. Исследование функции ………..……………………………. |
38 |
Глава 3. Функции нескольких переменных |
38 |
±29. Область определения функции двух переменных .………... |
38 |
±30. Частные производные ………………………………....……. |
39 |
±31. Дифференциал и дифференцирование сложных функций .. |
40 |
±32. Дифференцирование сложной функции и повторное ...…... |
41 |
±33. Дифференцирование неявной функции и повторное ……... |
42 |
±34. Экстремум функции двух переменных .………………..….. |
43 |
±35. Наибольшее и наименьшее значения функции двух |
|
переменных .…..………………………...……………..…….. |
44 |
±36. Касательная, нормаль, плоскости ………………………….. |
44 |
±37. Производная по направлению и градиент скалярного |
|
поля …………………………………………………………... |
45 |
Глава 4. Интегрирование функций |
47 |
±38. Табличное интегрирование …………………..……………... |
47 |
±39. Подведение под знак дифференциала ..……...…………….. |
48 |
±40. Метод интегрирования по частям ...……………….……….. |
49 |
±41. Интегрирование заменой переменной …..…………….…… |
49 |
±42. Интегрирование рациональных дробей ..…………………... |
50 |
±43. Интегрирование иррациональностей ……...……………….. |
50 |
±44. Интегрирование тригонометрических функций ...………… |
51 |
±45. Разные интегралы …...………………………………….…… |
51 |
±46. Несобственные интегралы ……………………..…………… |
52 |
±47. Вычисление площадей плоских фигур ……………..……… |
52 |
±48. Вычисление длин дуг и объемов тел вращения …………... |
53 |
±49. Задачи физики и механики ………………………..……..…. |
54 |
Глава 5. Дифференциальные уравнения |
56 |
±50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися |
|
переменными и однородные первого порядка ……..….…... |
56 |
±51. Уравнения Бернулли и линейные ………………………….. |
57 |
±52. Уравнения, допускающие понижение порядка …………… |
57 |
±53. Линейные однородные дифференциальные уравнения с |
|
постоянными коэффициентами ……………...……………... |
58 |
±54. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с |
|
постоянными коэффициентами ………………...…………... |
58 |
±55. Метод вариации произвольной постоянной ………………. |
58 |
Глава 6. Ряды |
59 |
±56. Последовательности ………………………………………… |
59 |
±57. Теоремы сравнения …………………………………………. |
60 |
±58. Признаки сходимости ………………………………………. |
60 |
±59. Абсолютная и условная сходимости ………………………. |
61 |
±60. Промежуток сходимости степенного ряда ………………… |
62 |
±61. Разложение функций в степенные ряды …………………… |
62 |
±62. Применения степенных рядов ……………………………… |
63 |
±63. Ряды Фурье по стандартному промежутку ………………... |
64 |
±64. Ряды Фурье по не стандартному промежутку …………….. |
64 |
Глава 7. Кратные интегралы |
65 |
±65. Криволинейные интегралы по длине дуги ………………… |
65 |
±66. Криволинейные интегралы по координатам ………………. |
66 |
±67. Двойные интегралы …………………………………………. |
67 |
±68. Применение двойных интегралов ………………………….. |
68 |
±69. Тройные интегралы …………………………………………. |
69 |
±70. Применение тройных интегралов. Площадь поверхности .. |
70 |
±71. Формула Грина ………….…………………………………... |
71 |
±72. Поверхностные интегралы и формула Остроградского ….. |
72 |
Ответы |
73 |
Список рекомендуемой литературы |
101 |
Предисловие
Настоящее пособие освещает основные положения курса ™Математикаš в соответствии с Государственным образовательным стандартом для технических специальностей вуза.
Предлагаемый сборник задач представляет собой набор задач для аудиторных занятий и домашних заданий. Он разбит по параграфам, соответственно темам практических занятий. При этом предполагается, что первая половина каждого параграфа выполняется в аудитории, вторая – дома. Все задачи брались из разных традиционных задачников по ™Высшей математикеš, перечень которых дается в списке рекомендуемой литературы.
Сборник задач содержит свыше 1000 задач, систематически расположенных в главах (1—7) и охватывает все разделы инженерного курса ™Математикаš за исключением теории вероятностей и математической статистики. Приведенное количество задач, как показывает практика преподавания, удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению соответствующих разделов курса. Теоретические сведения и справки о необходимых формулах не помещены; имеется в виду, что студент найдет их в соответствующих разделах общеизвестных учебников или в учебных пособиях автора: ™Алгебра и геометрияš, ™Дифференцирование функцийš, ™Интегрирование функций и дифференциальных уравненийš.
Имея рассматриваемое учебное пособие в дополнение к лекциям, студенты горного факультета получают возможность более успешного усвоения учебного материала и качественной сдачи курсовых экзаменов по математике.
Глава 1. Алгебра и геометрия
¬1. Метод последовательного исключения неизвестных
Методом Гаусса решить систему уравнений:
2x y z = |
4 |
1. 3x+4 y 2z = |
|
11 . |
|
3x 2 y+4z = |
|
11 |
x 2 y+3z 4t= 4 |
|||
|
|
|
|
y z + t= 3 |
|||
3. |
|
|
. |
x + 3y |
3t= |
1 |
|
|
|
|
|
7 y+3z + t= 3 |
|||
2x y+ |
3z= |
3 |
|
3x+ y |
5z= |
0 |
|
|
|||
5. |
z= |
3 |
. |
4x y + |
|
||
x+3y 13z= |
|
|
|
6 |
x+2 y+3z t=1
3x+2 y+ z t=1
7. 2x+3y+ z + t=1 .
2x+2 y+2z t=1 5x+5y+2z =2
x + y + z + s |
= |
0 |
|
y + z + s + t = |
0 |
|
|
2. x+2 y+3z |
= |
2 |
|
. |
|||
y+2z+3s |
= 2 |
||
z+2s+ 3t = |
2 |
|
|
|
2x+3y z + t=5
3x y+2z+ t=1
4. . x+2 y+3z+4t=6
6x+4 y+4z+6t=1
x+ |
y 3z= 1 |
|||
2x+ |
y 2z= |
1 |
|
|
|
|
|||
6. |
|
3 |
. |
|
x+ y + z= |
|
|||
x+2 y 3z= |
1 |
|
||
|
||||
2x+3y z + t= 3 |
||||
3x y+2z + 4t= |
8 |
|
||
|
||||
8. |
|
6 |
. |
|
x+ y+3z 2t= |
|
|||
x +2 y+3z + 5t= |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¬2 Вычисление определителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
. 10. |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
3 |
|
. 11. |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
6 |
2 |
|
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
8 |
5 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
8 |
9 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
7 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
2 |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. |
|
|
|
|
. |
|
13. |
|
|
|
3 |
4 |
|
7 |
. |
|
14. |
6 |
|
6 |
2 |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
9 |
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
12 |
12 |
9 |
12 |
|
|
. |
16. |
|
2 |
12 |
6 |
|
8 |
|
. |
|
17. |
2 |
|
3 |
12 |
1 |
. |
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
6 |
6 |
|
|
|
1 |
12 |
9 |
16 |
|
|
3 |
|
4 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
8 |
10 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
24 |
27 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
6 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
12 |
6 |
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18. |
|
|
. |
|
|
|
19. |
5 2 |
1 |
. |
20. |
|
6 |
4 |
4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
8 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¬3. Правило Крамера
Решить системы уравнений методом определителей:
3x 2 y |
7 |
2x y z 4 |
3x 2 y z 5 |
||
|
23. 2x |
3y z 1 |
|
||
21. |
. |
22. 3x 4 y 2z 11 . |
. |
||
4x 5 y 40 |
|
2x |
|
|
|
|
|
3x 2 y 4z 11 |
y 3z 11 |
2x 3y z 2 0 |
2x y |
z 2 |
x 2y 3z 4 |
|
|
25. 3x 2y 2z 2 |
|
|
|
24. x 5 y 4z + 5 0 . |
. |
26. 2x y z 3 . |
||
|
x 2y |
|
|
|
4x y 3z 4 0 |
z 1 |
3x 3y 2z 7 |
2x 3y 2z 6t 4 |
2x 4y z 3t 41 |
x 2y 3z 4 |
||||
5x 2y z t |
|
|
9x 7y 2z 4t |
|
||
1 |
93 |
|
||||
27. |
1 |
. |
28. |
|
. |
29. 2x 4y 6z 3 . |
x 7y 3z 3t |
|
y 5z |
11 |
|
||
3x y 2z 4t 3 |
y 3z 5t 19 |
3x y z 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
5x+2 y 4 |
|
2x 4 y 3z 1 |
|
x 2 y 3z 4 |
||
31. |
x 2 y 4z |
|
. 32. |
|
||
30. |
. |
3 |
2x y z 3 . |
|||
7x+4 y=8 |
|
|
3x y 5z |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3x 3y 2z 10 |
x 2 y 3z 5 |
|
|
x 2 y z 4 |
x y 2z 1 |
||||||
33. 2x y z |
|
34. 2x |
|
35. 2x y |
|
|
|
|
||
1 . |
3y z 3 . |
2z 4 . |
||||||||
x 3y 4z |
|
|
4x |
|
4x y |
|
|
|
|
|
6 |
|
y z 11 |
4z 2 |
|||||||
x 2 y 4z 31 |
|
|
|
x 4 y 5z 3t 1 |
||||||
|
|
|
2x 7 y z |
5t 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
37. |
|
||||
36. 5x y 2z 29 . |
|
|
3x y 2z |
4t 1 |
. |
|||||
3x y |
z 10 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4x 2 y 5z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t 1 |
||||
x 3y 5z 7t |
0 |
x y z s |
0 |
|||||||
|
y z s |
|
t 0 |
|
|
|||||
9x 2 y 6z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
27 |
39. x 2 y 3z |
|
2 |
|
||||||
38. |
|
18 |
. |
|
. |
|||||
8z t |
|
|
y 2z 3s |
|
2 |
|
||||
3x 2 y 5z t |
17 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z 2s 3t 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
¬4. Действия с векторами 40. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника
ОАСВ отложены единичные векторы i и j .
Выразить через i и j векторы:
OA, AC, CB, BC, OC и BA, если ОА = 3 и ОВ = 4 (рис. 1).
41. Пусть на рис.1 М – середина ВС и N –
середина |
АС. |
Определить |
векторы |
|||||
|
|
, |
|
и |
|
при ОА = 3 и ОВ = |
4. |
|
|
OM |
ON |
MN |
M
B C
N
j
|
|
|
O i |
A |
Рис. 1